高考数学大一轮复习 7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课件 理 苏教版.ppt

7 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 第七章不等式 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线以表示区域边界直线 当我们在坐标系中画不等式ax by c 0所表示的平面区域时 此区域应边界直线 则把边界直线画成 平面区域 不包括 包括 实线 2 由于对直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得的符号都 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 x0 y0 作为测试点 由ax0 by0 c的即可判断ax by c 0表示的直线是ax by c 0哪一侧的平面区域 相同 符号 2 线性规划相关概念 一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 3 应用利用线性规划求最值 一般用图解法求解 其步骤是 1 在平面直角坐标系内作出可行域 2 考虑目标函数的几何意义 将目标函数进行变形 3 确定最优解 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线 从而确定最优解 4 求最值 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 不等式ax by c 0表示的平面区域一定在直线ax by c 0的上方 2 不等式x2 y2 0表示的平面区域是一 三象限角的平分线和二 四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域 4 线性目标函数的最优解可能是不唯一的 5 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 6 目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 2 m 1 2 解析 作出不等式组表示的平面区域 如图中阴影部分所示 z 2x y 则y 2x z 易知当直线y 2x z过点a k k 时 z 2x y取得最小值 即3k 6 所以k 2 题型一二元一次不等式 组 表示的平面区域 思维升华 解析 解析不等式组表示的平面区域如图所示 因此只有直线过ab中点时 思维升华 解析 思维升华 解析 二元一次不等式 组 表示平面区域的判断方法 直线定界 测试点定域 注意不等式中不等号有无等号 无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 测试点可以选一个 也可以选多个 若直线不过原点 则测试点常选取原点 思维升华 解析 解析 答案 思维升华 例1 2 如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 两直线方程分别为x 2y 2 0与x y 1 0 由 0 0 点在直线x 2y 2 0右下方可知x 2y 2 0 又 0 0 点在直线x y 1 0左下方可知x y 1 0 解析 答案 思维升华 例1 2 如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 为所表示的可行域 解析 答案 思维升华 例1 2 如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 为所表示的可行域 解析 答案 思维升华 例1 2 如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 二元一次不等式 组 表示平面区域的判断方法 直线定界 测试点定域 注意不等式中不等号有无等号 无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 测试点可以选一个 也可以选多个 若直线不过原点 则测试点常选取原点 解析 答案 思维升华 例1 2 如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 解析直线ax y 1 0过点 0 1 作出可行域如图知可行域由点a 1 0 b 1 a 1 c 0 1 组成的三角形的内部 包括边界 解得a 7 答案7 2 如图所示的平面区域 阴影部分 满足不等式 x y 1 0 解析 答案 思维升华 画出可行域 如图阴影部分所示 由z 2x y 得y 2x z 解析 答案 思维升华 a 1 1 解析 答案 思维升华 b 2 1 当直线y 2x z经过点a时 zmin 2 1 1 3 n 当直线y 2x z经过点b时 zmax 2 2 1 3 m 故m n 6 解析 答案 思维升华 b 2 1 当直线y 2x z经过点a时 zmin 2 1 1 3 n 当直线y 2x z经过点b时 zmax 2 2 1 3 m 故m n 6 6 解析 答案 思维升华 线性规划问题的解题步骤 1 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线 2 平移 将直线平行移动 以确定最优解的对应点的位置 6 解析 答案 思维升华 3 求值 解方程组求出对应点坐标 即最优解 代入目标函数 即可求出最值 6 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 作出不等式组表示的可行域 如图 阴影部分 易知直线z 2x y过交点a时 z取最小值 解析 答案 思维升华 zmin 2 2a 1 解析 答案 思维升华 zmin 2 2a 1 解析 答案 思维升华 线性规划问题的解题步骤 1 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线 2 平移 将直线平行移动 以确定最优解的对应点的位置 解析 答案 思维升华 3 求值 解方程组求出对应点坐标 即最优解 代入目标函数 即可求出最值 解析 答案 思维升华 画出可行域如图阴影部分所示 答案4 解析作出可行域 如图中阴影部分所示 例3某客运公司用a b两种型号的车辆承担甲 乙两地间的长途客运业务 每车每天往返一次 a b两种车辆的载客量分别为36人和60人 从甲地去乙地的营运成本分别为1600元 辆和2400元 辆 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队 并要求b型车不多于a型车7辆 若每天运送人数不少于900 且使公司从甲地去乙地的营运成本最小 那么应配备a型车 b型车各多少辆 题型三线性规划的实际应用 解析 思维升华 解设a型 b型车辆分别为x y辆 相应营运成本为z元 则z 1600 x 2400y 作可行域如图所示 可行域的三个顶点坐标分别为p 5 12 q 7 14 r 15 6 解析 思维升华 由图可知 当直线z 1600 x 2400y经过可行域的点p时 直线z 1600 x 2400y在y轴上的截距最小 即z取得最小值 故应配备a型车5辆 b型车12辆 可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小 解析 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤 1 分析题意 设出未知量 2 列出线性约束条件和目标函数 3 作出可行域并利用数形结合求解 4 作答 解析 思维升华 跟踪训练3某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用a原料3吨 b原料2吨 生产每吨乙产品要用a原料1吨 b原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨 b原料不超过18吨 那么该企业可获得的最大利润是 万元 解析设生产甲产品x吨 乙产品y吨 则获得的利润为z 5x 3y 可行域如图阴影所示 由图可知当x y在a点取值时 z取得最大值 此时x 3 y 4 z 5 3 3 4 27 万元 答案27 解析 答案 思维升华 题型四求非线性目标函数的最值 题型四求非线性目标函数的最值 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 解析 答案 思维升华 题型四求非线性目标函数的最值 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 解析 答案 思维升华 常见代数式的几何意义有 题型四求非线性目标函数的最值 解析 答案 思维升华 题型四求非线性目标函数的最值 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域 解析 答案 思维升华 结合图形可知 在该平面区域内的点中 解析 答案 思维升华 由点 1 0 向直线x y 2引垂线的垂足位于该平面区域内 且与点 1 0 的距离最小 解析 答案 思维升华 由点 1 0 向直线x y 2引垂线的垂足位于该平面区域内 且与点 1 0 的距离最小 解析 答案 思维升华 常见代数式的几何意义有 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 区域是 1 平面区域 2是与 1关于直线3x 4y 9 0对称的区域 对于 1中的任意一点a与 2中的任意一点b ab的最小值为 解析由题意知 所求的ab的最小值 即为区域 1中的点到直线3x 4y 9 0的距离的最小值的两倍 1 设不等式组 跟踪训练4 所表示的平面 画出已知不等式表示的平面区域 如图所示 可看出点 1 1 到直线3x 4y 9 0的距离最小 答案4 若直线kx y 2 0经过该可行域 则k的最大值为 2 设变量x y满足 解析画出可行域如图 k为直线y kx 2的斜率 直线过定点 0 2 并且直线过可行域 若直线kx y 2 0经过该可行域 则k的最大值为 2 设变量x y满足 1 典例 14分 变量x y满足 思维点拨 规范解答 思想与方法系列10利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值 思维点拨 规范解答 作出 x y 的可行域如图所示 思维点拨 规范解答 思维点拨 规范解答 z的值即是可行域中的点与原点o连线的斜率 思维点拨 规范解答 2 设z x2 y2 求z的取值范围 思维点拨 规范解答 2 设z x2 y2 求z的取值范围 思维点拨 规范解答 2 设z x2 y2 求z的取值范围 解z x2 y2的几何意义是可行域上的点到原点o的距离的平方 结合图形可知 可行域上的点到原点的距离中 2 z 29 思维点拨 规范解答 3 设z x2 y2 6x 4y 13 求z的取值范围 思维点拨 规范解答 温馨提醒 3 设z x2 y2 6x 4y 13 求z的取值范围 思维点拨 规范解答 温馨提醒 解z x2 y2 6x 4y 13 x 3 2 y 2 2的几何意义是可行域上的点到点 3 2 的距离的平方 结合图形可知 可行域上的点到点 3 2 的距离中 dmin 1 3 4 3 设z x2 y2 6x 4y 13 求z的取值范围 16 z 64 思维点拨 规范解答 温馨提醒 1 本题是线性规划的综合应用 考查的是非线性目标函数的最值的求法 2 解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法 给目标函数赋于一定的几何意义 3 本题错误率较高 出错原因是 很多学生无从入手 缺乏数形结合的应用意识 不知道从其几何意义入手解题 3 设z x2 y2 6x 4y 13 求z的取值范围 思维点拨 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 1 平面区域的画法 线定界 点定域 注意实虚线 3 解线性规划应用题 可先找出各变量之间的关系 最好列成表格 然后用字母表示变量 列出线性约束条件 写出要研究的函数 转化成线性规划问题 方法与技巧 4 利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题 失误与防范 1 画出平面区域 避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 2 3 4 5 6 7 8 10 1 所表示的平面区域如图中阴影部分所示 在y x 1中 令x 0得y 1 即直线y x 1与y轴的交点为c 0 1 解得t 1或t 3 不合题意 舍去 答案1 9 3 4 5 6 7 8 1 10 2 9 3 4 5 6 7 8 1 10 2 解析 x y 把平面分成四部分 x y 表示含y轴的两个区域 x 1表示x 1所夹含y轴的带状区域 答案 9 2 4 5 6 7 8 1 10 3 解析画出平面区域如图所示 直线y kx一定垂直x y 4 0 即k 1 只有这样才可使围成的区域为直角三角形 且面积为1 9 1 2 3 5 6 7 8 1 10 4 解析如图 由y ax z知z的几何意义是直线在y轴上的截距 9 2 3 5 6 7 8 1 10 4 故当a 0时 要使z y ax取得最大值的最优解不唯一 则a 2 当a 0时 要使z y ax取得最大值的最优解不唯一 则a 1 答案2或 1 9 2 3 4 6 7 8 1 10 5 解析画出可行域如图所示 由z 2x y 得y 2x z 欲求z的最大值 可将直线y 2x向下平移 9 2 3 4 6 7 8 1 10 5 当经过区域内的点 且满足在y轴上的截距 z最小时 即得z的最大值 如图 可知当过点a时z最大 即a 5 2 则zmax 2 5 2 8 答案8 9 2 3 4 5 7 8 1 10 6 解析作出可行域为 abc 如图 则s abc 4 9 2 3 4 5 6 8 1 10 7 解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x y z 9 2 3 4 5 6 8 1 10 7 结合图形分析可知 要使z 2x y的最大值是6 直线y k必过直线2x y 6与x y 0的交点 即必过点 2 2 于是有k 2 平移直线2x y 6 当平移到经过该平面区域内的点 2 2 时 相应直线在y轴上的截距达到最小 此时z 2x y取得最小值 最小值是z 2 2 2 2 答案2 2 9 8 铁矿石a和b的含铁率a 冶炼每万吨铁矿石的co2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表 2 3 4 5 6 7 1 10 8 9 2 3 4 5 6 7 1 10 8 某冶炼厂至少要生产1 9 万吨 铁 若要求co2的排放量不超过2 万吨 则购买铁矿石的最少费用为 百万元 解析设购买铁矿石a b分别为x万吨 y万吨 购买铁矿石的费用为z 百万元 9 2 3 4 5 6 7 1 10 8 目标函数z 3x 6y 记p 1 2 画出可行域可知 当目标函数z 3x 6y过点p 1 2 时 z取到最小值15 答案15 9 9 若直线x my m 0与以p 1 1 q 2 3 为端点的线段不相交 求m的取值范围 解直线x my m 0将坐标平面划分成两块区域 线段pq与直线x my m 0不相交 则点p q在同一区域内 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 10 某玩具生产公司每天计划生产卫兵 骑兵 伞兵这三种玩具共100个 生产一个卫兵需5分钟 生产一个骑兵需7分钟 生产一个伞兵需4分钟 已知总生产时间不超过10小时 若生产一个卫兵可获利润5元 生产一个骑兵可获利润6元 生产一个伞兵可获利润3元 1 试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润 元 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 2 3 4 5 6 7 8 1 10 解依题意每天生产的伞兵个数为100 x y 所以利润 5x 6y 3 100 x y 2x 3y 300 9 2 3 4 5 6 7 8 1 10 2 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大 最大利润是多少 9 2 3 4 5 6 7 8 1 10 目标函数为 2x 3y 300 作出可行域 如图所示 作初始直线l0 2x 3y 0 平移l0 当l0经过点a时 有最大值 9 2 3 4 5 6 7 8 1 10 最优解为a 50 50 此时 max 550元 故每天生产卫兵50个 骑兵50个 伞兵0个时利润最大 且最大利润为550元 9 解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 2 3 4 5 1 6 显然a 8 否则可行域无意义 由图可知x 2y在点 6 a 6 处取得最大值2a 6 由2a 6 14得 a 10 答案 8 10 2 3 4 5 1 6 解析当a 5时 作出不等式组表示的可行域 如图 1 阴影部分 2 3 4 5 1 6 则目标函数z x 5y过a点时取得最大值 zmax 3 5 2 7 不满足题意 当a 3