估算(薛1).doc

估算（一）估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。例、求算式0.123450510.51504321的小数点后前三位数字是多少？分析与解：真正计算出这个算式，再取近似值，几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。若分子缩小、分母扩大，则分数变小；若分子扩大、分母缩小，则分数变大。利用这一点，使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数，有由0.2037 原式0.2549，无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大，应使范围缩小些。分子、分母各取三位小数，有仍然无法确定，还应使范围缩小。分子、分母各取四位小数，有由 0.2395原式0.2398知，原式小数点后三位肯定是“239”，第四位在5和8之间。按四舍五入法则，精确到小数点后三位数的近似值是0.240。由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了，范围太大，无法确定；取的位数多了，例如取十位小数，计算量太大，繁琐且没有必要。练一练：1、 A=1234567891011121331211101987654321，求 A的小数点后前3位数字。解：A12343122=0.3952A123531210.3957所以0.3952A0.3957，A的小数点后前3位数是395。说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下：将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有123431210.39530.395。2、计算下式的精确到小数点后三位数的近似值：13579024688642097531。3、计算5.438262.01202商保留两位小数。4、135791113151719212325523212917151311197531，求商的小数点后前三位数字。【解答】设题中所述式子为AB，由于题中所涉及的数太大，不大可能通过直接来确定前五位数（否则计算量太大）下面利用估值算法来求。因为AB14520.3，AB13530.2，所以次数的第一位数字为2。又因为AB135.85230.2597，AB135752330.259，所以次数的第一、二、三位数字为2，5，9。又因为AB1357925232120.25954，AB1357915232130.25953，所以此五位数字是2，5，9，5，3。例2、求下式的整数部分：1.228.03+1.238.02+1.248.01。分析与解：在1.228.03， 1.238.02与1.248.01中，各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，于是得到1.228.031.238.021.248.01。因为1.228.031.228，所以 原式1.2283=29.28；因为 1.248.011.258，所以 原式1.2583=30。由29.28原式30知，原式的整数部分是29。前面讲过，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中，一定要注意灵活运用，特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。练一练：求下式的整数部分：2. 454.052.464.042.474.032. 484.022.494.01例3、，的整数部分的多少？【解答】步骤一：原式9/109/109/10 = 9（10个9/10的和）。 步骤二：原式111 = 10（10个1的和）。 所以原式的和的整数部分是9。练一练：A = 1，则A的整数部分是多少？例4、求下式的整数部分：分析与解：对分母使用放缩法，有所以199.1原式200，原式整数部分是199。练一练：1、数的整数部分是几? 【分析与解】 我们可以先算出连10个分数的值，然后用所得的结果去除l，所得的商的整数部分即为所求 现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出的值因为 即 即的值在l，那么它的倒数在l之间，显然所求的数的整数部分为1 评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求2、S = ，那么S的整数部分是多少？3、S=，求S的整数部分。4、求下式中S的整数部分：5、设，求的整数部分。6、求A=1（）的整数部分。例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么？分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40与12.50之间。原来13个数的总和最小应该是12.4013=161.2，最大应该是12.5013=162.5之间，从而可求出这 13个自然数的总和162，从而知道正确答案12.46练一练：1、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是21.83，正确答案应是多少？2、老师在黑板上写了14个自然数，让小明计算平均数（保留三位小数），小明计算出的答案是16.387。老师说小数点后第二位错了，其他的数字都对。正确答案应该是多少？例6、有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么，精确到小数点后两位数是多少？分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题意知，26.85平均值26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。26.8513349.05，26.9513350.35。因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。3501326.923当精确到小数点后两位数时，是26.92。例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。当然，这里的“放大”与“缩小”都要适当