随机数产生原理PPT学习课件

第四章随机数产生原理 一 引言二 伪随机数产生原理三 0 1 均匀分布随机数的算法四 其他分布随机数的产生五 正态分布随机数的产生六 MATLAB统计库中的随机数发生器七 随机数的检验八 案例3九 习题 1 一 引言 以随机数产生为基础的Monte Carlo方法已成为现代科研的重要手段之一 其意义早以超出了概率论与数理统计的范畴 广泛应用于计算方法 随机数规划 管理科学 物理化学中的高分子结构的研究等领域 我们来看一些例子 2 1 数值计算的研究 数值计算的研究可以说是一切Monte Carlo应用的基础 在计算数学领域我们遇到了很多的复杂计算 一个典型的例子是计算积分 对于一维 二维的问题早已获得解决 但是当遇到高维积分问题时 我们传统的数值方法都由于计算量太大而陷于了困境 但是高维积分问题又偏偏是物理 高分子化学 运筹学和最优化问题迫切而必须解决的问题 我们来看一个例子 这里 3 这是一个众所周知的积分公式 我们当然也可以把它一般的看为是一个高维积分 如果从传统的数值计算方法来看待 则高维问题是随着维数的增加计算量成指数增加的 计算很快就失去控制 但是如果我们换一个角度来看待这个问题 从概率论的角度 它实际是 即是f x 的均值 对于均值我们有一个很好的估计 即 4 例4 1 1 用Monte Carlo对积分 解 将积分区域和值域看成是一个边长为一的正方形 利用均匀分布随机数将点撒在正方形中 计算小于函数的个数并除全部点数 这就是积分的近似值 利用Monte Carlo方法计算定积分x rand 1 1000 x 2 x 2 JF mean x 2 作Monte Carlo积分示意图fori 1 1000 xx rand 1 100 yy rand 1 100 endx1 linspace 0 1 50 y1 x1 2 plot xx yy x1 y1 linewidth 2 axisequalh legend x y x 2 JF 0 3346 5 面积计算结果为 s 0 3482 6 例4 1 2 利用Monte Carlo方法计算定积分 解 抽两组随机数 求每组元素的平方代入给定的函数 然后求平均值即得积分的近似值 Monte Carlo方法积分二重积分并与数值方法的结果进行比较Q dblquad sin x 2 y 2 0 1 0 1 数值求积分命令x rand 2 100000 产生两组随机数Sin xy sin x 1 2 x 2 2 代入函数JF Sin xy mean Sin xy 用Monte Carlo方法求积分值 计算结果为 Q 0 5613JF Sin xy 0 5612当抽样数很大时结果很接近 我们可以从Monte Carlo方法中看出 如果维数增加实际计算难度并不增加 因此是处理高维问题的有效方法 7 这里x是积分定义域中的均匀分布随机数 这是革命性的一个视角 从这个视角 我们把繁难的积分计算变成了简单的算术平均 而大量的抽样计算又是计算机的拿手好戏 更重要的是当维数增加时并不增加计算难度 从而用Monte Carlo方法研究高维积分问题已是当今计算数学界的热门课题 2 管理科学的系统仿真研究 管理科学中的系统仿真研究 如服务系统 库存系统等 其共性就是研究的对象是随机数 如顾客到达时间一般是一个服从指数分布的随机数 而服务时间也可以看成是服从某种分布的随机数 当一个系统是多队多服务体系时 问题就变的相当复杂了 我们很难用数学的解析式来表达 这时Monte Carlo方法也是有利的武器 对于这个领域的已有各种比较成熟的专用软件如GPSS SIMULATION等可以使用 8 3 物理化学中的分子领域 50年代科学家已经在高分子领域使用Monte Carlo方法了 这一领域所研究的问题更加复杂 计算量非常之大 高分子材料是由几乎是无穷的高分子链组成 而每一个链的长度又是10的好几次方 而链的构象又是千差万别 而且是随机游动的 如何在中微观上几乎是无规律的现象中去判断其宏观的性质 用数学的解析式来说明这样的现象是苍白无力的 Monte Carlo方法是一个很好的工具 它使得科学家用Monte Carlo方法去探索高分子运动的规律 一个典型的例子是 对于高分子多链体的研究这是一个很复杂的问题 直到标度理论和重正化群理论方法的引入 才使得单链构象统计问题得到了较好的解决 9 例 用计算机模拟高分子链 10 链的末端距 末端距 空间一链的末端与始端的距离为末端距 由于我们将始端放在坐标原点 所以末端距的计算公式为 末端距 X2 Y2 Z2 1 2这里X Y Z为链的末端点的坐标 显然末端距随链的不同而不同 即为随机变量 三根链的起点 0 0 0 蓝链的末端距 绿链的末端距 红链的末端距 11 二 伪随机数产生原理 前面Monte Carlo方法的例子是以高质量的随机数为基础的 通过完全的随机抽样或调查可以产生随机序列 当我们用Monte Carlo方法研究一个实际问题时 我们需要快速地获得大量的随机数 用计算机产生这样的随机数是非常方便的 用数学方法在计算机上产生的随机数称为伪随机数 12 基本定理 如果随机变量X的分布函数F x 连续 则R F x 是 0 1 上的均匀分布的随机变量 证 因为分布函数F x 是在 0 1 上取值单调递增的连续函数 所以当X在 x 内取值时 随机变量R则在 0 F x 上取值 且对应于 0 1 上的一个R值 至少有一个x满足 见图4 2 1 以表示随机变量R的分布函数 则有 4 2 1 13 证毕 图4 2 1 4 2 2 14 基本定理给出了任一随机变量和均匀分布R之间的关系 而有些随机变量可以通过分布函数的逆变换来获得 因此如果我们可以产生高质量的均匀分布 我们就可以通过变换获得高质量的其他分布 见公式 4 2 3 4 2 3 例4 2 1求指数分布的随机数 令 从而我们用服从 0 1 上的随机数R 通过上面的公式就可以得到指数分布的随机数了 15 例4 2 1产生1000个均匀分布随机数 利用变换产生 6的指数分布并进行拟合优度检验 clc clearx linspace 0 20 100 R rand 1 1000 产生1000个 0 1 均匀随机数ex 6 log 1 R 变换为指数分布随机数ex ex m mean ex v var ex subplot 1 2 1 cdfplot ex subplot 1 2 2 hist ex kstest ex exexpcdf ex 6 拟合优度检验 结果为 H 0 接受原假设 变换后的确为 6的指数分布 16 17 三 0 1 均匀分布随机数的产生 1 算法要求 1 产生的数值序列要具有均匀总体简单子样的一些概率统计特性 通常包括分布的均匀性 抽样的随机性 试验的独立性和前后的一致性 2 产生的随机数要有足够长的周期 3 产生随机数速度快 占用内存小 18 为了达到快速的要求 一般采用递推公式 4 3 1 目前最常用的方法是上述方法的一个特例 混合同余法 4 3 2 其中a b M以及初值y都是正整数 容易看出x满足0 x 1 其中modM运算定义为 任一整数y可唯一表示为公式 则 19 乘同余法 当b 0时 有 4 3 4 加同余法 以下形式的同余法称为加同余法 3 4 5 20 例4 3 1历史上比较有名的称为 菲波那西 数列为加同余法的特例 4 3 6 当M 8时 取初值得 菲波那西 数列 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 253 对上述数列取模得 0 1 1 2 3 5 0 5 5 7 1 1 4 3 7 再除以模M我们可得到 0 1 之间的序列 21 我们知道对于一个来自均匀分布的随机序列 应该满足独立性 均匀性等统计特性 但伪随机数往往有一些缺陷 例如 4 3 7 序列到一定长度后 又开始重复下面的序列 这称为周期性是一种明显的规律 与随机性矛盾 通常我们只能选用一个周期内的序列作为我们的伪随机数 因此研究一种算法 使得其产生的随机序列的周期尽可能长 我们可以通过调节 4 3 1 的参数来实现 因此如何来获得一个周期比较长的序列 就成了我们研究的一个内容 有关伪随机数序列的周期有如下的一些结论 22 定理4 3 1混合同余法产生序列达最大周期M的充要条件 1 b与M互素 2 对于M的任意素因子p 有 3 如果4是M的因子 则显然乘同余法产生的序列达不到周期M 不满足 1 当取 k为任意整数 时 因为M只有一个素因子2 且4是M的因子 则由条件 2 3 有 从而混合同余发生器达到最大周期的算法为 3 4 8 23 其中c d为任意整数 混合同余发生器是否达到最大周期M与初始值无关 对于乘同余发生器 由同余运算的定义 知其由如下性质 1 如果 则有 2 如果 则 其中 c M 是c M的最大公约数 24 利用这些性质可得到以下定理 定理4 3 2对乘同余发生器 若 则使成立得最小正整数V就是此发生器得周期 在数论中称V为a关于M的阶数 对于乘同余发生器 若种子与M互素 则其周期就是关于M的阶数 这样一来 寻找达到最大周期的同余发生器的问题就转化为数论方面寻求M达到最大阶数a的问题了 Knuth对这一问题的研究作了总结 25 从算法上我们知道公式是递推的 因此一般的随机发生器程序都要预先赋初值 这种初值为种 Seed 有些统计软件如SPSS要求用户给出Seed 以均匀分布 0 1 随机变量R变换成的随机变量 以r u 分别表示 0 1 均匀分布 指数分布 N 0 1 标准正态分布 其他常见的分布如卡方分布 F分布等的抽样方法见表4 3 1 26 27 四 其他分布随机数的产生 1 直接抽样法由基本定理我们知道 对于有些随机变量可以建立与R的函数关系 因此只需对R进行抽样 利用函数的映射关系我们就可以方便地得到该随机变量的抽样了 如前面的指数分布随机数 2 变换抽样产生随机变量的变换抽样方法 是讨论均匀分布的不同函数分布 为随机变量抽样提供一些简单可行的算法 在概率论中 从不同的角度出发 对随机变量函数进行了讨论 以下列出一些结果 28 设随机变量X具有密度函数 是对随机变量X的变换 且的逆函数存在 记为有一阶连续导数 则随机变量的密度函数 4 4 1 例4 4 1R 1 R均为 0 1 上的均匀分布随机变量 设随机向量 X Y 具有二维联合密度 对于随机变量X Y进行函数变换 29 其中 函数 的逆变换存在 记为 且存在一阶偏导数 设J为Jacobi变换 则随机变量的二维联合密度为 4 4 2 30 例4 4 2用变换抽样产生标准正态分布的随机变量U随机变量U的密度函数为 取随机数 则 相互独立 服从N 0 1 分布 解上面的两个方程 得逆变换公式 31 由 4 4 2 随机变量的密度函数 从而我们知道是两个独立的标准正态分布 下面还有几个常用的二维函数的变换结果 1 随机变量和的密度函数 4 4 3 2 随机变量的积的密度函数 4 4 4 32 3 随机变量的商X Y 4 4 5 3 值序抽样值序统计量 通常称为值序量 是随机向量的一个函数 取其一个实现并排序得其中的第l个值为函数值 显然这是一个统计量 33 若随机变量的各个分量独立且同分布 则值序统计量的密度函数和分布函数分别为 这里 F x f x 分别为随机变量在分布函数和密度函数 34 特别当随机变量为 0 1 上的均匀分布时 得密度函数为 这是分布的密度函数 因此我们可以很容易地产生特殊的分布的随机数 35 例4 4 3产生服从分布的随机数若随机变量的密度函数为 利用 0 1 均匀分布随机数我们可以如下产生特殊随机数 1 2 3 4 36 我们来验证 2 即是否服从a 1 b 5的贝塔分布 按公式抽5个均匀分布的随机数 取其中最小的为一个样本 共取1000个 然后用分布的Kolmogorov Smirnov拟合优度检验 程序如下 例4 4 3验证 2 抽5个均匀分布随机数 产生一个服从bata分布的随机数fori 1 1000B i min rand 1 5 endB B 转置为列向量h kstest B Bbetacdf B 1 5 检验服从bata分布吗 计算结果为 h 0接受原假设 服从a 1 b 5的贝塔分布 学习者可以验证其余的抽样公式 37 五 正态分布随机数的产生 正态分布在数理统计中具有基础性的作用 因此产生高质量的正态分布有重要的意义 这一节我们将介绍几种数值方法求正态分布 利用中心极限定理产生正态分布的随机数 38 1 利用中心极限定理产生随机数中心极限定理 设 服从均值为 方差为 2的某一分布 令 4 5 1 则当n充分大时 渐近地服从标准正态分布N 0 1 注意 这个定理没有指出随机变量x是服从什么分布的 这正是该定理的神奇之处 我们现在已经能产生 0 1 均匀分布的随机数了 那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数 39 现在我们产生n个 0 1 均匀分布随机数 由公式 4 5 1 我们有 为编程方便 我们特别选n 12 则 这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了 40 例4 5 1利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验 example4 5 1clc clearfori 1 1000R rand 1 12 X i sum R 6 endX X m mean X v var X subplot 1 2 1 cdfplot X subplot 1 2 2 histfit X h kstest X Xnormcdf X 0 1 结果为 H 0 接受原假设 变换后的确为标准正态分布 41 42 2 Hasiting有理逼近法 这是一种计算速度快 也能满足一定精度的算法 我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式 来产生标准正态分布的随机数 其计算公式为 4 5 2 这里 系数为 a0 2 515517b1 1 432788a1 0 802853b2 0 189269a2 0 010328b3 0 001308 43 六 利用统计工具箱产生随机数 在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序 我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数 44 随机数发生器 45 46 47 例4 5 2 例4 6 1设正态二维分布的密度函数为 作二维分布的散点图和直方图 例4 6 1二为独立正态分布的散点图和直方图mu 00 sigma 10 01 r mvnrnd mu sigma 1000 subplot 1 2 1 plot r 1 r 2 subplot 1 2 2 hist3 r 1010 48 49 七 随机数的检验 我们已经基本搞清伪随机数的产生原理 由于并不是真正的随机数 很自然的问题是 它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小 独立性 均匀性等等 设 随机数具有连续的分布函数F X 则随机变量R X 是均匀分布 0 1 的随机变量 因此如果R通过统计检验随机变量X也可以通过 因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题 再简单地讨论正态随机数检验问题 50 统计推断原理统计量的定义 设为随机变量序列 则随机序列的函数称为统计量 记为 显然统计量S也是随机变量 既然是随机变量 它们就应该有其分布或称总体的规律 当然也有各种数字特征 例如均值 标准差 方差等等各阶矩 我们的统计推断方式是 1 H0 某假定成立 2 在假定成立的条件下构造统计量S 51 3 统计量构造完毕 我们也就知道了该统计量的全部统计规律 如它的分布函数 或密度函数各阶矩等 4 根据统计量的分布 在给定的显著性水平 对统计量S的一次抽样确定以1 为概率的区域 该区域称为接受域 如果该次抽样计算出统计量S的值s落入该领域 我们就接受原假 否则推翻原假设 这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理 落入由 确定的区域是一个小概率事件 在一次实验中我们认为是不可能发生的 52 接受域 53 1 统计检验中两类常用统计量的构造检验方法 1 设随机变量X具有数学期望E X 和有限方差D X 我们抽N次样本 X1 X2 XN 当N充分大时 统计量 4 6 1 以N 0 1 为极限分布 取显著水平 0 05 则拒绝为 1 96 1 96 当 1 96 则认为差异显著 拒绝假设E X 54 2 将样本X1 X2 NN 按一定规则分为不相交的K组 记i组的观测频数为ni i 1 k 若随机变量X落于弟i组的概率为Pi 则得理论频数mi N Pi 由ni mi构造统计量 4 6 2 渐近服从自由度为的分布 简记这里 l是确定概率P时 由子样X中给出的约束条件数 为有效地进行统计检验 一般要求 4 6 2 的样本数N 30 在 4 6 2 中k 5 mi 5 55 当统计量的自由度时 U 渐近服从N 0 1 分布 服从柯尔莫格洛夫 斯米尔诺夫的统计量 取显著性水平 0 05 可拒绝原假设 我们可以用这种方法进行独立性 及拟合优度检验 56 2 随机数的统计性质检验 设均匀分布的随机样本为 4 6 3 是一组需要检验的 0 1 均匀分布随机数 利用 4 6 1 4 6 2 我们构造统计量来对常用的参数进行统计检验 57 1 参数检验参数检验是检验参数估计值与理论值的差异是否显著的方法 设我们有 0 1 均匀分布样本R1 R2 RN 4 6 4 我们可以构造以下统计量 参数估计量 58 即随机变量R的一阶距 二阶距和方差这些参数的估计量 根据随机变量R的理论分布 不难计算 59 现在我们可以应用中心极限定理及 4 5 1 来构造统计量了 渐近服从N 0 1 分布 从而可以推断样本估计值与理论参数的差异 我们还可以利用同样的方法去构造三阶矩 四阶矩 对随机变量的偏度和峰度进行参数检验 60 例4 7 1对随机数发生器unifrnd产生的1000个随机数进行均值 方差 偏度和峰度等的参数的检验 偏度计算方法为 u3 mean R R mean R std 3 0 408248 sqrt n 峰度计算方法为 uu mean R 0 5 sqrt 1 12 4 1 75u4 uu 0 204124 sqrt n function s1 s2 s3 s4 moment test R 对 0 1 均匀分布随机数进行矩检验n length R R mean mean R R var var R R std std R u1 sqrt 12 n R mean 0 5 ifabs u1 1 96s1 pass elses1 end 61 对方差进行检验var R u2 sqrt 180 n R var 1 12 ifabs u2 1 96s2 pass elses2 end 对偏度进行检验u3 mean R R mean R std 3 0 408248 sqrt n ifabs u3 1 96s3 pass elses3 end 62 对偏度进行检验uu mean R 0 5 sqrt 1 12 4 1 75u4 uu 0 204124 sqrt n ifabs u4 1 96s4 pass elses4 end 调用该函数的主程序为 R rand 1 1000 s1 s2 s3 s4 moment test R S1 显示对均值的推断 pass为接受 拒绝S2 显示对方差的推断 pass为接受 拒绝S3 显示对偏度的推断 pass为接受 拒绝S4 显示对偏度的推断 pass为接受 拒绝 63 计算结果为 s1 passs2 passs3 passs4 pass 2 均匀性检验或称分布的拟合优度检验均匀性检验 又称频率检验 检验它的经验分布频率和理论频率的差异是否显著 把 0 1 区间分为k个等区间 按ri取值的大小把 4 6 3 分为k组 设有ni个随机数属于i组 即共有个满足不等式 i 1 k r i k 根据均匀性假设 满足在每个小区间的概率为Pi 1 k mi N k由 4 6 2 得统计量 64 渐近服从分布 而统计量 4 6 8 理论频数ni mi 65 为累积频率检验 渐近服从柯莫洛戈洛夫 斯米尔诺夫分布取显著水平 0 05 当DN 1 35时拒绝均匀性假设 4 6 9 66 例4 7 2对分布的拟合优度进行检验 1 渐近服从柯莫洛戈洛夫 斯米尔诺夫检验 R unifrnd 0 1 1000 1 h kstest R Runifcdf R 0 1 结果为 h 0 接受原假设 是来自 0 1 均匀分布随机数 67 R unifrnd 0 1 1 1000 构造卡方统计量k 12 n length R n1 hist R k 计算每个区间的频数kf 7 k n sum n1 n k 2 计算分位点即统计量chi2 p chi2cdf k 1 kf 7 计算下侧概率ifchi2 p 0 95chi2 str pass elsechi2 str endchi2 str 2 利用卡方分布进行检验 68 3 独立性检验随机数独立性检验 其重点是检验 4 6 3 中前后各随机数的统计相关是否异常 我们知道统计性能良好的随机数数 前后之间应该是统计独立的 若存在明显的相关性则视这批随机数为不合格 这里 表示i阶滞后相关系数 为0时表示没有相关性 69 1 相关系数检验相关系数取值为零是两个随机变量独立的必要条件 其值的大小给出它们之间线性相关强弱的测度 可以用来检验随机数的独立性 例如随机序列与其自身持滞后序列的相关性 例如 一阶滞后相关性 j阶滞后相关性 70 利用 4 6 3 数据构造统计量 4 6 10 对充分大的N 如N j 50 取零假设则统计量 4 6 11 渐近服从N 0 1 分布 71 例4 7 3对1 7阶滞后相关系数进行检验 function sacf1 sacf2 sacf3 sacf4 sacf5 sacf6 sacf7 acf test R 独立性的自相关AFC检验R mean mean R R var var R n length R fori 1 7rou i sum R 1 n i R i 1 n R mean 2 R var sqrt 1 n i endrouifabs rou 1 1 96sacf1 pass elsesacf1 endifabs rou 2 1 96sacf2 pass elsesacf2 end 72 2 联列表检验在X Y平面上 将单位正方形分为个相等的小正方形 把随机数 4 6 3 按出现的先后顺序两两分组 如取 记落入小正方形 i j 内的观测数为nij i j 1 2 k 令 H0 数据 4 6 3 来自均匀分布随机数 73 74 则可以构造统计量 其极限分布是服从自由度为 k 1 2的卡方分布 记为 4 6 12 75 例4 7 4对随机数进行联列表检验 R unifrnd 0 1 1000 2 N 2000k 6n hist3 R kk 产生每个小正方形落入的个数ni sum n nj sum n nij ni nj n sum sum sum n 2 nij 1chi2 2 N n sumchi2 p chi2cdf k 1 2 chi2 2 ifchi2 p 0 95chi2 str pass elsechi2 str endchi2 str 计算结果 pass 76 4 组合规律检验该检验用于对数据 4 6 3 的组合规律进行检验 按随机数先后出现的顺序 根据一定的规则把这些随机数组合起来 检验他们的组合规律的样本性质与理论性质的差异 并进行判断 1 扑克 颜色 检验将 4 6 3 的数据按顺序分为8个随机数一组 记组数为L 对每组的随机数取其小数点后第一位 并以八进制来表示 77 例如 如下一组数12345678 0 001 0 615 0 516 0 316 0 815 0 95 0 11 0 216 小数点后面第一位用8进制表示 我们有 0 6 5 3 0 1 1 2 一般地 我们们记为显然有 78 当中有k种相同数字时 称该序列为k色向量 例如 1 1 3 4 4 6 7 0 为6色 5 5 5 5 5 5 5 5 为1色 0 2 5 4 7 6 1 3 为8色将向量按颜色的不同分为8类 从理论上我们有以下频率 79 记为落入第k组向量的个数 为理论频数 则我们可以构造统计量如下 4 6 13 例4 7 5对1000个随机数进行扑克牌检验 解题思路 1 对1000个随机数按顺序每8个一组 共分125组 2 分别对每组元素小数点后第一位进行模为8的运算 3 计算每组的颜色数 并放入数组cc4 构造自由度为4的卡方分布统计量进行检验 80 扑克牌检验 2005 10 24clear clcR rand 1 1000 poketestn length R kk 8 jj 1 求125组数据的颜色数 并放入矩阵cc中 forii 1 kk n 对每组数小数点后第一位取模为8运算rr 10 R ii ii 7 pk mod fix rr 8 81 计算每组的颜色数pk sort pk j 1 fori 1 7ifpk i pk i 1 j j 1 endendcc jj j 1 jj jj 1 将颜色数输入到数组cc中end 82 构造自由度为4的卡方分布 并进行检验 nn 1 sum n pk 1 3 nn 2 4 n pk 4 6 nn 5 sum n pk 7 8 m 0 020 170 42050 31950 0697 n chi 4 sum m nn 2 m 构造统计量p chi2cdf 4 chi 4 ifp 0 95str pk pass elsestr pk endstr pk 83 2 连 run 检验把随机数 4 6 3 按一定规则进行分类 如分为两类 分别记为a b 得到形如aabbbaaaaaaaabb 由两类元素a b组成的序列 我们把位于异类元素之间的同类元素 如abbbba中的bbb类元素称为一个连 连中包含同类元素的个数称为连长 显然连长是一个随机变量 在随机数序列中 出现连长为i的连数记为 总连数记为 构成进行检验的统计量 因此 随机数的连检验是按照随机数出现的先后顺序 重点检验它的连贯现象是否异常的一种方法 84 l正负连检验把随机数序列 4 5 3 变换为 ri 1 2 按正负分为两类 这时a 1 b 1组成正负两类连 根据均匀性 独立性假设 出现a b的概率都是0 5且有E l N 2 1 D l N 1 4 P 1 k 2 k k 1 则可按 4 5 1 4 5 2 构造统计量U 和卡方统计量进行检验 l升降连检验把随机序列 4 5 3 按生序或降序规律分为两类 表示随机数的增减及其长度的变化规律 组成升降两类连 这时有E l 2N 4 3 D 1 16N 29 90 85 从而我们又可以按 4 5 1 4 5 2 构造U 和卡方统计量进行检验了 例4 7 6对1000个随机数进行升降连检验 解题思路 1 对1000个随机数按升降连产生连长随机数 2 分别构造标准正态分布统计量和卡方统计量 3 对两个统计量进行统计检验 86 function striud u striud chi2 run ud test R 升降连检验 包括正态和卡方检验m1 0 6250 2750 0791670 020833 n length R R1 diff R AN 0000 搜索并计算总连长k 1 j 1 i 1 mk 1 1 whilei n 2ifR1 i R1 i 1 0mk j 1 i 1 j j 1 endi i 1 end 87 mkmax mki max mk mk mk 1 mki mk diff mk nn hist mk 5 n1 nn 1 3 sum nn 4 5 Run tol sum nn m1 m1 Run tol 计算正态和卡方检验检验u 3 Run tol 2 n 4 sqrt 1 6 n 2 9 chi 3 sum n1 m1 2 m1 检验ifabs u 1 96striud u pass elsestriud u end 88 5 检验随机序列性质的其它一些统计量除了上面介绍的方法外 事实上还有其他很多常用的统计量如 最小值MINMUN 即MINIMUN MIN X1 X2 XN 最大值MAXIMUN 即MAXIMUN MAX X1 X2 XN 极差RANG MAXIMUN MINIMUN等 我们可以用上面的方法构造统计量对它们进行检验 ifchi2cdf 3 chi 3 0 95striud chi2 pass elsestriud chi2 end 89 l模 MODE 这是一种中心趋势的度量 类似与均值 如对一个随机变量X抽了六个样6 10 10 4 4 10 则这个样本的模是10 即出现次数最多的那个数 对一个大样本来讲 如果有N个数都出现同样的最多数 则取其中值为最小的那个 l中位数 MEDIAN 这也是中心趋势的一种度量 将样本X1 X2 XN从小到大排列 记为X 1 X 2 X N 其最中间的那个数为中位数 90 l偏度SKEWNESS前面的统计量是反映序列的中心离差趋 而偏度则是衡量X的密度是否偏向一边 即不对称的一种度量 在正态情