约数与倍数初步.doc

主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址： 08年秋五年级提高班家庭版第五讲 约数与倍数初步【例1】【分析与解】 要截成相等的小段，且无剩余，每段长度必是120、180和300的公约数。又每段要尽可能长，要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.（120，180，300）=302=60每小段最长60厘米。12060+18060+30060=235=10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。【例2】【分析与解】要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。3，10，5=532=30,各道工序均应加工30个零件。303=10（人）,3010=3（人），305=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。【例3】【分析与解】由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。2，3，4=12参加会餐人数应是12的倍数。又122+123+124=6+4+3=13（瓶），可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。又6513=5，参加会餐的总人数应是12的5倍，125=60（人）。答：参加会餐的总人数是60人。【例4】【分析与解】 经尝试知60既12的若干倍，又是15的若干倍，还是20的若干倍，如果设开始有花生60份，则第一群猴子有60125份，第二群猴子有6015 = 4 份第三群猴子有6020 = 3 份那么共有猴子5 + 4 + 3 = 12 份，所以平均分给三群猴子，每只可得6012 =5. 辗转相除法（欧几里德算法）求公约公倍数：适用于求大数的公约公倍数。【例1】【分析与解】（方法一）画图求解从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113厘米）为边长的正方形2个.在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去以宽（477厘米）为边长的正方形2个.然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘米）中，以159厘米为边长裁正方形，恰好裁成3个，且无剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公约数。（方法二）辗转相除法（推荐方法）27031113=24771113477=2159477159=30所以能剪成2个边长为1113的正方形，2个边长为477的正方形，3个边长为159的正方形。（2703，1113）=159【评析】辗转相除法求最大公约数的步骤：（1）大小=商A 商个边长为小的正方形（2）小A=商B 商个边长为A的正方形（3）AB =商C 商个边长为B的正方形（4）BC=商D 商个边长为C的正方形依次操作，直到余数为0，这时的除数是“大，小”的最大公约数。【例2】【分析与解】 x=4y28=47，28x=4y47，又4是x和28的最大公约数，（y，7）=1，4y7是x和28的最小公倍数。x28=4252，x=425228=36，要求的数是36。【评析】通过本例的解答过程，不难发现：如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）a，b=ab。这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。【例3】【分析与解】（21672，11352）=1032（1032可以用辗转相除法求得）21672，11352=21672113521032=238392。答：21672和11352的最小公倍数是238392.【附加题】【分析与解】设这两个数为a与b，ab，且设（a，b）d，ada1，bdb1，其中（a1，b1）1。因为两个自然数的积=两数的最大公约数两数的最小公倍数，所以 240=d60，解出 d4，所以 a=4a1，b=4b1.因为a与b的最小公倍数为60，所以 4a1b160，于是有 a1b115。 答：这两个数为4与60或12与20。 约数个数，约数和【例1】【分析与解】（1）360分解质因数:360=222335=23325；由乘法原理可得：取因子2共有4种取法：0，1，2，3取因子3共有3种取法：0，1，2取因子5共有2种取法：0，1所以约数有（3+1）(2+1) (1+1)=24个约数。（2）所有约数的和： (1+2+22+23)(1+3+32)(1+5)=1170（3）求奇约数个数，也就是含因子2的不取，由乘法原理可得奇约数个数：(2+1)(1+1)=6个（4）奇约数的和：不计含因子2的，由乘法原理可得：(1+3+32)(1+5)=78（5）含因子2，则因子2不能取0次，所以含因子2的约数个数为3(2+1) (1+1)=18个约数。（6）含因子2的约数和，因子必须取，所以和为(2+22+23)(1+3+32)(1+5)=1092【评析】我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论： I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23527,所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24个.(包括1和它自身).约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积如：21000=233537,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880【例2】【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23527,所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24个.(包括1和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知,我们所求的为360630之间有多少个完全平方数? 1818=324,1919=361,2525=625,2626=676,所以在360630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625【例3】【分析与解】质数的平方才有3个约数。所以有22=4，33=9，55=25，77=49，1111=121，1313=169。 约数倍数天天练【1】【分析与解】假设甲为a,则乙为3a，甲乙的最小公倍数为3a，所以a=543=18，所以甲为18，乙54.【2】【分析与解】a,b=576631=186=2331，所以这两个数为62和93，或31和186【3】【分析与解】6,8,12=24，所以24天为一周期，下次在10月25号见面。【4】【分析与解】完全一样的尽可能大的立方体，说明边长为25、20、15的最大公约数。（25,20,15）=5,所以每个小立方体的边长为5，体积为555=125立方分米。计算个数可以利用体积不变原理求解。252015125=60个。【5】【分析与解】说明一个地雷重量为201-183=18的约数，18=233，同时地雷也是201的约数。所以地雷是18，201的公约数。(18,201)=3，所以一个地雷生3千克。【6】【分析与解】我们知道女生比男生少，并且如果女生人数为2份，那么男生人数就是3份，所以练习本共有215=30 份，而总人数为2 + 3 = 5 份，所以如果平均分给全班则每人分得305 = 6 本，即每人应付65= 30（角）3（元）【7】【分析与解】2002847=2308847308=2231308231=17723177=3由上述一系列带余除法算式不难看出，最后剪得的正方形的边长为77毫米边长为847的有2个，308有2个，231有1个，77的有3个，共8个正方形。【评析】本题的求解过程其实是求2002与847的最大公约数的过程上述的计算过程称为辗转相除法，也称欧几里德算法【8】【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为690=540，则乙数为54018=30【9】【分析与解】 显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14所以,最多可以分成14堆【附加题】【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30即在30分钟后,3人又可以相聚【附加题】【分析与解】方法一:由题意知A可以写成352a，B可以写成3526,其中a、b为整数且只含质因子3、5. 即A:31+x52+y,B=31+m52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以(1+x)+1 (2+y)+1=(2+x)(3+y)=12，所以.对应A为31+252=675,31+152+1=1125,或31+052+4=46875；由B有10个约数,所以(1+m)+1(2+n)+l=(2+m)(3+n):10,所以.对应B为31+052+2=1875只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875那么A,B两数的和为675+1875=2550方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)(N+1)：3(N