2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)

2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题 1. 已知集合A=x|x2-2x-30，B=N，则集合(RA)B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52. 若复数a+3i1+2i(aR,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A. -6B. 13C. 32D. 133. 已知f(x)=sinx-tanx，命题p：x0(0,2)，f(x0)0)不经过区域D上的点，则r的取值范围为()A. (0,5)(13,+)B. (13,+)C. (0,5)D. 5,138. 若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足6CM-3CA=2CB，则AMBM的值为()A. -152B. -2C. 2D. 1529. 关于函数f(x)=3sin(2x-3)+1(xR)，下列命题正确的是()A. 由f(x1)=f(x2)=1可得x1-x2是的整数倍B. y=f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x+6)+1C. y=f(x)的图象关于点(34,1)对称D. y=f(x)的图象关于直线x=-12对称10. 设函数f(x)=mx2-mx-1，若对于x1,3，f(x)0,b0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2-10x=0所截得的两条弦长之和为12，已知ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则|sinP|sinA-sinB|的值等于()A. 35B. 73C. 53D. 712. 已知定义在R上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f(1)2，e2x-2+x2-2f(0)x，g(x)+2g(x)0，则下列不等式恒成立的是()A. g(2016)f(2)g(2018)B. f(2)g(2016)f(2)g(2018)D. f(2)g(2016)g(2018)二、填空题13. 设a=0(cosx-sinx)dx，则二项式(ax-1x)6的展开式中含x2项的系数为_14. 若函数f(x)=ax(x+2),x0x(x-b),x0(a,bR)为奇函数，则f(a+b)的值为_15. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为_16. 如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区-区域I和区域，点C在AB上，COA=，CD/OA，其中AC，半径OC及线段CD需要用渔网制成.若AOB=3，OA=1，则所需渔网的最大长度为_三、解答题17. 已知Sn为数列an的前n项和，且a10，6Sn=an2+3an+2，nN*(1)求数列an的通项公式；(2)若对nN*，bn=(-1)nan2，求数列bn的前2n项的和T2n18. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD，BAD=90，DC=DA=2AB=25，点E为AD的中点，BDCE=H，PH平面ABCD，且PH=4.(1)求证：PCBD；(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B-DF-C的余弦值是1515？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由19. 某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设在(90,100段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望E()20. 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，右焦点F是抛物线C2：y2=2px(p0)的焦点，点(2,4)在抛物线C2上.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为-12，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN，求ABN的面积的最小值21. 已知函数f(x)=aex+x2-bx(a,bR)，其导函数为y=f(x).(1)当b=2时，若函数y=f(x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设a0，点P(m,n)(m,nR)是曲线y=f(x)上的一个定点，是否存在实数x0(x0m)使得f(x0)-n=f(x0+m2)(x0-m)成立？并证明你的结论22. 在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tsinx=tcos(t为参数)，l2：x=tcos(+4)y=tsin(+4)(t为参数)，其中(0,34)，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为-4cos=0(1)写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设l1，l2分别与曲线C交于点A，B(非坐标原点)，求|AB|的值23. 设函数f(x)=|x-a|(a0)(1)当a=2时，解不等式f(x)1-2x；(2)已知f(x)+|x-1的最小值为3，且m2n=a(m0,n0)，求m+n的最小值答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. D10. D11. C12. C13. 19214. -115. 2316. +6+23617. 解：(1)6Sn=an2+3an+2，nN*n2时，6an=6Sn-6Sn-1=an2+3an+2-(an-12+3an-1+2)，化为：(an+an-1)(an-an-1-3)=0，an0，an-an-1=3，n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a12，解得a1=1数列an是等差数列，首项为1，公差为3an=1+3(n-1)=3n-2(2)bn=(-1)nan2=(-1)n(3n-2)2b2n-1+b2n=-(6n-5)2+(6n-2)2=3(12n-7)=36n-21数列bn的前2n项的和T2n=36(1+2+n)-21n=36n(n+1)2-21n=18n2-3n18. 证明：(1)AB/CD，BAD=90，EDC=BAD=90，DC=DA=2AB，E为AD的中点，AB=ED，BADEDC，DBA=DEH，DBA+ADB=90，DEH+ADB=90，BDEC，又PH平面ABCD，BD平面ABCD，BDPH，又PHEC=H，且PH，EC平面PEC，BD平面PEC，又PC平面PEC，PCBD解：(2)由(1)可知DHEDAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=5，DHDA=EHBA=DEDB，EH=1，HC=4，DH=2，HB=3，PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(-2,0，0)，P(0,0，4)，假设线段PC上存在一点F满足题意，CF与CP共线，存在唯一实数，(01)，满足CF=CP，解得F(0,4-4,4)，设向量n=(x,y，z)为平面CPD的一个法向量，且CP=(0,-4,4)，CD=(-2,-4,0)，nCP=-4y+4z=0nCD=-x-2y=0，取x=2，得n=(2,-1,-1)，同理得平面CPD的一个法向量m=(0,-1)，二面角B-DF-C的余弦值是1515，|cos|=|nm|n|m|=|-2+1|622-2+1=1515，由01，解得=34，CF=34CP，CP=42，线段PC上存在一点F，当点F满足CF=32时，二面角B-DF-C的余弦值是151519. 解：(1)x=450.00510+550.01510+650.0210+750.0310+850.02510+950.00510=72(分)，众数为75分(2)90分以上的人数为1600.00510=8人的可能取值为2，3，4，P(=2)=C33C51+C32C22C84=435，P(=3)=C32C21C31+C31C22C31+C32C32+C22C32C84=3970，P(=4)=C32C31C21+C33C51C84=2370的分布列为：234P43539702370的数学期望是E()=2435+33970+42370=451420. 解：(1)点(2,4)在抛物线y2=2px上，16=4p，解得p=4，椭圆的右焦点为F(2,0)，c=2，椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，ca=22，a=22，b2=a2-c2=8-4=4，椭圆C1的方程为x28+y24=1，(2)设直线l的方程为y=kx+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由x2+2y2=8y=kx+m，消y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-81+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-8k21+2k2M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为-12，k1k2=y1-2x1y2-2x2=y1y2-2(y1+y2)+4x1x2=m-22(m+2)=-12，解得m=0，直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=32(k2+1)1+2k2，|AN|=|BN|，ON垂直平分线段AB，当k0时，设直线ON的方程为y=-1kx，同理可得|ON|=1232(1k2+1)21k2+1=1232(k2+1)k2+2，SABN=12|ON|AB|=8(k2+1)2(k2+2)(2k2+1)，当k=0时，ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t1，01t1，则SABN=8t2(t+1)(2t-1)=81-1t2+1t+2=81-(1t-12)2+94，当1t=2时，即k=1时，SABN的最小值为16321. 解：(1)当b=2时，f(x)=aex+x2-2x，(aR)，f(x)=aex+2x-2，(aR)，由题意得aex+2x-2=0，即a=2-2xex，令h(x)=2-2xex，则h(x)=2x-4ex=0，解得x=2，当x2时，h(x)2时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x)min=h(2)=-2e2，当x=-1时，h(-1)=4e0，当x2时，h(x)=2-2xex0，则et2-m=et+m-emt，两边同时除以em，得et2=et-1t，即tet2=et-1，令g(t)=et-tet2-1，g(t)=et-(et2+t2et2)=et2(et2-t2-1)，令h(t)=et2-t2-1在(0,+)上单调递增，且h(0)=0，h(t)0对于t(0,+)恒成立，即g(t)0对于t(0,+)恒成立，g(e)在(0,+)上单调递增，g(0)=0，g(t)0对于t(0,+)恒成立，aex0+m2=a(ex0-em)x0-m不成立，同理，t=x0-m0时，bngidnuu，不存在实数x0(x0m)使得f(x0)-n=f(x0+m2)(x0-m)成立22. 解：(1)l1，l2的极坐标方程为1=(R)，2=+4(R)曲线C的极坐标方程方程为-4cos=0.即得2-4cos=0，利用2=x2+y2，x=cos得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(2)因为1=4cos，2=4cos(+4)，所以|AB|2=12+22-21.2cos4=16cos2+cos2(+4)-2coscos(+4)=16cos2+12(cos-sin)2-cos(cos-sin)=8，所以|AB|的值为2223. 解：(1)当x2时，x-21-2x，得x1，故x2，当x2时，2-x1-2x，得x-1，故-1x2，综上，不等式的解集是x|x-1；(2)f(x)+|x-1|的最小值是3，f(x)+|x-1|x-a-(x-1)|=|a-1|=3，故a=4，m+n=m2+m2+n33m2m2n=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”【解析】1. 解：A=x|x3；RA=x|-1x3；(RA)B=0,1，2，3故选：C可先求出集合A=x|x3，然后进行交集、补集的运算即可考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算2. 解：由复数a+3i1+2i=(a+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=(a+6)+(3-2a)i5=a+65+3-2a5i是纯虚数，则a+65=03-2a50，解得a=-6故选：A利用复数的除法运算化简为a+bi(a,bR)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题3. 解：f(x)=sinx-tanx，x(0,2)，当x=4时，f(x)=22-10，命题p：x0(0,2)，f(x0)0，是真命题，命题p：x0(0,2)，f(x0)0)表示以C(-1,-1)为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足rCP时，圆C不经过区域D上的点，CM=(1+1)2+(1+1)2=22，CP=(1+1)2+(3+1)2=25当0r25时，圆C不经过区域D上的点，故选：A作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的MNP及其内部，而圆C表示以(-1,-1)为圆心且半径为r的圆.观察图形，可得半径rCP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题8. 解：等边三角形ABC的边长为3；CACB=|CA|CB|cos60=92；6CM-3CA=2CB；CM=12CA+13CB；AM=AC+CM=-CA+12CA+13CB=-12CA+13CB，BM=BC+CM=-CB+12CA+13CB=12CA-23CB；AMBM=(-12CA+13CB)(12CA-23CB)=-14CA2+12CACB-29CB2=-94+94-2=-2故选：B根据条件可先求出CACB=92，而由6CM-3CA=2CB即可得出CM=12CA+13CB，这样即可用CA,CB分别表示出AM,BM，然后进行数量积的运算即可考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义9. 解：函数f(x)=3sin(2x-3)+1(xR)，周期T=22=，对于A：由f(x1)=f(x2)=1，可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的，此时x1-x2不是的整数倍；A不对对于B：由诱导公式，3sin(2x-3)+1=3cos2-(2x-3)+1=3cos(2x-56)+1.B不对对于C：令x=34，可得f(34)=3sin(234-3)+1=3(-12)-1=-52，C不对，对于D：当x=-12时，可得f(-12)=3sin(-6-3)+1=-13+1=-2，f(x)的图象关于直线x=-12对称故选：D根据函数f(x)=3sin(2x-3)+1(xR)，结合三角函数的性质即可判断各选项本题主要考查利用y=Asin(x+)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题10. 解：由题意，f(x)-m+4，可得m(x2-x+1)5当x1,3时，x2-x+11,7，不等式f(x)0等价于m5x2-x+1当x=3时，5x2-x+1的最小值为57，若要不等式m5x2-x+1恒成立，则必须m57，因此，实数m的取值范围为(-,57)，故选：D利用分离参数法，再求出对应函数在x1,3上的最大值，即可求m的取值范围本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题11. 解：双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2-10x=0，即(x-5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=25-9=4，5ba2+b2=4，即5b=4c，即b=45ca2=c2-b2=925c2，a=35c，|AP-BP|=2a，由正弦定理可得APsinB=PBsinA=ABsinP=2R，sinB=AP2R，sinA=BP2R，sinP=2c2R，|sinP|sinA-sinB|=2c2R|BP2R-AP2R|=2c2a=53，故选：C根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得5ba2+b2=4，得到5b=4c，即可求出a=35c，根据正弦定理可得|sinP|sinA-sinB|=2c2R|BP2R-AP2R|=2c2a=53本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：f(x)=f(1)2e2x-2+x2-2f(0)x，令x=0，则f(0)=f(1)2e2f(x)=f(1)e2x-2+2x-2f(0)，令x=1，则f(1)=f(1)+2-2f(0)，解得f(0)=1f(1)=2e2f(x)=e2x+x2-2x，f(2)=e4令h(x)=e2xg(x)，g(x)+2g(x)0，h(x)=e2xg(x)+2e2xg(x)=e2xg(x)+2g(x)h(2018)，e20162g(2016)e20182g(2018)，可得：g(2016)e4g(2018)g(2016)f(2)g(2018)故选：Cf(x)=f(1)2e2x-2+x2-2f(0)x，令x=0，则f(0)=f(1)2e2.由f(x)=f(1)e2x-2+2x-2f(0)，令x=1，可得f(0).进而得出f(1)，f(x)，f(2).令h(x)=e2xg(x)，及其已知g(x)+2g(x)0，可得h(x)=e2xg(x)+2g(x)0，利用函数h(x)在R上单调递减，即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题13. 解：由于a=0(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)|0=-1-1=-2，(-2x-1x)6=(2x+1x)6的通项公式为Tr+1=26-rC6rx3-r，令3-r=2，求得r=1，故含x2项的系数为26-1C61=192故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题14. 解：函数f(x)=ax(x+2),x0x(x-b),x0=ax2+2ax,x0x2-bx,x0为奇函数，故f(-x)=-f(x)恒成立，故-b=2aa=-1.即b=2a=-1，f(x)=-x2-2x,x0，可得an-an-1=3，n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a12，解得a1.利用等差数列的通项公式可得an(2)bn=(-1)nan2=(-1)n(3n-2)2.b2n-1+b2n=-(6n-5)2+(6n-2)2=3(12n-7)=36n-21.利用分组求和即可得出本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. (1)推导出BADEDC，DBA=DEH，从而BDEC，由PH平面ABCD，得BDPH，由此能证明BD平面PEC，从而PCBD(2)推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足CF=32时，二面角B-DF-C的余弦值是1515本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题