初中数学规律问题初探.doc

初中数学规律问题初探西安市第十中学 毛银燕关键词： 初中数学 规律问题 共性 特性 类比 分类讨论 数形结合摘 要：本文旨在从数形结合、分类讨论、类比等数学思想的角度出发，探求出一种解决初中数学规律问题的一种常规方法。北师大版七年级数学上册字母表示数这一章是开启整个初中阶段代数学习大门的钥匙，探索规律是学生初步学习数学符号语言后再应用方面的升华。规律问题作为一种全新的题型，因其渗透了丰富的数学建模、分类讨论、类比等数学思想而成为学生感到难度较大的问题。解决此类问题要经历一个观察、分析、猜想判断、归纳总结、验证数学规律的过程。其关键是要强化分类意识，并力求找出各部分的共性才能使问题变得简单。下面就这类问题加以归类解析。代数中的规律问题：规律问题的设置，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例题1、观察下列个数：1，4，9，16，25，按此规律写出第n个数为（ ）解析：第一步，寻找个体的共性：各个数均为平方数；第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即：找到第一个数与1的关系，第而个数与2的关系，第三个数与3的关系，并且考察是否具有相同的关系）第一个数：12；第二个数：22； 第三个数：32；第四个数：42；第五个数：52；照此规律下去就有： 第n个数：n2(特点：各个数都和n有关，并且都是n的平方，而“n的平方”就是特性中的共性)。第三步：验证猜想：当n=1,2,3时都符合，因此猜想正确。例题2、数学教师巴尔默成功的从光谱数据9/5，16/12，25/21,36/32得到巴尔默公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据。解析：第一步，寻找共性：都是分数，并且分子都比分母大4；第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性，因为是分数，因此要进行分类分析:（1）分子分别是：9,，16，25，36（特点：其共性为：都是平方数） 第一个数 ：32=（1+2）2；第二个数： 42=（2+2）2；第三个数： 52=（3+2）2；第四个数： 62=（4+2）2；照此规律下去： 第n个数：（）=（n+2）2；（特点：其特性中的共性是每一个数都和相应的n有关，并且关系都是n+2）。（2）分子出来了，分母分别在分子的基础上减去4即可。第三步：验证猜想：当n=1,2,3时都符合，因此猜想正确。则第七个数为81/77；例题3、研究下列各式，你会发现什么规律？1x3+1=4=22；2x4+1=9=32； 3x5+1=16=42 ； 4x6+1=25=52；那么，第n个等式是什么？请将你找出的规律用含n（n是自然数）的公式表示出来。解析：第一步，寻找共性及特性中的共性。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素，因此必须分类进行：（1）等号左边第一个数字分别为：1，2，3，4（特点：第一个式子为1，第二个式子为2，第三个式子为3，第四个式子为4照此规律，第n个式子是n，所以其共性为：每个式子的第一个数字都和n相等）；（2）等号左边第二个数字分别为：3, 4, 5, 6（特点：第一个式子是3=1+2，第二个式子是4=2+2，第三个式子是5=3+2，第四个式子是6=4+2照此规律，第n个式子是n+2,其共性为：每个数字都和n有关，并且都是n+2）；（3）等号左边第三个数字都是+1（共性很明显）；（4）等号右边都是平方数，分别为：22 ，32，42，52（特点：第一个数字是22=（1+1）2，第二个数字是32=（2+1）2，第三个数字是42=（3+1）2，第四个数字是52=（4+1）2，照此规律，第n个数字是（n+1）2，其共性为每个数字都和n有关，并且都是（n+1）2）；第二步：验证：当n=1,2,3时都符合，因此猜想正确。则第n个式子为：n(n+2)+1=(n+1)2；平面图形中的规律问题：解决规律问题的关键是寻找各部分的共性，数字规律应遵循，图形中的规律问题也要遵循。当难以直接找到共性时，则可以通过抓住相邻两个数字或两个式子、两个图形之间的关系来实现。并且抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。例题1、观察如图所示的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中点的个数s为（） 第一个s=1 第二个s=5 第三个s=9 第四个s=13解析：第一步，寻找共性：观察几个数字分别为：1,5,9,13，寻找共性不好直接入手，则可以通过寻找相邻两个数字的关系来完成：第一个：s=1=1+0x4 ； 第二个：s=5 =1+4=1+1x4 ； 第三个：s=9 =5+4=1+4+4=1+2x4 ； 第四个：s=13=9+4=5+4+4=1+4+4+4=1+3x4；照此规律，第n个s=1+4（n-1）；第二步，验证猜想：当n=1,2,3时都符合，因此猜想正确。例题2、如图，如果用n表示等边三角形上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 解析：第一步：寻找共性（当直接从数字关系寻找共性不好操作时，则可以从图形本身做文章，通过寻找每相邻两个图形之间的关系来找出其中的共性，其技巧为：从第二个图形开始，在每个图形中整体把前一个图形找到，看在前一个的基础上变化了几个）。第一个： 此时m=1；第二个： 此时m=1+2=3； 第三个： 此时m=3+3=1+2+3=6； 第四个： 此时m=6+4=3+3+4=1+2+3+4=10；第五个： 此时m=10+5=6+4+5=3+3+4+5=1+2+3+4+5=15；照此规律，第n个为m=1+2+3+4+n=n(n+1)/2;第二步：验证猜想：当n=1,2,3时都符合，因此猜想