地基中的应力.doc

第2章 地基中的应力 2.1 概述建筑物的建造使地基中原有的应力状态发生了变化，从而引起地基变形。若地基应力过大，超过了地基的极限承载力，则可能引起地基丧失整体稳定性而破坏。不均匀地基变形可能造成建筑物倾斜，也可能在上部结构中产生一定的次应力而导致建筑物开裂或破坏。即使是均匀下沉，如果沉降过大，也必定会影响建筑物的正常使用。因此，掌握地基的应力与变形计算是保证建筑物正常使用和安全可靠的前提。2.1.1 土的应力与地基变形的概念地基中的应力按产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力，二者合起来构成土体中的总应力。由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其他外载在地基内所产生的应力称为附加应力。对于形成年代比较久远的土，在自重应力作用下，其变形已经稳定，因此，除新填土外，一般说来，土的自重应力不再引起地基的变形。而附加应力则不同，因为它是地基中新增加的应力，将会引起地基变形。地基的变形导致基础沉降、倾斜和相邻基础出现沉降差。研究地基的应力和变形，必须从土的应力与应变的基本关系出发。土是由土粒、水和气所组成的非连续介质。土的应力应变关系同土的种类、密实度、应力历史、受力条件等有密切关系，具有非线性非弹性的特征。同时，土的变形都有一个由开始到稳定的过程，既需要一定的固结时间。显然，要找出一个数学模型来全面地、正确地反映土的应力应变关系，其难度是相当大的。因此，工程上计算地基的应力和变形时通常要作一些假定和简化。在计算土中应力时，一般假定地基为均质的线性变形半空间，应用弹性力学公式来求解地基中的附加应力。由于一般建筑物荷载作用下地基中应力的变化范围不太大，上述简化计算所引起的误差，一般不会超过工程所许可的范围。由于地基土的非均质性和土性状的复杂性，目前还无法较为准确地计算地基的变形。常用的计算方法一般是先按弹性力学公式求得地基中的附加应力，然后利用某些简化假设来解决地基的沉降计算问题。在土力学中，规定压应力为正，拉应力为负。2.1.2 饱和土的有效应力原理先让我们来想象一下这样一种情况：有甲、乙两个完全一样的刚把水抽干的池塘，现将甲塘充水、乙塘填土，但所加是、土的重量相同，即施加于塘底的压应力是相等的。过了较长的一段时间后，两个池塘底部软土的状态是否发生了变化？显然，甲塘没有什么变化，塘底软土依然是那么的软。但乙塘则不同，在填土压力作用下，塘底软土将产生压缩变形，同时土的强度提高，即产生了固结。为什么在同样压力作用下，二者的表现会不相同呢？这就要从有效应力原理中寻找答案。饱和土的有效应力原理表达式为： （2-1）式中 总应力； 通过土粒接触点传递的粒间应力，又称为有效应力； 孔隙中的水压力。上式说明，饱和土的总应力等于有效应力与孔隙水压力之和。孔隙水压力对各个方向的作用是相等的，它只能使土颗粒本身产生压缩（压缩量很小，可以忽略不计），不能使土颗粒产生移动，故不会使土体产生体积变形。孔隙水压力虽然承担了一部分正应力，但承担不了剪应力。只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才能同时承担正应力和剪应力，并使土粒重新排列，从而引起土体产生体积变化；粒间应力又是影响土体强度的一个重要因素，所以粒间应力又称为有效应力。这一原理是由K.太沙基（Terzaghi,1925）首先提出的，并经后来的试验所证实。这是土力学有别于其他力学的重要原理之一。至此，我们可以来回答刚才提出的问题了。在甲塘中，由于充的是水，压力为，相应地塘底土中孔隙水压力也增加了，而有效应力没有增加，故软土不产生新的变形，强度也没有变化。在乙塘中，填土的压力由有效应力和孔隙水压力共同承担，且随着时间的推移，有效应力所占的比重越来越大，在新增加的有效应力作用下，塘底软土产生了压缩变形，强度亦随之提高。土体孔隙中的水压力有静水压力和超静孔隙水压力之分。前者是由水的自重引起的，其大小取决于水位的高低；后者是由附加应力引起的，在土体固结过程中会不断地向有效应力转化。超静孔隙水压力通常简称为孔隙水压力，以后各章所提到的孔隙水压力一般均指这一部分。在饱和土中，无论是土的自重应力还是土的附加应力，均满足式（2-1）的要求。对自重应力而言，为水与土颗粒的总自重应力，为静水压力，为土的有效自重应力。对附加应力而言，为附加应力，为超静孔隙水压力，为有效应力增量。式（2-1）表面上看起来很简单，但它的内涵十分重要。以下凡涉及到的体积变形或强度变化的应力均是有效应力，而不是总应力。这个概念对含有气体的非饱和土同样也适用。但在非饱和土的情况下，粒间应力、孔隙水压力、孔隙气压力的关系较为复杂，这里不再阐述。 2.2 土的自重应力2.2.1 土的自重应力计算在计算土中自重应力时，假设天然地面为一无限大的水平面，因而任一竖直面可视作对称面，对称面上的剪应力均为零。按照剪应力互等定理，可知任意水平面上的剪应力也等于零。因此竖直面和水平面上只有正应力存在，竖直面和水平面为主平面。对于天然重度为的均质土层，在天然地面以下任意深度处的竖向自重应力，可取作用于该深度水平面上任一单位面积的土柱体自重计算（图2-1），即： （2-2）沿水平面呈均匀分布，且与成正比，即随深度线性增大。由于沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。从这个条件出发，根据弹性力学，侧向（水平向）自重应力和应与成正比，而剪应力均为零，即：图2-1 均质土中竖向自重应力（a）沿深度的分布；（b）任意水平面上的分布 （2-3） （2-4）式中比例系数称为土的静止侧压力系数或静止土压力系数。在上述公式中，土的竖向和侧向自重应力一般均指有效自重应力，因此，对处于地下水位以下的土层必须以有效重度代替天然重度。同样式（2-3）中的应为侧向与竖向的有效自重应力之比值。为了简便起见，以后各章把常用的竖向有效自重应力简称为自重应力，并改用符号表示。地基土往往是成层的，各层土具有不同的重度。如地下水位位于同一土层中，在计算自重应力时，地下水位面也应作为分层的界面。设天然地面下深度范围内有个土层，将每一层土的自重应力分别求出，然后相加，即可得到成层土的自重应力计算公式（图2-2）： （2-5）图2-2 成层土中自重应力沿深度的分布式中 天然地面下任意深度处土的竖向有效自重应力，kPa； 深度范围内的土层总数； 第层土的厚度，m； 第层土的天然重度，对地下水位以 下的土层取有效重度，kN/m3。当地层中有不透水层存在时，不透水层中的静水压力为零，该层的重度取 天然重度，层顶面处的自重应力为： （2-6）式中 水的重度，通常取= 10kN/m3； 地下水位至不透水层顶面的距离，m。若地层中存在承压水层时，则该土层的自重应力计算应按式（2-1）进行，即算出总应力和孔隙水压力，二者之差即为自重应力（参见例2-2）。【例2-1】试计算图2-3中各土层界面处及地下水位面处土的自重应力，并绘出分布图。【解】粉土层底处：kPa 图2-3 例2-1图地下水位面处：= 90.8kPa 粘土层底处：kPa 基岩层面处：= 147.8kPa绘自重应力分布图如图2-3所示。 【例2-2】某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于图2-4中，试计算并绘出总应力、孔隙水压力及自重应力的分布图。图2-4 例2-2图【解】细砂层底处：=0，=181.3=23.4kPa粉质粘土层底处：该层为潜水层，故kPa kPa kPa粘土层面出：该层为隔水层，故=0，=57.6kPa粘土层底处： =0，=57.6+19.52 = 96.6kPa粗砂层面处：该层为承压水层，由测压管水位可知m,故 =106.1 = 61kPa= 96.6kPa= = 96.661= 35.6kPa粗砂底层处：= 10（6.1+1.7）= 78kPa = 96.6+201.7= 130.6kPa = = 130.678= 52.6kPa基岩面处：=0，= 130.6 kPa绘、和的分布图如图2-4所示。2.2.2 地下水位升降及填土对土中自重应力的影响形成年代已久的天然土层在自重应力作用下的变形早已稳定，但当地下水位发生下降或土层为新近沉积或地面有大面积人工填土时，土中的自重应力会增大，这时应考虑土体在自重应力增量作用下的变形。造成地下水位下降的原因主要是城市超量开采地下水及基坑开挖时的降水，其直接后果是导致地面下沉。地下水位下降后，新增加的自重应力会引起土体本身产生压缩变形。由于这部分自重应力的影响深度很大，故所引起的地面沉降往往是很可观的。我国相当一部分城市由于超量开采地下水，出现了地表大面积沉降、地面塌陷等严重问题。在进行基坑开挖是，若降水过深、时间过长，则常引起坑外地表下沉而导致邻近建筑物开裂、倾销。解决这一问题的方法是，在坑外设置端部进入不透水层或弱透水层、平面上呈封闭状的定噴帷幕或地下连续墙，以便将坑内外的地下水分隔开，并使从坑外渗透进入坑内的渗流量降低到最小限度。此外，还可以在邻近建筑物的基坑一侧设置回灌沟或回灌井，通过水的回灌来维持邻近建筑物下方的地下水位不变。地下水位上升也会带来一些不利影响。在人工抬高蓄水水位的地区，滑坡现象常增多。在基础工程完工之前，如停止基坑降水工作而使地下水位会升，则可能导致基坑边坡坍塌，或使刚浇注强度尚低的基础底板断裂。一些地下结构可能因水位上升而上浮，并带来新的问题和麻烦。 2.3 基底压力建筑物荷载通过基础传递至地基，在基础底面与地基之间便产生了接触应力。它既是基础作用于地基表面的基底压力，又是地基反作用于基础底面的基底反力。因此，在计算地基中的附加应力以及确定基础的底面尺寸时，都必须了解基底压力的分布规律。基底压力的分布与基础的大小和刚度、作用于基础上的荷载大小和分布、地基土的力学性质、地基的均匀程度以及基础的埋深等许多因素有关。一般情况下，基础压力呈非线性分布。对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等，其基底压力可看成呈直线或平面分布，并按下述材料力学公式进行简化计算。2.3.1 基底压力的简化计算1.轴心荷载作用下的基底压力在轴心荷载作用下，假定基底压力为均匀分布（图2-5），其数值为： （2-6）式中 基底平均压力，kPa； 上部结构作用在基础上的竖向力，kN；当用于地基变形计算时，取标准值；用于地基承载力和稳定性计算以及基础内力计算时，取设计值；图2-5 轴心荷载下的基底压力分布（a）内墙或内柱基础；（b）外墙或外柱基础；（c）有地下水基础 基础及其上回填土的总重量，kN；，其中为基础及回填土的平均重度，一般取20kN/m3，但在地下水位以下部分应扣除浮力10kN/m3；为基础平均埋深，m； 基底面积，m2；对矩形基础，和分别为矩形基底的长度和宽度，m；当基础埋深范围内有地下水时，代入式（2-6），得 （2-7）式中为基础底面至地下水位面的距离，m。若地下水位在基底以下，则取=0。在具体计算时，用式（2-7）会比用式（2-6）来得简单。对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，可沿长度方向截取一单位长度（取=1m）的截条进行计算，此时式（2-6）、（2-7）成为： （2-8）式中和为基础截条内的相应值，kN/m。 2. 偏心荷载作用下的基底压力 对于单向偏心荷载作用下的矩形 基础（图2-6），通常将基底长边方向取与偏心方向一致。假定基底压力为线性分布，则此时两短边边缘最大压力值与最小压力值按材料力学短柱偏心受压公式计算：图2-6 单向偏心荷载作用下的矩形基础基底压力分布图 （2-9）式中、符号意义同式（2-6）； 作用于矩形基底的力矩，kN m，用于地基承载力及基础内力计算时取设计值； 基础底面的抵抗矩，m3。将式（2-6）、（2-7）及偏心荷载的偏心距分别代入式（2-9）得： （2-10）由上式可见，当时，= = ，基底压力呈均匀分布，即轴心受压情况；当时，呈梯形分布；当时，= 0，呈三角形分布；当时，0，由于基底与地基之间不能承受拉力，此时基底与地基局部脱开，而使基底压力重新分布。因此，根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷载合力+应通过三角形反力分布图的形心（图2-6c），由此可得基底边缘的最大压力为： （2-11）式中。矩形基础在双向偏心荷载作用下，如基底最小压力0，则矩形基础边缘四个角点处的压力、1、2（kPa），可按下列公式计算（图2-7）：图2-7 矩形基础在双向偏心荷载作用下的基底压力分布图 （2-12） （2-13）式中 、 荷载合力分别对矩形 基底、对称轴的力矩，kN m，用于 地基承载力及基础内力计算时取设计值； 、 基础底面分别对、轴的抵抗矩，m3，。2.3.2 基底附加压力在建筑物建造之前，土早已存在着自重应力。一般天然土层在自重应力作用下的变形也早已稳定。因此，从建筑物建造后的基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力后，才是基底平面处新增加于地基表面的压力，即基底附加应力。基底附加应力引起地基产生附加应图2-8 基底平均附加压力力和变形。基底平均附加应力（kPa）可按下式计算（图2-8）： （2-14）式中 基底平均压力，kPa，按式（2-6）计算； 基底处土的自重应力，kPa； 基底标高以上天然土层的加权平均重度，其中地下水位下的重度取有效重度； 基础埋深，m，必须从天然地面算起，对于新填土场地则应从老天然地面算起。按式（2-14）计算基底附加压力时，并未考虑坑底土体的回弹变形。实际上，当基坑的平面尺寸、深度较大且土又较软时，坑底回弹是不可忽略的。因此，在计算地基变形时，为了适当考虑这种坑底回弹和再压缩而增加的沉降，通常做法是对基底附加压力进行调整，即取，其中为01的系数，对小基坑取 =1，对宽度超过10m的大基坑，一般取 = 0。【例2-3】一墙下条形基础底宽1m，承重墙传来的竖向荷载为150kN/m，试求基底压力。【解】（kPa）【例2-4】 图2-9中的柱下单独基础底面尺寸为3m2m，柱传给基础的竖向力=1000kN，弯矩=180kN-m，试按图中所给的资料计算、，并画出基底压力的分布图。图2-9 例2-9图【解】m kPa kPa kPa kPa绘基底压力分布图于图2-9中。 2.4 地基附加应力在建筑物荷载作用下，地基中必然产生应力和变形。我们把由建筑物等荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力称为附加应力。计算地基附加应力时通常假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形半空间。将基底附加压力或其他外荷载作为作用在弹性半空间表面的局部荷载，应用弹性力学公式便可求出地基中的附加应力。2.4.1 竖向集中荷载下的地基附加应力1. 布辛奈斯克解在弹性半空间表面上作用一个竖向集中力时，半空间内任意点处做引起的应力和位移的弹性力学解答是由法国J 布辛奈斯克(Boussinesq,1885)作出的。如图2-10所示，在半空间内任意一点处的六个应力分量和三个位移分量的解答如下：图2-10 弹性半无限体在竖向集中力作用下的附加应力 （2-15a） （2-15b） （2-15c） （2-16a） （2-16b） （2-16c） （2-17a） （2-17b） （2-17c）式中 、 分别表示平行于、坐标轴的正应力；、 剪应力，其中前一个脚标表示与它作用的微面的法线方向平行的坐标轴，后一个脚标表示与它作用方向平行的坐标轴； 、 M点分别沿坐标轴、方向的位移； 作用于坐标原点O的竖向集中力； 点至坐标原点O的距离，； 线与坐标轴的夹角； M点与集中力作用点的水平距离； 弹性模量（或土力学中专用的地基变形模量，以代之）； 泊松比。在上述各式中，若=0，则各式所得结果均为无限大，因此，所选择的计算点不应过于接近集中力的作用点。以上这些计算应力和位移的公式中，竖向正应力和竖向位移最为常用，以后有关地基附加应力的计算主要是针对而言的。为了计算方便起见，将代入式（2-15c），得： （2-18）令，则上式改写为： （2-19）式中 集中荷载作用下的地基竖向附加应力系数，值查表2-1。表2-1 集中荷载作用下的地基竖向附加应力系数 00.47750.500.27331.000.08441.500.02512.000.00850.050.47450.550.24661.050.07441.550.02242.200.00580.100.46570.600.22141.100.06581.600.02002.400.00400.150.45160.650.19781.150.05811.650.01792.600.00290.200.43290.700.17621.200.05131.700.01602.800.00210.250.41030.750.15651.250.04541.750.01443.000.00150.300.38490.800.13861.300.04021.800.01293.500.00070.350.35770.850.12261.350.03571.850.01164.000.00040.400.32940.900.10831.400.03171.900.01054.500.00020.450.30110.950.09561.450.02821.950.00955.000.0001当有若干个竖向荷载作用在地基表面时，按叠加原理，地面下深度处某点M的附加应力为： （2-20）式中 第个集中荷载下的竖向附加应力系数，按由表2-1查得，其中是第个集中荷载作用点到点的水平距离。2. 等代荷载法建筑物的荷载是通过基础作用于地基之上的，而基础总是具有一定的面积，因此，理论上的集中荷载实际上是没有的。等代荷载法是将荷载面（或基础底面）划分成若干个形状规则（如矩形）的面积单元（），每个单元上的分布荷载（）近似地以作用在该单元面积形心上的集中力（）来代替（图 2-11），这样就可以利用式（2-20）来计算地基中某一点M处的附加应力。由于图2-11 等代荷载法集中力作用点附近的为无穷大，故这种方法不适用于过于靠近荷载面的计算点，其计算精度的高低取决于单元面积的大小，单元划分越细，计算精度越高。【例2-5】在地基表面作用一集中荷载=200kN，试求：（1）在地基中=2m的水平面上，水平距离=0、1、2、3、4m处各点的附加应力值，并绘分布图；（2）在地基中=0的竖直线上距地基表面=0、1、2、3、4m处各点的附加应力值，并绘分布图。【解】（1）在地基中=2m的水平面上指定点的的计算过程列于表2-2，分布绘于图2-12。（2）在地基中=0的竖直线上指定点的的计算过程列于表2-3，分布绘于例图2-13。表2-2 例2-5 （m）（m）（查表2-1）（kPa）222220123400.51.01.52.00.47750.27330.08440.02510.008523.913.74.21.30.4 表2-3 例2-5 （m）（m）（查表2-1）（kPa）0123400000000000.47750.47750.47750.47750.477595.523.910.66.0图2-12 例2-5图 图2-13 例2-5图2.4.2 矩形荷载和圆形荷载下的地基附加应力1.均布的矩形荷载轴心受压柱基础的基底附加压力即属于均布矩形荷载这一情况。这类问题的求解方法一般是先以积分法求得矩形荷载角点下的地基附加应力，然后运用角点法求得矩形荷载下任意一点的地基附加应力。如图2-14所示，矩形荷载图2-14 均布矩形荷载角点下的附加应力面的长度和宽度分别为和，竖向均布荷载为。从荷载面内取一微面积，并将其上的分布荷载以集中力 来代替，则由此集中力所产生的角点O下任意深度处点的竖向附加应力，可由式（2-15c）求得： （2-21）对整个矩形面积积分，得 （2-22）令 得 （2-23）若令，则为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，按及值由表2-4查得。实际计算中，常会遇到计算点不位于矩形荷载面角点下的情况。这时可以通过作辅助线把荷载面分成若干个矩形面积，而计算点正好位于这些矩形面积的角点下，这样就可以应用式（2-23）及力的叠加原理来求解。这种方法称为角点法。下面分四种情况（图2-15，计算点在图中O点以下任意深度处）说明角点法的具体应用。（1）O点在荷在面边缘 过O点作辅助线O，将荷载面分成、两块，由叠加原理，有式中和是分别按两块小矩形面积和查得的角点附加应力系数。（2）O在荷载面内作两条辅助线将荷载面分成、和共四块面积。于是 表2-4 均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数 1.01.21.41.61.82.03.04.05.06.010.0条形00.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.20.24850.24890.24900.24910.24910.24920.24920.24920.24920.24920.24920.24920.40.24010.24200.24290.24340.24370.24390.24420.24430.24430.24430.24430.24430.60.22290.22750.23000.23150.23240.23290.23390.23410.23420.23420.23420.23420.80.19990.20750.21200.21470.21650.21760.21960.22000.22020.22020.22020.22031.00.17520.18510.19110.19550.19810.19990.20340.20420.20440.20450.20460.20461.20.15160.16260.17050.17580.17930.18180.18700.18820.18850.18870.18880.18891.40.13080.14230.15080.15690.16130.16440.17120.17300.17350.17380.17400.17401.60.11230.12410.13290.13960.14450.14820.15670.15900.15980.16010.16040.16051.80.09690.10830.11720.12410.12940.13340.14340.14630.14740.14780.14820.14832.00.08400.09470.10340.11030.11580.12020.13140.13500.13630.13680.13740.13752.20.07320.08230.09170.09840.10390.10840.12050.12480.12640.12710.12770.12792.40.06420.07340.08130.08790.09340.09790.11080.11560.11750.11840.11920.11942.60.05660.06510.07250.07880.08420.08870.10200.10730.10950.11060.11160.11182.80.05020.05800.06490.07090.07610.08050.09420.09990.10240.10360.10480.10503.00.04470.05190.0580.06400.06900.07320.08700.09310.09590.09730.09870.09903.20.04010.04670.05260.05800.06270.06680.08060.08700.09000.09160.09330.09353.40.03610.04210.04770.05270.05710.08110.07470.08140.08470.08640.08820.08863.60.3260.03820.04330.04800.05230.05610.06940.07630.07990.08160.08300.08423.80.02960.03480.03950.04390.04790.05160.06460.07170.07530.07730.07960.08024.00.02700.03180.03620.4300.04410.04740.06030.06740.07120.07330.07580.07654.20.02470.02910.03330.03710.04070.04390.05630.06340.06740.06960.07240.07314.40.02270.02680.03060.03430.03760.04070.05270.05970.06390.6620.06920.07004.60.2090.02470.02830.03170.03480.03780.04930.05640.06060.06300.06630.06714.80.01930.02290.02620.02940.03240.03520.04630.05330.05760.06010.06350.06455.00.01790.02120.02430.02740.03020.03280.04350.05040.05470.05730.06100.06206.00.01270.01510.01740.01960.02180.02380.03250.03880.04310.04600.05060.05217.00.00940.01120.01300.01470.01640.01800.02510.03060.03460.03760.04280.04498.00.00730.00870.01010.01140.01270.01400.01980.02460.02830.03110.03670.03949.00.00580.00690.00800.00910.01020.01120.01610.02020.02350.02620.03190.035110.00.00470.00560.00650.00740.00830.00920.01320.01680.01980.02220.02800.031612.00.00330.00390.00460.00520.00580.00640.00940.01210.01450.01650.02190.026414.00.00240.00290.00340.00380.00430.00480.00700.00910.01100.01270.01750.022716.00.00190.00220.00260.00290.00330.00370.00540.00710.00860.01000.01430.019818.00.00150.00180.00200.00230.00260.00290.00430.00560.00690.00810.01180.017620.00.00120.00140.00170.00190.00210.00240.00350.00460.00570.00670.00990.0159如果O点位于荷在面中心，则=，可得，此即为利用角点法求基底中心点下的解，亦可直接查中点附加应力系数（略）。（3）O在荷载面边缘外侧将荷载面看成（），则 （4）O在荷载面角点外侧将荷载面看成（）（）（）（），则 图2-15 以角点法计算均布矩形荷载面O点下的地基附加应力（a）O点在荷载面边缘；（b）O点在荷载面内；（c）O点在荷载面边缘外；（d）O点在荷载面角点外侧【例2-6】 试以角点法分别计算图2-16所示的甲乙两个基础基底中心点下不同深度处的地基附加应力值，绘分布图，并考虑相邻基础的影响。基础埋深范围内天然土层的重度=18kN/m3。【解】（1）两基础基底的附加压力甲基础：kPa乙基础：kPa（2）计算两基础中心点下由本基础荷载引起的时，过基底中心点将基底分成相等的四块，以角点法计算之，计算过程列于表2-5。（3）计算本基础中心点下由相邻基础荷载时，可按前述的计算点在荷载面边缘外侧的情况以角点法计算。甲基础对乙基础影响的计算过程见表2-6，乙基础对甲基础影响的计算过程见表2-7。（4）的分布图见图2-16，图中阴影部分表示相邻基础荷载对本基础中心点下的影响。比较图中两基础下的分布图可见，基础底面尺寸大的基础下的附加应力比基础底面小的收敛得慢，影响深度大，同时，对相邻基础的影响也较大。可以预见，在基础附加压力相等的条件下，基底尺寸越大的基础沉降也越大。这是在基础设计时应当注意的问题。图2-16 例2-6图 表2-5 例2-6 （m）甲 基 础乙 基 础 （kPa） （kPa）0123411111012340.25000.17520.08400.04470.02701007034181111111024680.25000.08400.02700.01270.0073100341153表2-6 例2-6 （m）(kPa)（）（）01234333331111 1012340.25000.20340.13140.08700.06030.25000.17520.08400.04470.027005.69.58.56.7 表2-7 例2-6 （m）(kPa)（）（）01234555553333 3024680.25000.13630.07120.04310.02830.25000.13140.06030.03250.019801.02.22.11.72.三角形分布的矩形荷载设竖向荷载沿矩形面积一边方向上呈三角形分布（沿另一边的荷载分布不变），荷载的最大值为，取荷载零值边的角点1为坐标原点（图2-17），将荷载面内某点（，）处所取微面积上的分布荷载以集中力代替。运用式（2-15c）以积分法可求角点1下任意深度处点的竖向附加应力为：图2-17 三角形分布矩形荷载角点下的 积分后得 （2-24）式中 同理，还可求得荷载最大值边的角点2下任意深度处的竖向附加应力为： （2-25）和均为和的函数，其值可参见建筑地基基础规范。注意是沿三角形分布方向的边长。应用上述均布和三角形分布的矩形荷在角点下的附加应力系数、，即可用角点法求算梯形分布或三角形分布时地基中任意点的竖向附加应力值，亦可求算条形荷在面时（取）的地基附加应力。若计算正好位于荷在面边方向的中点（边方向可任意）之下，则不论是梯形分布还是三角形分布的荷载，均可以中点处的荷载值按均布荷在情况计算。3.均布的圆形荷载如图2-13所示，半径为的圆形荷载面积上作用着竖向均布荷载。为求荷载面中心点下任意深度处点的，可在荷载面积上取微面积，以集中力代替微面积上的分布荷载，运用式（2-15c）以积分法求得为：图2-18 均布圆形荷载中点下的 （2-26）式中为均布圆形荷载中心点下的附加应力系数，它是（）的函数，由表2-8查得。三角形分布的圆形荷载边点下的附加应力系数值，可参见建筑地基基础规范。表2-8 均布圆形荷载中心点下的附加应力系数 0.01.0000.80.7561.60.3902.40.2133.20.1304.00.0870.10.9990.90.7011.70.3602.50.2003.30.1244.20.0790.20.9921.00.6461.80.3322.60.1873.40.1174.40.0730.30.9761.10.5951.90.3072.70.1753.50.1114.60.0670.40.9491.20.5472.00.2852.80.1653.60.1064.80.0620.50.9111.30.5022.10.2642.90.1553.70.1015.00.0570.60.8641.40.4612.20.2463.00.1463.80.0966.00.0400.70.8111.50.4242.30.2293.10.1383.90.09110.00.0152.4.3 线荷载和条形荷载下的地基附加应力 在建筑工程中,无限长的荷载是没有的,但在使用表2-4的过程中可以发现,当矩形荷载面积的长宽比时,矩形面积角点下的地基附加应力计算值与按时的解相比误差很小。因此,诸如柱下或墙下条形基础、挡土墙基础、路基、坝基等,常常可视为条形荷载,按平面问题求解。为了求得条形荷载下的地基附加应力,下面先介绍线荷载作用下的解答。1. 线荷载如图2-19a所示，线荷载是作用在地基表面上一条无限长直线上的均布荷载。图2-19 地基附加应力的平面问题（a）线荷载作用下；（b）均布条形荷载作用下设竖向线荷载（kN/m）作用在坐标轴上，沿轴截取一微分段，将其上作用的线荷载以集中力代替，从而利用式（2-15c）可求得地基中任意点处由引起的附加应力，再通过积分，即可求得M点的： （2-27）同理： （2-28） （2-29）由于线