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第一章 解三角形 1 1 1正弦定理 1 问题的引入 1 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事 明月高悬 我们仰望夜空 会有无限遐想 不禁会问 月亮离我们地球有多远呢 科学家们是怎样测出来的呢 2 设A B两点在河的两岸 只给你米尺和量角设备 不过河你可以测出它们之间的距离吗 A B 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具 回忆一下直角三角形的边角关系 两等式间有联系吗 思考 对一般的三角形 这个结论还能成立吗 2 定理的推导 1 1 1正弦定理 1 当是锐角三角形时 结论是否还成立呢 D 如图 作AB上的高是CD 根椐三角形的定义 得到 1 1 1正弦定理 E 2 当是钝角三角形时 以上等式是否仍然成立 1 1 1正弦定理 D 1 文字叙述 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 2 结构特点 3 方程的观点 正弦定理实际上是已知其中三个 求另一个 能否运用向量的方法来证明正弦定理呢 和谐美 对称美 正弦定理 剖析定理 加深理解 1 A B C 2 大角对大边 大边对大角 剖析定理 加深理解 3 正弦定理可以解决三角形中的问题 已知两角和一边 求其他角和边 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 剖析定理 加深理解 4 一般地 把三角形的三个角A B C和它们的对边a b c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形 剖析定理 加深理解 5 正弦定理的变形形式 6 正弦定理 可以用来判断三角形的形状 其主要功能是实现三角形边角关系的转化 例1在已知 解三角形 通过例题你发现了什么一般性结论吗 小结 知道三角形的两个内角和任何一边 利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素 1 1 1正弦定理 3 定理的应用举例 变式 若将a 2改为c 2 结果如何 例2 已知a 16 b A 30 解三角形 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 解 由正弦定理 得 所以 60 或 120 C 90 C 30 当 120 时 变式 a 30 b 26 A 30 解三角形 由于154 30 300 1800 故B只有一解 如图 C 124 30 小结 已知两边和其中一边的对角 可以求出三角形的其他的边和角 4 基础练习题 1 1 1正弦定理 B 300 无解 5 探究课题引入时问题 2 的解决方法 C b c 1 1 1正弦定理 正弦定理主要应用 1 已知两角及任意一边 可以求出其他两边和另一角 2 已知两边和其中一边的对角 可以求出三角形的其他的边和角 此时可能有一解 二解 无解 1 1 1正弦定理 小结 课后探究 那么这个k值是什么呢 你能用一个和三角形有关的量来表示吗 作业 P102 1 你还可以用其它方法证明正弦定理吗 2 一解 一解 无解 a bsinA a bsinA bsinA a b a b a b a b 无解 一解 两解 一解 无解 一解 条件 图
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