高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简单性质（一）课件 北师大版选修11.pptVIP

第二章 2抛物线 2 2抛物线的简单性质 一 学习目标1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等简单性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一抛物线的简单性质 思考1 类比椭圆 双曲线的简单性质 结合图像 你能说出抛物线y2 2px p 0 中x的范围 对称性 顶点坐标吗 范围x 0 关于x轴对称 顶点坐标 0 0 答案 思考2 参数p对抛物线开口大小有何影响 因为过抛物线的焦点f且垂直于对称轴的弦的长度是2p 所以p越大 开口越大 答案 梳理 0 0 1 知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为a x1 y1 b x2 y2 则 题型探究 类型一抛物线简单性质的应用 例1已知抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 解答 由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 ab 2 m 因为 oab的面积为4 引申探究等腰直角三角形aob内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 aob的面积是 4p2 答案 解析 因为抛物线的对称轴为x轴 内接 aob为等腰直角三角形 所以由抛物线的对称性知 直线ab与抛物线的对称轴垂直 从而直线oa与x轴的夹角为45 所以易得a b两点的坐标分别为 2p 2p 和 2p 2p 把握三个要点确定抛物线简单性质 1 开口 由抛物线标准方程看图像开口 关键是明确二次项是x还是y 一次项的系数是正还是负 2 关系 顶点位于焦点与准线中间 准线垂直于对称轴 3 定值 焦点到准线的距离为p 过焦点垂直于对称轴的弦 又称为通径 长为2p 离心率恒等于1 反思与感悟 跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 其上一点p到准线及对称轴距离分别为10和6 求抛物线的方程 解答 设抛物线的方程为y2 2ax a 0 点p x0 y0 因为点p到对称轴距离为6 所以y0 6 因为点p到准线距离为10 因为点p在抛物线上 所以36 2ax0 所以所求抛物线的方程为y2 4x或y2 36x 类型二抛物线的焦点弦问题 例2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 解答 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 5 2 若 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 解答 所以x1 x2 6 所以线段ab的中点m的横坐标是3 1 抛物线的焦半径 反思与感悟 2 过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦的端点为a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 p 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立 消元 由根与系数的关系求出x1 x2即可 跟踪训练2直线l过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于a b两点 若 ab 8 则直线l的方程为 答案 解析 x y 1 0或x y 1 0 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 若l与x轴垂直 则 ab 4 不符合题意 所以可设所求直线l的方程为y k x 1 所以所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 类型三与抛物线有关的最值问题 解答 例3设p是抛物线y2 4x上的一个动点 f为抛物线的焦点 1 求点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 如图 易知抛物线的焦点为f 1 0 准线方程是x 1 由抛物线的定义知 点p到直线x 1的距离等于点p到焦点f的距离 于是问题转化为在曲线上求一点p 使点p到点a 1 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和最小 解答 2 若点b的坐标为 3 2 求 pb pf 的最小值 过点b作bq垂直于准线 垂足为点q 交抛物线于点p1 连接p1f 此时 由抛物线定义知 p1q p1f 所以 pb pf p1b p1q bq 3 1 4 即 pb pf 的最小值为4 抛物线的定义在解题中的作用 就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化 另外要注意平面几何知识的应用 如两点之间线段最短 三角形中三边间的不等关系 点与直线上点的连线垂线段最短等 反思与感悟 跟踪训练3已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点a 0 2 的距离与点p到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 答案 解析 如图 由抛物线定义知 pa pq pa pf 则所求距离之和的最小值转化为求 pa pf 的最小值 则当a p f三点共线时 pa pf 取得最小值 pa pf min af 当堂训练 当ab垂直于对称轴时 ab 取最小值 此时ab为抛物线的通径 长度等于2p 1 设ab为过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦 则 ab 的最小值为a b pc 2pd 无法确定 答案 解析 2 3 4 5 1 2 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是a 4b 6c 8d 12 2 3 4 5 1 由抛物线的定义可知 点p到抛物线焦点的距离是4 2 6 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知抛物线y ax2的准线方程是y 2 则此抛物线上的点到准线距离的最小值为a 1b 2c 3d 4 由题意知抛物线顶点到准线的距离最短 故最小值为2 答案 解析 2 3 4 5 1 4 过抛物线y2 8x的焦点作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为a 8b 16c 32d 61 答案 解析 由y2 8x得焦点坐标为 2 0 由此直线方程为y x 2 设交点为a x1 y1 b x2 y2 由方程知x1 x2 12 弦长 ab x1 x2 p 12 4 16 5 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的边长 解答 2 3 4