高等数学武大社教案03第三章导数与微分.docx

第三章 导数与微分一、教学目标1.了解导数的概念及意义，微分形式的不变性；2.熟悉微分的定义，导数概念与微分概念的联系与区别；3.掌握复合函数、隐函数及含参数方程所确定函数的求导运算.二、课时分配本章节共5个小节，共安排10个学时.三、教学重点1.导数概念、函数的可导性与连续性的关系；2.复合函数求导的链式法则；3.隐函数求导；4.由参数方程所确定的函数的导数；5.函数可微性与可导性的关系.四、教学难点导数与微分在几何和物理上的应用.五、教学内容第一节 导数的概念一、导数概念的两个引例为了说明微分学的基本概念导数，我们先讨论以下两个问题：速度问题和切线问题.1. 变速直线运动的瞬时速度我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=st来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间t0，t1内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作s，时间增量t1-t0记作t，平均速度为v=st1-st0t1-t0=st=st0+t-s(t0)t那么，怎样求非匀速直线运动物体在某一时刻的速度呢？由于物体做变速运动，用匀速直线运动的公式v=s/t来计算它在某一时刻的速度已不适用.处理这个问题的基本方法是“匀速代变速”.为此，给t0一个增量t，当时间由t0改变到t0+t时，在t这一段时间内，物体走过的路程是s=ft0+t-f(t0)物体在时间间隔t内的平均速度是v=st=ft0+t-f(t0)t用t这一段时间内的平均速度表示物体在t0时刻的瞬时速度，这当然是近似值，显然t越小，即时刻t越接近于t0，其近似程度就越好.为完成“近似”向“精确”的转化，令t0，如果平均速度v的极限存在，则这个极限值就叫作物体在时刻t0的速度(瞬时速度)，即vt0=limt0st=limt0ft0+t-f(t0)t2. 切线问题设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫作曲线在点M处的切线.当x0时，割线MN将绕点M转动到极限位置MT.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tan的极限就是切线MT的斜率tan(是切线MT的倾斜角).tan=limx0tan=limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题，也都可归结为这种形式的极限.因此，抛开这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义.二、导数的定义定义1 设函数y=f(x)在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量x时，相应地函数y有增量y=fx0+x-f(x0)如果当x0时，y/x的极限存在，则这个极限就称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或称为变化率)，记为y|x=x0，即yx=x0=limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x也可以记作fx0,dydxx=x0或df(x)dxx=x0如果极限存在，就称函数f(x)在点x0处可导.如果极限不存在，就称函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是当x0时，yx，为了方便起见，往往也说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，就说函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时，对于(a,b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新的函数，这个新的函数叫作原来函数y=f(x)的导函数，记为y，f(x)，dy/dx或df(x)/dx.在式中，把x0换成x，即得y=f(x)的导函数公式：y=limx0fx+x-f(x)x显然，函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在x=x0处的函数值，即fx0=f(x)x=x0为方便起见，在不致引起混淆的地方，导函数也称导数.由此可见，导数是用极限来定义的，类似于有关极限的内容，导数有左右导数的定义.定义2 设函数y=f(x)在点x0的某左（右）邻域内有定义，若limx0-yx=limx0-fx0+x-f(x0)xlimx0+yx=limx0+fx0+x-fx0x存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在，记作f-(x0)(f+(x0).函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数.显然，当函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论：f(x0)存在左导数f-(x0)和右导数f+(x0)存在并且相等.三、求导数举例根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数可以分为以下三个步骤：（1）求函数的增量：y=f (x+x )-f (x ); （2）计算比值：yx=f (x+x )-f (x )x;（3）取极限：y=limx0yx=limx0f (x+x )-f (x )x;【例2】求幂函数y=x3的导数.【解】y=(x+x)3-x3=x3+3x2x+3xx2+x3-x3于是yx=3x2+3xx+x2因而limx0yx=3x2即x3=3x2一般地，对任意实数,幂函数y=x的导数公式x=x-1都成立.四、导数的几何意义由切线斜率问题的讨论及导数定义可知:函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率,即fx0=tan其中是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得,曲线y=f(x)在给定点M(x0,y0)处的切线方程是y-y0=f(x0)(x-x0)过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫作曲线y=f(x)在点M(x0,y0)的法线.如果f(x0)0,则法线方程为y-y0=-1f(x0)(x-x0)【例4】求过曲线y=3x2上点(2,12)的切线方程与法线方程.【解】因为f(x)=(3x2)=6x，所以f(2)=12于是过点(2,12)的切线方程为y-12=12(x-2)即12x-y-12=0法线方程为y-12=-112(x-2)即x+12y-146=0五、函数可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x0处可导,即极限limx0yx=f(x0)存在.由函数极限存在与无穷小的关系知y/x=f(x0)+(是当x0时的无穷小).上式两端同乘以x,得y=f(x0)x+x,不难看出,当x0时,y0.这就是说,函数y=f(x)在点x0处是连续的.所以,如果函数y=f(x)在点x0处可导,则函数在该点处必连续.注意：如果函数y=f(x)在某一点处连续,却不一定在该点处可导.第二节 函数的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则法则1 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)v(x)也在点x处可导，且uxvx=u(x)v(x)法则2 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)v(x)在点x处也可导，且uxvx=uxvx+u(x)v(x)特别地，令v(x)=c(常数)，由于c=0，所以有cu(x)=cu(x).法则3 若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，且v(x)0，则函数u(x)v(x)在点x处也可导，且uxvx=uxvx-u(x)v(x)v(x)2【例1】求函数y=3x3+x2+5的导数.【解】y=(3x3+x2+5)=9x2+2x【例2】求函数y=x2sinx的导数.【解】y=(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx二、复合函数的求导法则法则4 如果函数u=(x)在点x处可导，且y=f(u)在对应点u=(x)处可导，那么复合函数f(x)在点x处也可导，并且dydx=dydududx或fx=f(u)(x)法则4可以推广到有有限个中间变量可导函数的复合函数的情况.例如，y=f(u)，u=(v)，v=(x)都是可导函数，则复合函数y=f(x)的导数是dydx=dydududvdvdx利用导数定义及其他求导方法，可以求得基本初等函数的导数公式：（1）C=0（C为常数）；（2）x=x-1（为任意常数）；（3）ax=axlna；（4）ex=ex；（5）logax=1xlna；（6）lnx=1x；（7）sinx=cosx；（8）cosx=-sinx；（9）tanx=sec2x；（10）secx=secxtanx；（11）cotx=-csc2x；（12）cscx=-cscxcotx；（13）arcsinx=11-x2；（14）arccosx=-11-x2；（15）arctanx=11+x2；（16）arccotx=-11+x2【例7】求函数y=cos23x的导数.【解】y=(cos23x)=2cos3x(cos3x)=2cos3x(-3sin3x)=-6sin3xcos3x=-3sin6x【例8】求函数y=(5x2-4)31-x的导数.【解】y=5x2-41-x13+5x2-41-x13=10x1-x13+5x2-4131-x-23-1=10x31-x-135x2-4131-x2三、隐函数的求导法则如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得.但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法是：(1) 将方程F(x，y)=0的两边对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数；(2) 求导后，解出y即可(式子中允许有y出现).【例10】已知隐函数方程x2+y2=25，求dydx.【解】将方程两边同时对x求导，并注意到y是x的函数，y2是x的复合函数，从而得2x+2yy=0再解出y，得y=-xy，即dydx=-xy.在这个结果中，分母y仍然是由方程x2+y2=25确定的x的函数.四、反函数的求导法则法则5 设函数x=(y)在区间D内单调，在y处可导，且(y)0，则其反函数y=f(x)在x=(y)处也可导，且dydx=1dydx或fx=1(y)五、参数方程所确定的函数的导数在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出来，即x=(t)y=(t),t为参数由于y是参数t的函数，由x=(t)知t是x的函数，所以y通过t确定为x的复合函数.于是，由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有dydx=dydtdtdx=dydtdxdt=(t)(t)【例15】求参数方程x=1ty=2t2确定的函数的导数dydx.【解】dydx=dydtdydt=4t-1t2=-4t3第三节 高阶导数一、 高阶导数的概念y=f(x)叫作函数y=f(x)的一阶导数.类似地,y=f(x)的二阶导数y的导数叫作y=f(x)的三阶导数,三阶导数的导数叫作y=f(x)的四阶导数一般地,f(x)的n-1阶导数的导数叫作y=f(x)的n阶导数,分别记作y,y(4),yn或fx,f4fx,fnfx或d3ydx3,d4ydx4,dnydxn二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.【例2】求函数y=6x3+3x2+x+5的二阶导数.【解】y=18x2+6x+1y=36x+6二、二阶导数的物理意义设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t),瞬时速度为v=s(t).此时,若速度v仍是时间t的函数,则可以求速度v对时间t的变化率:vt=st=s(t)在力学中把它叫作物体在给定时刻的加速度,用a表示.也就是说,物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数,即a=vt=s(t)=d2sdt2第四节 相关变化率在实际问题中,有时遇到参与变化的几个变量都是时间t的函数.这几个变量之间存在某种关系,从而它们的变化率之间也存在一定的关系.这几个互相依存的变化率称为相关变化率.所谓相关变化率问题就是研究这几个变化率之间的关系,以便由已知的变化率求出未知的变化率.第五节 函数的微分一、微分的定义定义如果函数y=f(x)在点x0处存在导数f(x0)，那么f(x0)x就叫作函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy|x=x0，即dyx=x0=f(x0)x若函数y=f(x)在区间(a，b)内任一点x处都可导，则把它在点x处的微分叫作函数的微分，记作dy或df(x)，即dy=f(x)x由定义可以知道，自变量的微分就是自变量的改变量，记作dx，即dx=x，于是dy=f(x)dx由式两边同时除以dx可以得出dydx=f(x)上式说明，导数f(x)是函数的微分dy与自变量的微分dx的商.因此导数也叫作微商.今后我们把可导函数也称为可微函数.【例1】求函数y=2x3+5x2+6x在x=2处的微分.【解】dyx=2=(2x3+5x2+6x)x=2x=(6x2+10x+6)x=2x=50x=50dx二、微分的几何意义设曲线y=f(x)上一点P的坐标为(x0，f(x0)，过P点作割线PQ交曲线于Q点，其坐标为(x0+x，f(x0+x)，则dx=x=PR，y=RQ.又设过P(x0，f(x0)点的切线PT交RQ于点M，函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是过P点的切线PT的斜率，即fx0=tan=RMPR因此函数在点x0的微分是：dyx=x0=f(x0)x=RMPRPR=RM这说明函数在x=x0处的微分是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处切线的纵坐标对应于x的改变量.这就是微分的几何意义.三、微分的运算1.微分的基本公式（1）dC=0（C为常数）；（2）dx=x-1dx；（3）dax=axlnadx(a0,a1)；（4）dex=exdx；（5）dlogax=1xlnadx(a0,a1)；（6）dlnx=1xdx；（7）dsinx=cosxdx；（8）dcosx=-sinxdx；（9）dtanx=sec2xdx