高中数学 第三章 函数的应用 3.3 幂函数课件 苏教版必修1.ppt

3 3幂函数 第3章指数函数 对数函数和幂函数 学习目标1 理解幂函数的概念 2 学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法 3 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征 能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一幂函数的概念 y y x y x2三个函数有什么共同特征 答案 答案底数为x 指数为常数 一般地 我们把形如的函数称为幂函数 其中x是自变量 是常数 梳理 y x 知识点二五个幂函数的图象与性质 1 在同一平面直角坐标系内函数 1 y x 2 y 3 y x2 4 y x 1 5 y x3的图象如图 2 五个幂函数的性质 0 0 x x 0 y y 0 增 减 偶 奇 非奇非偶 奇 减 减 奇 增 增 r r r r r 0 思考 知识点三一般幂函数的图象特征 类比y x3的图象和性质 研究y x5的图象与性质 答案 答案y x3与y x5的定义域 值域 单调性 奇偶性完全相同 只不过当01时 x5 x3 x2 x3 结合两函数性质 可得图象如下 梳理 一般幂函数特征 1 所有的幂函数在 0 上都有定义 并且图象都过点 2 0时 幂函数的图象通过 并且在区间 0 上是单调函数 特别地 当 1时 幂函数的图象 当01 它同各幂函数图象相交 按交点从下到上的顺序 幂指数按从到的顺序排列 1 1 原点 增 下凸 上凸 0 小 大 题型探究 例1已知y m2 2m 2 2 2n 3是幂函数 求m n的值 解答 类型一幂函数的概念 幂函数与指数函数 对数函数的定义类似 只有满足函数解析式右边的系数为1 底数为自变量x 指数为一常数这三个条件 才是幂函数 如 y 3x2 y 2x 3 反思与感悟 都不是幂函数 y 2x2由于出现系数2 因此不是幂函数 y x2 x是两项和的形式 不是幂函数 y 1 x0 x 0 可以看出 常数函数y 1的图象比幂函数y x0的图象多了一个点 0 1 所以常数函数y 1不是幂函数 答案 解析 类型二幂函数的图象及应用 解答 问当x为何值时 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x 解得 2 则f x x2 同理可求得g x x 2 在同一坐标系里作出函数f x x2和g x x 2的图象 如图所示 观察图象可得 1 当x 1或xg x 2 当x 1或x 1时 f x g x 3 当 1 x 1且x 0时 f x g x 试画出h x 的图象 解h x 的图象如图所示 解答 注意本题中对f x g x f x g x 的几何解释 这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程 是以后常用的方法 反思与感悟 跟踪训练2幂函数y x 0 当 取不同的正数时 在区间 0 1 上它们的图象是一簇美丽的曲线 如图 设点a 1 0 b 0 1 连结ab 线段ab恰好被其中的两个幂函数y x y x 的图象三等分 即有bm mn na 那么 等于 答案 解析 1 1 命题角度1比较大小例3设a b c 则a b c的大小关系是 类型三幂函数性质的综合应用 b a c 即a b f x 在 0 上为单调增函数 即a c b a c 答案 解析 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点 指数不变 比较大小的问题主要是利用函数的单调性 特别是要善于应用 搭桥 法进行分组 常数0和1是常用的中间量 反思与感悟 跟踪训练3比较下列各组数中两个数的大小 解答 解 0 0 3 1 y x0 3在 0 上为单调增函数 解答 解 y x 1在 0 上是单调减函数 解答 解 y x0 3在 0 上为单调增函数 又y 0 3x在 上为单调减函数 0 30 3 解答 命题角度2幂函数性质的综合应用例4已知幂函数y x3m 9 m n 的图象关于y轴对称且在 0 上单调递减 求满足 的a的取值范围 解因为函数在 0 上单调递减 所以3m 9 0 解得m 3 又因为m n 所以m 1 2 因为函数的图象关于y轴对称 所以3m 9为偶数 故m 1 则原不等式可化为 因为y 在 0 0 上单调递减 所以a 1 3 2a 0或3 2a a 1 0或a 1 0 3 2a 幂函数y x 中只有一个参数 幂函数的所有性质都与 的取值有关 故可由 确定幂函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 也可由这些性质去限制 的取值 反思与感悟 解答 跟踪训练4已知幂函数f x m n 1 试确定该函数的定义域 并指明该函数在其定义域上的单调性 解 m n m2 m m m 1 为偶数 令m2 m 2k k n 则f x 定义域为 0 在 0 上f x 为单调增函数 2 若函数还经过点 2 试确定m的值 并求满足f 2 a f a 1 的实数a的取值范围 解答 m2 m 2 解得m 1或m 2 舍去 f x 由 1 知f x 在定义域 0 上为单调增函数 f 2 a f a 1 等价于2 a a 1 0 当堂训练 2 3 4 5 1 答案 解析 答案 2 3 4 5 1 答案 2 3 4 5 1 1 3 4 下列是y 的图象的是 填序号 答案 2 3 4 5 1 5 以下结论正确的是 当 0时 函数y x 的图象是一条直线 幂函数的图象都经过 0 0 1 1 两点 若幂函数y x 的图象关于原点对称 则y x 在定义域内y随x的增大而增大 幂函数的图象不可能在第四象限 但可能在第二象限 答案 2 3 4 5 1 规律与方法 1 幂函数y x r 其中 为常数 其本质特征是以幂的底x为自变量 指数 为常数 这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准 2 幂函数y x 的图象与性质由于 的值不同而比较复杂 一般从两个方面考查 1 当 0时 图象过点 0 0 1 1 在第一象限的图象上升 当 0时 图象不过原点 在第一