浙江专用高中数学第三章函数的应用【新人教版】.docx

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第三章 函数的应用 新人教版必修13.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点目标定位1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.3.能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数.自 主 预 习1.函数的零点对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.3.函数零点存在的判定方法如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0不一定成立.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点是一个点.()(2)若函数yf(x)满足在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，函数yf(x)也可能有零点.()提示(1)错.函数的零点是一个数，而不是一个点.(2)错.有零点但不一定唯一.(3)对.如：f(x)x2，x1，1.答案(1)(2)(3)2.下列函数没有零点的是()A.f(x)0 B.f(x)3C.f(x)x22 D.f(x)x解析函数f(x)3不能满足f(x)0，因此没有零点；函数f(x)0有无数个零点；函数f(x)x22有两个零点，为；函数f(x)x有两个零点，为1.答案B3.若4是函数f(x)ax22log2x的零点，则a的值等于()A.4 B.4C. D.解析由题意知f(4)0，即16a2log240，解得a.答案D4.函数f(x)x25x的零点是_.解析由f(x)x25x0，解得x0或x5，所以函数f(x)的零点为0或5.答案0或5类型一求函数的零点【例1】 指出下列函数的零点：(1)f(x)x23x2的零点是_；(2)f(x)x41的零点是_；(3)若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则a_，b_.解析(1)令f(x)0，即(x1)(x2)0，所以零点为1和2.(2)由x410，得(x21)(x1)(x1)0，所以x1，所以函数f(x)x41的零点是1和1.(3)由于函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，所以是2和3是方程x2axb0的两个根，所以23(a)，23b，所以a5，b6.答案(1)1和2(2)1和1(3)5；6规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.【训练1】 (1)函数f(x)2x1的零点是_；(2)若f(x)axb(b0)有一个零点3，则函数g(x)bx23ax的零点是_.解析(1)由2x10，得x0，故函数的零点为0.(2)因为f(x)axb的零点是3，所以f(3)0，即3ab0，也就是b3a.所以g(x)bx23axbx2bxbx(x1).所以方程g(x)0的两个根为1和0，即函数g(x)的零点为1和0.答案(1)0(2)1和0类型二判断函数零点所在区间【例2】 在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B. C. D.解析f20，f10，ff0，零点在上.答案C规律方法(1)判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.(2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.【训练2】方程lg xx0的根所在的区间可能是()A.(，0) B.(0.1，1)C.(1，2) D.(2，4)解析由于lg x有意义，所以x0，令f(x)lg xx，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)0.90，故f(x)在区间(0.1，1)内有零点.答案B类型三函数零点个数的判断(互动探究)【例3】 (1)判断函数f(x)x2xb2的零点的个数.(2)判断函数f(x)ln xx23的零点的个数.思路探究探究点一如何求二次函数的零点个数？提示二次函数的零点个数的判断可借助判别式.探究点二如何求不可解函数的零点个数？提示对于不可解函数可转为图象交点的个数.解(1)对于方程x2xb20，因为124b20，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点.(2)法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点.从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点.法二由于f(1)ln 112320，f(2)ln 2223ln 210，f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法判断函数零点个数的四种常用方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数yf(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)结合单调性，利用f(a)f(b)0，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.例如，函数F(x)f(x)g(x)的零点个数就是方程f(x)g(x)的实数根的个数，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象交点的个数.【迁移探究1】 若例题第(1)题中，变为若函数f(x)ax2x1有两个零点，求实数a的取值范围.解f(x)ax2x1有两个零点，则满足得a且a0，故实数a的取值范围是.【迁移探究2】 若函数f(x)ax2x1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围.解当a0时，由f(x)x10，得x1.当a0时，此函数图象开口向上，又f(0)10，结合二次函数图象知成立.当a0时，此函数图象开口向下，又f(0)10 B.f(1)f(2)0C.f(1)f(2)0 D.不确定解析如图，A、B、C三选项都有可能，故选D.答案D4.已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_.解析奇函数的图象关于原点对称，若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案05.函数f(x)x22xa有两个不同零点，则实数a取值的范围是_.解析由题意可知，方程x22xa0有两个不同解，故44a0，即a1.答案(，1)6.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13.解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.7.若函数f(x)x2axb的零点是2和3，试求函数g(x)bx2ax1的零点.解函数f(x)x2axb的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x2axb0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a5，b6，所以g(x)6x25x1，易求得函数g(x)的零点为，.8.已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点.解(1)要使函数有意义：则有解之得：3x1，所以函数的定义域为(3，1).(2)函数可化为f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)，由f(x)0，得x22x31，即x22x20，解得x1.因为1(3，1)，故f(x)的零点是1.能 力 提 升9.函数f(x)ln x2x3的零点所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)解析因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，且函数f(x)是(0，)上的连续函数，所以函数f(x)的零点所在区间是(1，2).答案B10.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内解析f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，ab0，f(b)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.答案A11.设x0是方程ln xx4的解，且x0(k，k1)，kZ，则k_.解析令f(x)ln xx4，且f(x)在(0，)上递增，f(2)ln 2240，f(3)ln 310.f(x)在(2，3)内有解，k2.答案212.对于方程x3x22x10，有下列判断：在(2，1)内有实数根；在(1，0)内有实数根；在(1，2)内有实数根；在(，)内没有实数根.其中正确的有_(填序号).解析设f(x)x3x22x1，则f(2)10，f(0)10，f(1)10，则f(x)在(2，1)，(1，0)，(1，2)内均有零点，即正确.答案13.已知函数f(x)x22x3，x1，4.(1)画出函数yf(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)f(x)m在1，4上有两个零点？解(1)依题意：f(x)(x1)24，x1，4，其图象如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为4，5.(2)函数g(x)f(x)m在1，4上有两个零点.方程f(x)m在x1，4上有两相异的实数根，即函数yf(x)与ym的图象有两个交点.由(1)所作图象可知，4m0，0m4.当0m4时，函数yf(x)与ym的图象有两个交点，故当0m4时，函数g(x)f(x)m在1，4上有两个零点.探 究 创 新14.已知二次函数f(x)x22ax4，求下列条件下，实数a的取值范围.(1)零点均大于1；(2)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内.解(1)因为方程x22ax40的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得2a.(2)因为方程x22ax40的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，总存在一个x0，当xx0时，logax0，axlogax.()提示(1)对.根据图象可知结论正确.(2)对.在这几类函数中，指数函数的增长速度最快.(3)错.当0a1时，不一定成立.答案(1)(2)(3)2.函数y12x与y2x2，当x0时，图象的交点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析当x2，4时，y1y2，当x4时，y1y2，当2x4时，y1y2，当0x2时，y1y2，故交点个数是2，选C.答案C3.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A.y2x B.y10 000xC.ylog3x D.yx3解析由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断.答案A4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年) 的关系为yalog2(x1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到_只.解析由已知第一年有100只，得a100.将a100，x7代入yalog2(x1)，得y300.答案300类型一几类函数模型的增长差异【例1】(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y10 000x B.ylog2xC.yx1 000 D.y(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_.解析(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.答案(1)D(2)y2规律方法在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0，就有logaxxnax.【训练1】 下列函数中，随x增大而增长速度最快的是()A.2 014ln x B.yx2 014C.y D.y2 0142x解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y20142x的增长速度最快.故选D.答案D类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】 函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数.(2)结合函数图象，判断f(6)与g(6)，f(2 010)与g(2 010)的大小.解(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x.(2)结合图象及运算可知f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x12，9x210，而x16x2，2 010x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)g(6).当xx2时，f(x)g(x)，f(2 010)g(2 010).规律方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.【训练2】 函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图.(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)0.3x1，曲线C2对应的函数为f(x)lg x，(2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x(x2，)时，g(x)f(x).函数g(x)0.3x1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.类型三函数模型的选择问题【例3】 某汽车制造商在2015年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2015年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201220132014产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2012，2013，2014，2015定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数型函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？解建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.(2)构造指数型函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42.则g(x)42，故g(4)4244.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.规律方法解函数应用题的四个步骤第一步：阅读、理解题意，认真审题.读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化.第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型)，求得结果.第四步：再转译成具体问题作出解答.【训练3】 某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每根0.5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一根铅笔；(2)按总价的92%付款，现要买软皮本4本，铅笔若干根(不少于4根)，若购买铅笔数为x根，支付款数为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？解由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为：y240.5(x4)0.5x6(x4，且xN).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为：y(0.5x24)92%0.46x7.36(x4，且xN).令0.5x60.46x7.36，解得x34，且当4x34时，0.5x60.46x7.36，当x34时，0.5x60.46x7.36，即当购买铅笔数少于34根(不少于4根)时，用优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34根时，用优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34根时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算.课堂小结三种函数模型的选取(1)指数型函数模型：能用指数型函数f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数型函数模型：能用对数型函数f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，x0，a1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)axb(a，b，为常数，a0，1)表达的函数模型，其增长情况由a和的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y100x B.ylog100xC.yx100 D.y100x解析由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断.答案D2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象.答案D3.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为_万件.解析由得y20.5x2，所以3月份产量为y20.5321.75(万件).答案1.754.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半价优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.解设家庭中孩子数为x(x1，xN*)，旅游收费y，旅游原价为a.甲旅行社收费：ya(x1)a(x3)a；乙旅行社收费：y(x2)a.(x2)a(x3)a(x1)a，当x1时，两家旅行社收费相等.当x1时甲旅行社更优惠.基 础 过 关1.下列函数中，增长速度最慢的是()A.y6x B.ylog6x C.yx6 D.y6x解析对数函数增长的越来越慢.答案B2.当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A.2xx2log2x B.x22xlog2xC.2xlog2xx2 D.x2log2x2x解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y2x，在区间(2，4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象，所以x22xlog2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x3，经检验易知选B.答案B3.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()A.y0.9 B.y(10.1)mC.y0.9m D.y(10.150x)m解析设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)500.9，q%0.9.x年后的湖水量为y0.9m.答案C4.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_.解析设解析式为ykxb，由解得k，b50，yx50(0x200).答案yx50(0x200)5.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由电脑记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法：前5 min温度增加的速度越来越快；前 5min温度增加的速度越来越慢；5 min以后温度保持匀速增加；5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是_.解析因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即前5 min每当t增加一个单位增量t时，y相应的增量y越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0，故正确.答案6.有一种树木栽植五年后可成材，在栽植后五年内，年增长20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请计算后回答：十年后哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)解设最初栽植量为a，甲方案在10年后木材量为y1a(120%)5(110%)5a(1.11.2)5乙方案在10年后木材量为y22a(120%)52a1.25y1y2a(1.11.2)52a1.250.y1y2，因此，十年后乙方案可以得到较多的木材.7.某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元.为了促销，现拟定买一个这种商品赠送一个小礼品的方案.实践表明：礼品的价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品的价值为(n1)元时的销售量比礼品的价值为n元(nN*)时的销售量增加10%.请确定礼品的价值，使商店利润最大.解设未赠礼品时销售量为m件，礼品价值为n元(且n小于20，因为若n大于或等于20，那么该商品就不会赚钱)时利润为yn元，则当礼品价值为n元时，销售量为m(110%)n，故利润yn(10080n)m(110%)nm(20n)1.1n(0n20，nN*).设当礼品价值为(n1)元时商店利润最大，则必有即且0n20，nN*，解得8n9，即n8或9.故当礼品价值为9元或10元时，获利最大.8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q900时，V1.(1)求出V关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数.解(1)设Vklog3，当Q900时，V1，1klog3，k，V关于Q的函数解析式为Vlog3.(2)令V1.5，则1.5log3，Q2 700，所以，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位. 能 力 提 升9.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y0.2x B.y(x22x)C.y D.y0.2log16x解析将题中所给三个数据代入解析式知，函数y较为接近.答案C10.如图，ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且lAB，直线l截这个三角形所得的位于直线在右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则yf(x)的图象大致为四个选项中的()解析设ABa，则ya2x2x2a2，其图象为二次函数图象的一段，开口向下，顶点在y轴上方，故选C.答案C11.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.解析由题意2 000ln12 000.ln6，从而e61.答案e6112.某化工厂2014年12月的产量是2014年1月份产量的n倍，则该化工厂这一年的月平均增长率是_.解析设月平均增长率为x，第一个月的产量为a，则有a(1x)11na，所以1x，所以x1.答案113.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品就有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)工厂每月生产6 000件产品时，又应如何选择呢？解设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1(5025)x20.5x30 00024x30 000，y2(5025)x140.5x18x.(1)当x3 000时，y142 000，y254 000，y1y2，应选择方案二处理污水.(2)当x6 000时，y1114 000，y2108 000，y1y2，应选择方案一处理污水.探 究 创 新14.某地区为响应上级号召，在2015年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域.(2)作出函数yf(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解(1)经过1年后，廉价住房面积为2002005%200(15%)；经过2年后为200(15%)2；经过x年后，廉价住房面积为200(15%)x，所以yf(x)200(15%)x(xN*).(2)作函数yf(x)200(15%)x(x0，xN*)的图象，如图所示.作直线y300，与函数y200(15%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y300时所经过的时间x的值.因为8x09，则取x09，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.3.2.2函数模型的应用实例目标定位1.能利用给定的函数模型解决实际问题；能选择适当的函数模型进行拟合，实现问题的解决.2.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型在社会生活中的广泛应用.3.初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法.自 主 预 习1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.温馨提示：利用函数模型解决实际应用题时，要抓住关键：选择和建立恰当的函数模型.2.应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模求解数学模型，得出数学模型；(4)还原将数学结论还原为实际问题.温馨提示：用得到的函数进行拟合时，可能误差较大或不切合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切记盲目下结论.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.()(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好.()(3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好.()提示(1)错.对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别.(2)对.数据越多，模拟效果越好.(3)对.根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型效果较好.答案(1)(2)(3)2.某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y10(x2)25，则当产量为3时，利润y等于()A.10 B.15 C.20 D.25解析当x3时，代入解析式y10(x2)25得y15.答案B3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A.310元B.300元C.390元D.280元解析由图象知，该一次函数过(1，800)，(2，1 300)，可求得解析式y500x300(x0)，当x0时，y300.答案B4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x，其中销售量(单位：辆)用x表示，若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为_万元.解析设甲地销售量为x辆，则总利润yx221x2(15x)x219x3030当x9或10时，ymax120.答案120类型一一次函数、二次函数、幂函数模型的应用【例1】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M，Nt，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)求总利润y的最大值.解(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M(亿元)，此时乙项目投资(3x)亿元，获得利润为N(3x)(亿元)，则有y(3x)，x0，3.(2)令t，t0，则xt2，此时yt(3t2)(t1)2.t0，当t1，即x1时，y有最大值为，即总利润y的最大值是亿元.规律方法在最优化问题中，如最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确立变量的限制条件，一般可建立一次函数或二次函数的模型.【训练1】 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解(1)由图象可设y1k1x29，y2k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1k1x29，y2k2x，得k1，k2.y1x29(x0)，y2x(x0).(2)令y1y2，即x29x，则x96.当x96时，y1y2，两种卡收费一致；当x96时，y1y2，使用“便民卡”便宜；当x96时，y1y2，使用“如意卡”便宜.类型二分段函数模型的应用【例2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)其中x是仪器的月产量.(1)求利润关于月产量的函数f(x)；(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益总成本利润)解(1)每月产量为x台，则总成本为(20 000100x)元，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，函数f(x)有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，函数f(x)有最大值，为25 000.答：每月生产300台时，利润最大，最大利润为25 000元.规律方法(1)分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”.(2)解决分段函数问题需注意几个问题：所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域.求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值.一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围.【训练2】 某市自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨3.00元，某月甲，乙两用户共交水费y元，已知甲，乙两用户该月用水量分别为5x，3x.(1)求y关于x的函数；(2)若甲，乙两用户该月共交水费26.4元，分别求出甲，乙两用户该月的用水量和水费.解(1)当甲的用水量不超过4 t时，即5x4，乙的用水量也不超过4 t，此时y(5x3x)1.814.4x.当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t，即3x4且5x4时，y41.803x1.803(5x4)20.4x4.8.当甲、乙的用水量都超过4 t，即3x4时，y24x9.6，y(2)由于yf(x)在各段区间上均为单调递增函数，所以当x时，yf 11.5226.4；当x时，yf 22.426.4；当x