创新设计高三数学一轮复习 指数与指数函数课件 北师大

理解分数指数幂的概念 掌握有理数指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图象和性质 2 5指数与指数函数 1 分数指数幂的意义 1 a 0 m n N 且n 1 2 a 0 m n N 且n 1 3 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂无意义 2 有理指数幂的运算性质am an am n m n Q am n amn m n Q ab n an bn n Q 3 指数函数的定义函数y ax a 0且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数定义域是R 4 y ax a 0且a 1 的图象和性质 1 右图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 A ad1 a1 b1 b a 1 d c 故选B 答案 B 2 函数f x 3x 0 x 2 的反函数的定义域为 A 0 B 1 9 C 0 1 D 9 解析 f x 3x在 0 2 上递增 则f x 3x 0 x 2 的值域为 1 9 答案 B 3 若A x Z 2 22 x1 则A RB 的元素个数为 A 0B 1C 2D 3解析 A x Z 1 2 x1 或log2x 1 0 2 RB 0 2 A RB 0 1 答案 C 4 方程3x 1 的解是 解析 3x 1 3 2 x 1 2 解得x 1 答案 15 2010 高三调研 如右图 过原点O的直线与函数y 2x的图象交于A B两点 过B作y轴的垂线交函数y 4x的图象于点C 若AC平行于y轴 则点A的坐标是 解析 设A点坐标是 x 2x 则C x 4x B x0 4x 由B点在函数y 2x的图象上 则2x0 4x 则x0 2x 又O A B在一条直线上 解得x 1 因此A点坐标为 1 2 答案 1 2 加法和减法是一级运算 乘法和除法是二级运算 当引进分数指数幂后 乘方和开方也可看作同一级运算 利用指数的运算性质 可将根式与指数幂进行互化运算 同时指数运算也是研究指数函数图象和性质的基础 例1 计算下列各式 学习指数函数的图象与性质是为研究其它函数图象与性质提供了典型范例 性质是对图象的刻画 而图象是对性质的直观反映 通过图象可进一步加强对性质的记忆和理解 利用指数函数的图象与性质可解决与指数函数相关的函数值大小比较 解方程和解不等式等问题 例2 已知f x 2x 1 1 求函数f x 的单调区间 2 比较f x 1 与f x 的大小 解答 1 解法一 由f x 2x 1 可作出函数的图象如图 因此函数f x 在 0 上递减 函数f x 在 0 上递增 当x 0时 f x 0即f x 在 0 上递增 当x 0时 f x 0即f x 在 0 上递减 2 解法一 f x 的图象向左平移一个单位即可得到f x 1 的图象 由 2x 1 1 1 2x 得3 2x 2 即x log2 因此f x 的图象与f x 1 图象交点的横坐标为log2 当x log2时 f x 1 f x 当x log2时 f x 1 f x 当x log2时 f x 1 f x 解法二 2x 1 1 2x 1 2x 1 1 2 2x 1 2 3 2x 2 2x 0 2x x log2 即当x log2时 f x 1 f x 同理当x log2时 f x 1 f x 当x log2时 f x 1 f x 变式2 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 解析 数形结合 由右图可知0 2a 1 0 a 答案 0 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质 比如 函数y y y lg 10 x 1 等 例3 判断函数f x a 0 a 1 的奇偶性 变式3 已知函数f x a 0且a 1 1 求f x 的定义域和值域 2 讨论f x 的奇偶性 3 讨论f x 的单调性解答 1 易得f x 的定义域为 x x R 设y 解得ax ax 0 当且仅当 0时 方程 有解 解得 1 y 1 f x 的值域为 y 1 y 1 当a 1时 ax 1为增函数 且ax 1 0 1 对于分数指数幂理解应注意以下问题 1 分数指数幂不表示相同因式的乘积 的而是根式的另一种写法 分数指数幂与根式可以相互转化 2 分数指数幂不能随心所欲地约分 例如要将写成等必须认真考查a的取值才能决定 例如 而无意义 方法规律 3 在进行幂和根式的化简时 一般是先将根式化成幂的形式 并化小数指数幂为分数指数幂 并尽可能地统一成分数指数幂形式 再利用幂的运算性质进行化简 求值 计算 以利于运算 达到化繁为简的目的 2 指数函数对指数函数定义的理解 1 指数函数y ax的底数a需满足a 0 且a 1 2 指数函数的外形只能是y ax 像y kax k 0 k 1 y ax b b 0 等都不是指数函数 虽然它们可以由y ax的图象通过适当变换得到 本题满分5分 2009 山东 函数y 的图象大致为 解析 y 1 当x 0时 e2x 1 0且随着x的增大而增大 故y 1 1且随着x的增大而减小 即函数y在 0 上恒大于1且单调递减 又函数y是奇函数 故选A 答案 A 答题模板 1 函数y 可以看作是分式函数y 与指数函数y e2x的复合 因此其单调性的判断类似于函数y 1 2 作为选择题 本题的关键是判断函数y 的奇偶性和单调性 主要是利用单调性 必要时还可考虑求函数的值域等 3 学习函数的性质和图象 关键