利用微分中值定理证明不等式.doc

目 录摘 要1关键词1Abstract1Keywords10 前 言11 知识准备.12 利用罗尔中值定理证明23 利用拉格朗日中值定理证明34 利用柯西中值定理证明不等式55 利用泰勒中值定理证明76 综合利用微分中值定理证明不等式.10参考文献.11利用微分中值定理证明不等式摘 要:微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法,本文讨论了各个中值定理在证明不等式中的不同用法以及综合利用微分中值定理证明不等式.关键词:微分中值定理;不等式Using differential mean value theorem proving inequalityAbstract:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.Key Words:differential mean value theorem;inequalities0前言不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别.1知识准备微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1 罗尔中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且满足,那么在内至少存在一点,使得.定理2 拉格朗日中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导, 那么在内至少存在一点,使得.当函数在内的变化范围已知时,有,于是可以利用拉格朗日定理来证明一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么在内至少存在一点,使得. 定理4 泰勒中值定理:如果函数在含有点的区间上有直到阶的导数,则函数在内可表示成一个多项式与一个余项式的和:.其中,. 注:当时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式. 在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.2利用罗尔中值定理证明不等式 罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理,这类内容会放在第六部分详细介绍, 这里就不再赘述. 3利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线,两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ,; (2) ;(3) 值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于,还是都成立.而则是介于与之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点表示成了,使得不论,为何值,总可为小于的某一整数.例1 (1)如果,试证; (2)求证: .证明 (1)令,在区间上连续,在内可导,应用拉格朗日中值定理,则有,.由于在闭区间上,有,所以.(2)当时,显然等号成立.当时,不妨设.设, 由拉格朗日中值定理得, ,.则有 所以 .以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例2 当时,函数在其定义域上可导,且为不增函数,又, 求证 .证明 用数学归纳法当时,显然不等式成立.当时,若均为,或者一个为时,当一个为时,显然有 .设均大于,不妨设,在应用拉格朗日中值定理可得:.在上再次利用拉格朗日中值定理可得:显然,由题设知, .所以 ,即 .假设当时不等式成立,即 .取,显然的情况不证而明,所以只考虑的情况.取,由前面已证的结论有 ,再用归纳假设可得 ,即当时结论成立.所以.4利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为)取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例1用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证明 (1)令,.在区间上连续,在内可导,且在内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:,则有 ,.下面与例1中解法同,这里就不再赘述了. 例3 (1)设,对的情况,求证: .(2)设，求证: .证明 (1)设,.当时结论显然成立.当时,取或,在闭区间或上连续,在开区间或可导,且在内或每一点均不为零,由柯西中值定理可得:,或即 .所以得证.(2)设,在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:,.即 ,.因为,所以.即 . 注意:例3中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 4 如果函数满足两个条件:(1)在闭区间上有二阶导数;(2) .试证明:在开区间内至少存在一点,使得 .证明 令.在此我们利用用反证法来证明本题,我们不妨假设,.对于构造的辅助函数及(其中是中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:其中介于与之间(即或),为上任意点,特别地,在上式中取,并利用已知条件,则有:,其中满足,于是 .同理再取,并利用已知条件,则得:,其中满足.于是: .因此, .这是不可能的.所以在区间内至少存在一点,使得 .5利用泰勒中值定理证明不等式泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数的假设条件较少,只需函数在处阶可导,不需要阶可导,也不需要在的邻域内存在阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好. 利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明:例5 当时,求证:.分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明,而利用泰勒中值定理时,当时,不等式为:.显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证明 令,那么函数在点展开前项的泰勒公式,余项取拉格朗形式,那么有:.因为,所以,从而,所以有 .即 .同理,因为,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例4的另一种证法:由题设条件,应用泰勒展开式有:,其中介于与之间,介于与之间.上述两式相减,且有,得:,.令,则有:,.即 .例6 设函数在上二阶可导,且,.求证:对任意的,有.证明: 对任意的,将在点展开.(其中介于与之间).注意到,所以有.对上述不等式的两边对积分,得: 因为.所以. 6综合利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数在上连续,在内可导,则有:(1)如果在在内函数的导数,则函数在上单调增加;(2) 如果在在内函数的导数,则函数在上单调减少.另外,函数在内除有个别点外,仍有(或),则函数在上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出连续但不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近的符号变化情况,确定函数的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例7 求证 (1)当时,证明成立.(2)当时,证明成立.证明 (1)令,因为函数在上连续,在内可导,且 .当时,所以当时,函数是单调递增的.故当时,有:,即,从而 成立.(2)因为,所以,.令函数,则有: 因为时, ,所以.即在时严格递增的,又因为,所以,即成立. 例8 设函数在闭区间上二次可微,且满足,试证:当时,有不等式: 成立.证明 令,那么.由于,可知在闭区间上是严格递增的,即,从而有 ,故函数在闭区间上也是严格递增的,于是当时,有:,即 成立.参考文献 1D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式M.北京:科学出版社.1987.2.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.20063.科朗等.微积分和数学分析引论M.北京:科学