学海导航高考数学第一轮总复习3.3等比数列第2课时课件 文 广西专

1 第三章 数列 2 3 3等比数列 第二课时 题型3等比数列性质的应用 1 等比数列 an 的公比为 前n项和为Sn n N 若S2 S4 S2 S6 S4成等比数列 则其公比为 A 2B 6C D 3 解 设 an 的公比为q 首项为a1 由S2 a1 a1q S4 S2 q2 a1 a1q S6 S4 q4 a1 a1q 及S2 S4 S2 S6 S4成等比数列 可得其公比为q2 2 故选A 点评 等比数列有着许多同构性质 如 an 是等比数列 则 a2n 也是等比数列 akn b 也是等比数列 Sn是等比数列 an 的前n项的和 若Sm 0 则数列Sm S2m Sm S3m S2m 成等比数列 4 设正项等比数列 an 的首项a1 前n项和为Sn 且210S30 210 1 S20 S10 0 求数列 an 的通项公式 解 由已知得210 S30 S20 S20 S10 即210 q10 S20 S10 S20 S10 因为an 0 所以S20 S10 0 所以210 q10 1 所以q 从而an n n N 5 2 已知等比数列 bn 与数列 an 满足bn 3an n N 1 若a8 a13 m 求b1b2 b20 2 若b3 b5 39 a4 a6 3 求b1b2 bn的最大值 解 1 易证得 an 是以log3q为公差的等差数列 q为等比数列 bn 的公比 又a8 a13 m 所以b1b20 3a1 3a20 3a1 a20 3m b2b19 3a2 a19 3m b10b11 3a10 a11 3m 所以b1b2 b20 b1b20 10 310m 题型4等比数列与等差数列交汇 6 2 由b3 b5 39 得a3 a5 9 又a4 a6 3 所以d 3 a1 所以于是所以 当n 5时 b1b2 bn取得最大值点评 等比数列是指数型函数 其指数的变化恰好是成等差数列变化的 即对一正项等比数列求对数后 就构成了一个新的等差数列 7 已知等差数列 an a2 9 a5 21 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn 2an 求数列 bn 的前n项和Sn 解 1 设数列 an 的公差为d 依题意得方程组解得所以数列 an 的通项公式为an 4n 1 2 由an 4n 1 得bn 24n 1 所以数列 bn 是首项为b1 25 公比q 24的等比数列 于是得数列 bn 的前n项和 拓展练习 8 3 已知数列 an 中 Sn是其前n项和 并且Sn 1 4an 2 n 1 2 a1 1 1 设数列bn an 1 2an n 1 2 求证 数列 bn 是等比数列 2 设数列cn n 1 2 求证 数列 cn 是等差数列 3 求数列 an 的通项公式及前n项和 解 1 证明 由Sn 1 4an 2 Sn 2 4an 1 2 两式相减 得Sn 2 Sn 1 4 an 1 an 题型5等比数列中的探究性问题 9 即an 2 4an 1 4an 根据bn的构造 如何把该式表示成bn 1与bn的关系是证明的关键 注意加强恒等变形能力的训练 所以an 2 2an 1 2 an 1 2an 又bn an 1 2an 所以bn 1 2bn 由S2 4a1 2 a1 1 得a1 a2 4a1 2 解得a2 5 则b1 a2 2a1 3 由 和 知 数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 故bn 3 2n 1 10 2 证明 因为所以又故数列 cn 是首项为 公差为的等差数列 所以 3 因为又所以所以当n 2时 Sn 4an 1 2 2n 1 3n 4 2 当n 1时 S1 a1 1也适合上式 综上可知 所求的前n项和为Sn 2n 1 3n 4 2 11 点评 1 本例主要复习用等差 等比数列的定义证明一个数列为等差 等比数列 求数列的通项公式与前n项和 解决本题的关键在于由条件Sn 1 4an 2得出递推公式 2 解综合题要总览全局 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件 在后面求解的过程中适时应用 12 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 且数列 anan 1 是公比为q的等比数列 设bn a2n 1 a2n 数列 bn 的前n项和为Sn 试推断是否存在常数k 使对任意n N 都有Sn 2bn k成立 若存在 求出k的值 若不存在 说明理由 解 由已知即所以数列a1 a3 a5 a2n 1 和a2 a4 a6 a2n 都是公比为q的等比数列 当q 1时 13 又bn a1qn 1 a2qn 1 3qn 1 所以因为Sn 2bn k 所以得q 2 所以当q 1时 a2n 1 1 a2n 2 从而bn 3 Sn 3n 不满足题设条件 故k 3为所求 14 1 在等比数列中 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列 构成的新数列仍然是等比数列 2 一个等比数列的奇数