(2017-2019)等差等比数列基本量 - 刘秋杏含详解.doc

数列等差等比数列基本量运算等差 等比1定义2通项公式3求和公式4若a,b,c 三项成等差三项成等比1【2019年高考全国III卷文数】记为等差数列的前项和，若，则_.【答案】100【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得得【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.2【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知，即.解得，所以【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算4【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_【答案】16【解析】由题意可得：，解得：，则.5【2017年高考江苏卷】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则_【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法6【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.7【2017年高考浙江卷】已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.8. 【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为ABCD【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.9【2017年高考全国II卷文数】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）bn=2n-1；（2）当q=-5时，S3=21.当q=4时，S3=-6.【解析】设an的公差为d，bn的公比为q，则an=-1+（n-1）d，bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.（1）由a3+b3=5得2d+q2=6.联立和解得d=3，q=0（舍去），d=1，q=2.因此bn的通项公式为bn=2n-1.（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5，q=4.当q=-5时，由得d=8，则S3=21.当q=4时，由得d=-1，则S3=-6.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和.10【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为d由得由a3=4得于是因此的通项公式为（2）由（1）得，故.由知，故等价于，解得1n10所以n的取值范围是【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.11【2019年高考全国II卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为q，由题设得，即解得（舍去）或q=4因此的通项公式为（2）由（1）得，因此数列的前n项和为【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.12【2019年高考北京卷文数】设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值【答案】（1）；（2）当或者时，取到最小值.【解析】（1）设的公差为因为，所以因为成等比数列，所以所以解得所以（2）由（1）知，所以，当时，；当时，所以，的最小值为【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.13【2018年高考全国I卷文数】已知数列满足，设（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式【答案】（1）b1=1，b2=2，b3=4；（2）见解析；（3）an=n2n-1【解析】（1）由条件可得an+1=将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12从而b1=1，b2=2，b3=4（2）bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列（3）由（2）可得，所以an=n2n-1【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列bn的通项公式，借助于bn的通项公式求得数列an的通项公式，从而求得最后的结果.14【2018年高考全国III卷文数】等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设的公比为，由题设得由已知得，解得（舍去），或故或（2）若，则由得，此方程没有正整数解若，则由得，解得综上，【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前n项和公式建立（或q），五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法：一是分组求和法，特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式，如等差数列的的公差是d，则；三是错位（项）相减求和法，特征是通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积（或商）.15【2018年高考全国II卷文数】记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9；（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n项和公式得关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.16【2017年高考北京卷文数】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5（1）求的通项公式；（2）求和：【答案】（1）an=2n1；（2）.【解析】（1）设等差数列an的公差为d因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n1（2）设等比数列bn的公比为q因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以从而选