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点到直线的距离说课教案人教版高中数学第二册(上) 7.3两条直线的位置关系之四点到直线的距离说课教案 仁寿一中 唐和平1. 教材分析:1. 本节课的主要内容是点到直线的距离公式、平行线间的距离公式；渗透数形结合、等价转化的思想，培养探究能力；2. 本节课点到直线的距离知识承前是本节两条直线位置关系的应用,是初中平面几何的延续；启后,它是研究解析几何中关于距离问题的重要工具；3. 学习与探求一个新知识对多数学生来说有一定的难度，故通过学习，有助于让学生在生活与工作中学会处理困难的能力。2. 目标分析:1. 基于点到直线的距离这种地位,本节课要求学生了解距离公式的推导,牢记距离公式，熟练运用距离公式；培养学生将“形”的问题向“数”的运算转化的思想，代数与几何相结合的解析思想，培养学生观察事物，探究和获取新知识的能力；在教学方式上，通过学生亲自推导公式，在做数学中学数学，发挥学生自主学习、在交流中互相帮助，互相促进；2. 根据大纲的教学目的和要求,本节课教学重点是点到直线距离公式的推导过程,因为,成功的公式推导有利于学生巩固所学知识和更熟练的记忆公式;本节课的难点有两个:一是距离公式的推导,因为这里有常规方法（用两点间的距离公式）“易想证繁”,技巧方法（等积法）“难想易证”;二是公式的应用,因为公式形式较繁。3. 教学方法分析:1. 教具:由于本节课是数形结合的典范，故辅助使用Microsoft powerpoint课件,利用动画反映出图象的变化,其优点迅捷,形象生动；2. 教法分析:根据本节课的教学目标和学法要求,分别采用讲解法、演示法、类比法、练习法及提问启发配合应用.因为本节课为新知识讲授课,故要采用讲解法;推导距离公式要结合图象,所以要用演示法;在讲解中比较距离的几何作法、求法与代数算法的优劣点,故采用类比法;为达到“正确使用-熟练记忆-熟练运用”这三步曲,故要用练习法;在讲解中多次设问,启发学生积极思维；3. 学法分析:因为解析几何的特点,要求学生在学习中看、画、说、想、练五者有机的结合，“数有形，形有数，数形结合显神威”，所以数形结合法,练习法就成了本节课学生必采取的学习方法。4. 教学过程分析:1.教学程序及时间安排: （时间45分钟）(1) 复习引入（5分钟）：前奏：五千多年前的古埃及，尼罗河年年泛滥，冲毁人们的家园和良田，洪水过后，人们重新分配土地，在丈量的过程中，得出了两点间的距离，需要计算土地的面积，这样就产生了点到直线的距离问题。(来点历史，提高学生兴趣)两点间的距离公式？(数轴上两点的距离；两点所在直线平行于数轴时两点的距离；坐标平面上任意两点的距离) （课件演示，教师提问）点到直线的距离的定义？（教师提问，课件演示图象）由复习中点到直线的距离在平面几何中的求法提问：可不可以用代数方法来算点到直线的距离?(课件演示平面直角坐标系中点到直线的距离的图象)说明：距离产生的历史让学生产生探索的兴趣，由点点距离自然引入点线距离。(2) 研究探索，寻找转化，推导公式（18分钟）：方案1：利用学生已有的知识-点点距离，自然想到点线距离转化为点点距离。所以就有下列解决新问题的过程(“只说不练”)：如图：设PQ为点P到直线l的垂线段，即d=|PQ|，由PQl知，再由点斜式写出PQ所在的直线方程，联立l和PQ的直线方程求出Q点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|PQ|说明：思路清晰自然，但计算太繁，故教师“光说不练”，学生动手推导体会难度；通过实战，教师强调：研究解析几何问题一般离不开代数运算，一方面，要求我们要有一定的运算能力，敢于“硬碰硬”；另一方面，我们也应该牢记“见繁就变，见简即用，不效一法，乃为通术”的原则；这样就过渡寻求另法解决；为了推导的科学性与严密性，应先假设A0，B0方案2：回忆在平面几何中求点线距离的方法：构造直角三角形。设A0，B0，如图所示，此时l与x轴、y轴都相交，由x轴y轴这一特点，过P作x轴的平行线，交l于点；作y轴的平行线，交l于点，构造直角，分析如何求线段|PQ|的长？说明：结合平面几何知识，引导学生分析出利用等积法求线段|PQ|的长。然后教师给出推导过程(课件演示图象，教师板书推导过程，这样学生才印象深刻)注意要点明等积法求距离也是立体几何中求距离的一个重要方法.当A=0，B0时，直线l方程为：By+C=0,即，由上面公式计算得：这说明，当A=0，B0时，以上公式仍然适用；同理，当B=0，A0时，公式也适用；另一方面，当A=0或B=0时，也可以不用上面公式而直接求出距离；综上，得点到直线的距离公式。(3) 分析公式特点,教会学生记忆方法. (1分钟)(4) 讲解例1用:演示课件中图象,达到计算与图象的完美结合. (4分钟)说明:第(2)小题既可以代公式计算,也可以根据图象(右图)特点直接运算(这里图象演示尤为重要)(5) 讲解例2:演示课件中的图象,观察平行线间的距离处处相等,提出问题:怎样求已知两条平行直线的距离? (8分钟)教师给出分析和解答：根据平行线间的距离处处相等这一性质，将线线距离转化为点线距离；在任一直线(以能取出的点越简单越好)比如：在2x-7y-6=0上任取一点P(3,0)，则点P到直线2x-7y+8=0的距离就是两条平行线间的距离。说明：是否可以在一直线上任意取一般的点来求两条平行线间的距离距离?在直线2x-7y-6=0上任取一点，则点P到直线2x-7y+8=0的距离也是两条平行线间的距离，因此 ()上述过程也是用代数方法证明了“平行线间的距离处处相等”这一性质；观察()式，能不能得出两条平行线间距离的一般公式？这就是课本P54第15题，请学生课外证明该公式：(6) 课堂练习与讲评：(6分钟)(1) 求原点到下列直线的距离： 3x+2y-26=0 x=y(2) 求下列点到直线的距离： A(-2,3),3x+4y+3=0 B(1,0),(3) 求下列两条平行线的距离：2x+3y-8=0, 2x+3y= -18说明：练习时要有时间限制，时间允许可以抽学生在黑板上演算(7) 课堂小结: (2分钟)(1) 通过学习点到直线距离公式的推导过程，深刻理解“见繁就变，见简即用，不效一法，乃为通术”的思想，为以后解解析几何题打下基础；(2) 熟练掌握并应用点到直线距离公式和平行线间的距离公式；(3) 熟练掌握数形结合、转化的数学思想(8) 课外作业：课本P54： 13题至16题(1分钟)2.关于教学过程的几点说明与反思:(1) 从三个方面突出重点：一是详细的讲解；二是多媒体课件与板书推导的完美结合；三是练习巩固距离公式；(2) 从两个方面突破难点：一是多媒体课件变化多端、形象直观,学生在趣味中来学;二是评讲纠错；(3) 板书设计：本节课若没有多媒体辅助教学,那么将是老师讲得累,学生学得苦；但数学课一味依赖多媒体课件,而没有老师的板书和关键步骤的亲自演算,那数学课将失去它的味道，所以板书演算也是非常必要的。(4) 课后反思： 本节课教学围绕“设疑-解疑-应用”逐一展开，同时把两平行线间距离公式做为本节课的第二重点，对教材内容进行优化组合；在教学过程中，通过设问、解问、应用逐步递进发挥学生自主学习，在做数学中学数学，在交流中互相帮助，互相促进；在课堂上引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，充分体现师生合作、师生互动的思想。课题：高中数学第二册（上）7.3.4：“点到直线的距离”教学目的：1探索并掌握点到直线的距离公式2联系已学的直线方程、线性规划等知识，体会学习“转化”的数学思想方法3体验信息技术在数学学习中的应用4分析比较不同思想指导下的不同研究方法，培养学习策略教法：讲授法结合图形计算器探索操作，带领学生进行分析比对和总结教具：实物投影仪，TI-92+图形计算器教学过程：一、整体设计新教材在整体设计上有所改变，讨论过不等式之后紧接着研究直线方程，其中还添加了之前没在教材中出现的线性规划知识深入对这段教材进行分析后，我对教材安排的教学顺序进行了调整当然这一调整也充分考虑了信息技术优势给教学带来的崭新变化，借鉴了人民教育出版社“信息技术整合本”教材相关内容，结合之前我们已有的研究经验而最终确定了下来具体地说完成直线方程的教学后，学生已经较好地建立起直线与二元一次方程的这种基本对应观点之后随即帮他们建立区域和不等式的联系，介绍其应用即线性规划问题当中作为线性规划基础的“直线为边界的区域”可以很好地体现出信息技术工具动态的特点，在实验中除了自然延伸到线性规划应用外，也很清晰地表现了点线距离的定量关系，这一点正好作为伏笔将不等式、直线方程、直线区域、点线距离连成了一个发展的知识系统，吸引学生逐步深入、以良好的条理对这些内容进行构建所以本课设计上是由学生已经熟悉的实验现象入手，以解决没有理论依据的数学猜想为目的学生在解决已有问题的过程中获得新知识并将其融入已有知识系统并进行发展在新知识（距离公式）教学过程中将利用信息技术对传统教法进行改革：教材中因为计算的繁琐回避的方法正是很好体现了“未知向已知转化”数学思想的基本方法，这一困难已经很好地被信息技术所克服因此我设计对这种方法和迂回解决的传统方法进行分析比较，让学生从不同角度理解数学的基本观点和思想二、教学步骤1回顾实验现象、提出问题、重建实验实验现象：直线将平面分成三部分，对应不同的代数对象（线性规划的原理）f(x0,y0)的值与点线距离同时变化，除符号外绝对值也有联系（之前猜想为正比关系）测量计算证实二者确实成正比，比例系数在不考虑符号时是由直线确定的常数问题：这个比例系数是什么？点线距离与|f(x0,y0)|之间是什么定量关系？2引出新知识、提出新问题以上问题可以通过点线距离公式获得解决具体细分为以下几步：明确问题，谁是所求、谁是已知、谁是未知求解途径是什么，有哪几步有什么问题，如何克服遇到的困难3解法分析根据定义可以非常直观地将点线距离转化为点到垂足的点点距离：任意点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,过P垂直于l的直线垂足为Q,直线PQ方程为：Bx?Ay+m=0,将P点坐标带入PQ方程：m=Ay0?Bx0,求Q坐标就是求解方程组： 将坐标带入两点间距离公式就是所求点到直线距离以上思路非常直观但是如教材所言该方法存在运算繁琐的困难，通过两条途径解决：借助技术手段实现上述方法改进上述方法是计算过程简化至可以接受4解法实施技术求解求解方程组将结果保存于变量sol 取出Q点横坐标存于变量xx取出Q点纵坐标存于变量yy 带入两点间距离公式迂回求解（由学生讲解教材的方法，讨论其他迂回的方法）求出的点线距离公式从理论上解决了前面实验所观察到的现象，证实了有关比例关系的猜想，而且明确地得到比例系数如何由直线方程所确定的规律这样对坐标平面上点和直线的位置关系研究无论是定性还是定量都有了比较完整的结论5比对分析带领学生体会两种不同解决途径的特色：技术求解，方法直观但运算较繁，可借助技术工具解决迂回求解，需要更多智力参与，将本质难点进行转化或分解式运算过程简化6将所得结果进行发展推导平行直线间的距离公式突出转化思想：转化成其中一条直线上一点到另一直线的点线距离转化成两平行直线与特殊点（原点）的相对距离课后反思1这节课是解析几何直线部分的收尾之作，从内容上没有太大难度，不过从知识体系的角度看有比较重要的意义由于整体上作了顺序的调整，几何对象与代数对象之间的有机联系得到了较好地体现，这也是解析几何基本思想的反映2本课的设计目的是通过探索点线距离公式使学生了解几何对象背后的代数关系，在这个大问题之下才是如何推导公式的问题这样的处理我认为体现了研究过程，对培养学生的数学素养是有好处的，学生带着大问题去思考小问题，小问题的解决揭示了大问题的本质3具体教学过程中解决问题途径的比较是一个设计的重点，跳出具体的问题、具体的解法去关注更深的层次也是全面数学教育观的基本认识同时这也往往是学生忽略和不擅长做的数学功夫4教学模式设计上技术手段在本课中与传统方法起到了同等重要的作用，学生认识到实用技术不仅是解决具体问题的一种手段，宏观上也是一类重要数学方法，它与我们熟悉的巧思妙想的数学方法各自具有不同的优势5图形计算器在本课中扮演了两个角色：动态的实验环境使学生发现数学现象，准确的计算工具代替人的繁琐运算这两点正好都是信息技术在数学学习中不可替代的优势，也让学生对问题敢想敢动手研究6这里教学的形式是老师带着学生在研究，我想就这一系列内容更理想的状况是教师给出适当的方向和指导，由学生进行自由的探索与研究，再由他们自己进行总结和发展课题：点到直线的距离教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第七章第3节教学目标：(1) 至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。(2) 培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。(3) 认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。(4) 培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导教学方法：启发引导法、讨论法学习方法：任务驱动下的研究性学习教学时间：45分钟教学过程：1 .教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线l： Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：(1)求P（1 ,2）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=2）(2)求P（x0 ,y0）到直线l：By+C=0（B0）的距离d；（答案：）(3) 求P（x0 ,y0）到直线l：Ax+C=0（A0）的距离d；（答案：）(4) 求P（6 ,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d；（答案：d=1）(5) 求P（x0 ,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB0）的距离d。第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。2教师启发引导，学生走出困境（约8分钟）教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？学生2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。P(x0,y0)Q图1教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们思考。学生3：能！如图1，过点P作x、y 轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得 |PQ|=（|PR|PS|）/|RS|教师：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？学生3：设R（x1 ,y0），则由Ax1+By0+C=0， 得x1= （By0+C）A， |PR|=| x0- x1|=|Ax0+By0+C|A|； 同理：|PS|=|Ax0+By0+C|B|。教师：|RS|怎么求？学生3：|RS|=（/|AB|）|Ax0+By0+C|。教师：|PQ|结果是什么？学生3：|PQ|=。教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？学生4：当A=0或B=0时，PRS不存在，故应说明公式当A=0或B=0时是否适用？由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。3 .教师提出问题，学生分组讨论（约10分钟）教师：推导点到直线的距离公式的方法不少。前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。10分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”交流。学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问4.学生交流“成果”，教师点评小结（约16分钟）经过约十分钟的研讨，各小组都找到了新的推导方法。于是教师请4名代表依次上讲台（让准备成熟的先讲），借助实物投影介绍本组的“成果”。由于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过4分钟，且各组的方法不能重复。学生5：我们用的是“设而不求，整体代换”的数学思想。请看投影屏幕： 设Q的坐标为（x1 ,y1），则直线PQ的斜率k1=，又直线l的斜率k= -，于是由PQ l得, k1k= -1即B(x1- x0)-A(y1- y0)=0 又因为Ax1+By1+C=0， 即Ax1+By1=-C 两边同减Ax0+By0得 A(x1-x0)+B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) 于是2+2得, (A2+B2)(x1-x0)2+(y1-y0)2= (Ax0+By0+C)2, 即 (A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2所以 d=。 教师：“设而不求，整体代换”，真是奥妙无穷，这是解析几何减少运算量的有效途径，同时也体现了数学的内在美，妙不可言。 学生6：我们小组向大家介绍一种独特的方法向量法，请看投影屏幕：T(x1,y1)P(x0,y0)Q图2 如图2，设T（x1 ,y1）为直线l上的任意一点，则Ax1+By1+C=0，=（x1-x0，y1-y0） PQ直线l ，平行于直线l的法向量=（A，B） 另设与的夹角为，则=cos 即|A(x1-x0)+B(y1-y0)|= | cos| 即|Ax0+By0+C|=d d=。教师：向量是数量与图形的有机结合，解析几何是用代数的方法解决几何问题，两者都体现了数形结合的思想，第三小组的推导方法证明了这一点，也再次说明了向量具有很强的实用性与工具性，用向量法解解析几何题确实行之有效。学生7：我们小组向大家介绍向量的另一种方法，妙用向量数量积的性质请看投影屏幕：如图3，设垂足是点H(m,n)， 直线l的法向量共线， 这是相当简单的方法了。教师：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是“巧夺天工”，与其他方法相比，这种方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应用。学生8：刚才三个小组的证明方法确实精彩，我们也发现了一种巧妙的方法，把它称为“柯西不等式法”，请看投影屏幕：我们知道，P点到直线l的距离,实质上是点P与直线l上任意一点T的距离的最小值，于是我们设T（x1 ,y1）为直线l上的任一点（如图2），则Ax1+By1+C=0，而d=|PT|min，于是|PT|=，利用柯西不等式，便有|PT|=，所以d=，此时，即PT垂直于直线l。教师：这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富。由点到直线的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“转化”中问题得到圆满解决。同时也体现了不等式的工具作用。5.公式应用（学生练习，约3分钟）（1） 求P（6 ,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d.（直接代公式得答案：d=1，检验尝试性题组第（4）的答案）（2）求P（