分数乘除法应用题教学中渗透数学思想方法实践探究.doc

分数乘除法应用题教学中渗透数学思想方法实践探究数学思想是对数学知识、方法、规律的本质认识，是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。小学数学课程中蕴涵着丰富的数学思想，学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法是数学课程的一个重要目的。如果教师在教学中，仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，即使教师讲深讲透，要求学生记住结论，掌握解题的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型”“记忆型”的，将背离数学教育的目标。学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。因此，在小学数学教学中，教师要根据小学生的年龄特点，不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透。但由于数学思想它蕴含渗透在知识体系中，是无形的。教师如何让学生学会知识的同时，又学会数学思想，一直是教师探究的课题。本人在这方面也作了一些初步探讨。一、渗透数学思想方法的意义1、数学思想方法不仅是学生掌握数学知识所必须的，而且是进一步学习数学的基础，知识使学生受益一时，思想和方法使学生受益终生。在现代科技发展中，某些具体的数学知识更多的是依赖数学思想方法探索数学模型，去预测发展的前景。2、学习数学的目的就意味着解决问题，解决问题的关键在于找到合理的解题思路，而数学思想方法是构建解题思路的指导思想，是培养学生分析解决问题的重要措施。3、数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的前提，有利于创造能力的培养。数学思想方法把传统知识型教学转化为能力型教学的关键。因此，加强数学思想方法教学不但有利于提高课堂教学质量，而且有利于培养和发展学生认知能力更好地构建和完善学生的认知结构，发挥学生的数学潜能。二、分数乘除法应用题要渗透哪些数学思想方法渗透数学思想方法的途径主要有两条：一是通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的基本思想和方法，倾向于技巧性强的方法。二是通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容的同时，形成对人的素质有促进作用的基本思想方法，倾向于一般的思考方法。我们在分数乘除法应用题教学中主要采用第二种途径。在分数乘除法应用题解决中蕴涵丰富的数学思想方法，主要有“数形结合思想”“类比思想”“建模思想”“对应思想”“变换思想”“比较思想”等。（一）渗透数形结合的思想方法数学家华罗庚曾说：“人们对数学早就产生了干燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。数形结合思想是充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，能丰富学生的表象，引发联想。在分数乘除应用题教学时经常通过画线段图或面积图弄清题意，分析数量关系，拓宽解题思路，能引导学生迅速找到解决问题的方法。如：应用题“水果批发公司有水果25000千克，卖出2/5，还剩下多少千克？”的教学，引导学根据题意先画出线段图：卖出2/5还剩？千克25000千克学生从图中很快找到了许多数量关系：（1）可以先求出卖出多少千克，就是求25000的2/5是多少，再用总数减去卖出千克数求出剩下的重量。（2）从图上看出，先求出剩下的是总数的3/5，即（1-3/5），只要用总数乘（1-3/5）就可以了。（3）从图上也可以先用250005求出一份是多少，再乘剩下的3份。显然，学生借助线段图分析抽象的分数应用题，解题思路清晰，解法巧妙。又如一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？此题若把五次所喝的牛奶加起来，即121418116132就为所求。但是，如果我们画一个正方形，假设它的面积为单位“1”来表示一杯牛奶，然后图上表示每次喝去的牛奶，最后由图可知，还剩下1/32，那么（1132）就为所求，这样在学生解题过程中让学生很好地体会了数形结合思想的妙处。（二）渗透类比的思想方法类比是根据两种事物在某些特征上的相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，把熟悉的与不熟悉的事物联系起来，以熟悉的事物特征为基础去认识不熟悉事物的思想方法。在分数乘除法应用题教学中，我们根据教材的知识体系和学生的认知规律，精心设计教学过程，有机渗透类比思想方法，引导学生利用已有的知识经验（倍数应用题的解题思路）去理解分数乘除应用题数量关系与解题方法，（反对把分数应用题作为独立的封闭系统，用一些理解生硬的分率、比较量等词让学生死记硬背）在类比中发现知识共同的本质属性，及时将新知同化到学生原有的认知结构中，实现正迁移。即分数乘除法应用题倍数应用题引入，根据倍数关系句分析数量关系，确定算法。例如：我把例题改造成有一块果园，梨树的种植面积是6000平方米，桃数种植面积是梨树的3倍，桃数种植面积是多少平方米？学生准备练习后，我依次将其中“3倍”改为0.4倍、2/5、40%。引导学生小结：当数量之间的倍数小于时，通常说成几分之几（或百分之几），可以看作分数倍。那么求一个数的几倍用乘法计算，求一个数的几分之几也用乘法算，理解时可以把分数（或百分数）当作倍数来思考。这样就大大减轻了学生思考的负担，从中也渗透了类比的数学思想。（三）渗透对应的思想方法对应关系体现在分数乘除法应用题比整数、小数应用题更为直接。这源于分数意义的单位“1”，这类应用题一个数量对应于一个分数（或分数倍）。学生掌握了这一思想方法，就会懂得复杂应用题常常是对应着简单应用题来分析其数量关系；分数应用题常常是对应着整数的倍数应用题来分析其数量关系的；分数乘除法应用题常常是运用实际数量与份数（倍数）的对应关系来判断解题方法的。渗透这样的对应思想，使学生化繁为简地思考问题，从而找到解题思路。因此，教学中，教师要通过观察、操作、比较、类推等数学活动，有计划地渗透对应思想，培养学生的直觉思维，提高分析、理解和解答应用题的能力。如：“工程队修一条公路，第一周修了40米，第二周修了50米，还剩下55%没修。这条公路全长多少米？”通过画线段图：“1”剩下55%40米 50米全长？米学生从图中一目了然看出：这条公路的55%和剩下的米数对应，这条公路的（1-55%）与两周修的（40+50）米对应，这样使问题明朗化，学生能比较直观地找准数量关系，从而轻易地解决，并在不知不觉中发展对应思想。（四）渗透变换的思想方法变换思想是将一种思维形式转变成另一种思维形式的数学思想。它具有化复杂为简单、化抽象为直观、化生疏为熟悉等作用，以沟通数学知识间的联系，是数学中常见的思想方法。尤其在分数乘除法应用题教学时经常要求学生把复杂分数应用题中的数量关系熟练地转化为简单应用题的数量关系，同样分数应用题与份数、比、按比例分配应用题也都有内在联系，可以互相转化，拓展学生解题思路。在教学中，教师应把隐含于数学知识中的转化思想充分揭示出来，利用各种手段加以渗透，使学生在解决问题过程中发散思维，学会新知。如：稍复杂分数应用题教学中就要求学生把关键条件进行顺利转化：六年级人数比五年级少1/5，可以变换成以下两种说法，一是以五年级人数为单位1，六年级比五年级少的人数正好是五年级的1/5；二是六年级人数是五年级的4/5，即（1-1/5）。这样如果再添上条件已知五年级人数240人，求六年级比五年级少的人数就是求240的1/5是多少，如果求六年级是多少人，就是求240人的（1-4/5）是多少。如换成六年级有240人，求五年级有多少人。就变成已知五年级人数的4/5是六年级240人，求五年级用240（1-1/5）。同样教师对习题的设计及选择应该从变换的角度加以考虑，通过揭示已知条件与问题之间的联系与变换，增加一题多变练习，以发现解题的关键步骤，形成解题方法。例如，在分数应用题的教学中，可以提供学生三条信息：张丽看一本160页的故事书，第一天看了全书的20%，第二天看了全书的1/4。问学生，可以解决哪些数学问题。学生由一步思考发展到两步、三步思考。（1）第一天看几页？（2）第二天看几页？（3）两天看了全书的百分之几？（4）第二天比第一天多看全书的百分之几？（5）还剩下全书的几分之几没看？（6）两天共看了多少页？（7）第一天比第二天少看多少页？（8）还剩下多少页没看？等。这样不断地让学生变换问题，提高了对分数应用题的理解和辨别能力，无形中渗透了变换思想，还渗透了比较、对应等数学思想。（五）渗透数学建模思想数学建模是指根据具体问题，在一定假设条件下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。新课程提出了课堂教学从传统的集中于数学的内容方面，转变到数学的过程方面，其核心是给学生提供机会、创造机会，通过“问题情境建立数学模型解释、应用、拓展”的学习过程。教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。我们在分数乘除法应用题教学时一方面，教师要给学生足够的空间独立思考，尝试从不同的角度去寻求解决问题的方法，使他们体验到解决问题策略的多样性。另一方面在解决问题的过程中，引导学生师生互动，生生互动，使学生获取教科书中未能表达的知识层面，善于比较不同解题策略之间的差异，获得解决问题的经验建构应用题条件中蕴涵的数量关系模型来思考解题方法。例如稍复杂分数除法应用题教学中学生开始不习惯于用用建立数量关系来思考，导致错误解答，组织学生讨论，引出用建构数量关系去思考比较成功。例题“学校六月份用水210吨，比五月份节约了1/8，五月份用水多少吨？”让学生尝试计算后，学生很快得出以下算法：210-2101/8、210+2101/8等，这样计算的学生还占大部分，当然也有210（1-1/8）。于是我组织学生及时进行讨论，自然暴露了前两种思路的错误所在，因为这里的1/8不是六月份用水量的1/8。那么究竟怎样思考才能正确呢？我又请用210（1-1/8）计算的学生来分析，他们抓住“比五月份节约1/8”建构了五月份用水量（1-1/8）=六月份用水量的数量关系，所以已知六月份用水量求五月份用除法计算，得到同学的认可后，我及时组织学生讨论，得出：一般解决分数（百分数）乘除应用题要先建构数学模型数量关系式，然后根据已知条件与问题确定算法，这样比较快。当然这需要培养学生列数量关系式的能力：如“修一条公路 ，已修全长的” 可以引导学生建立以下的数量关系模型：全长已修的长度；全长（）剩下的长度；全长（）剩下的比已修的多的长度。这样在学生学习知识的过程中自然而然地渗透数学建模的思想和培养建构模型的能力，并运用数学建模的思想提高了学生解决问题的能力。（六）渗透比较的思想方法比较是把事物的个别属性加以分析、综合，而后确定他们之间的异同，从而得出一定规律的数学思想方法，是一切理解和思维的基础，这种思想在解题时运用十分广泛。学习分数乘除应用题时，需要对几种不同形式的应用题进行纵横比较，设计相应的题组对比练习，找出它们之间的异同，加深对不同数量关系的理解，从而提高解题的熟练程度。例如学了已知比一个数少几分之几的数是多少后，安排学生先练后比较题组：东方小学有男生216人，男生占全校总人数的60%。全校有学生多少人？东方小学有男生216人，女生占全校总人数的40%。全校有学生多少人？学生独立练习得出21660%216（1-40%）于是让学生比较：为什么第一题直接除以60%，而第二题要除以（1-40%）呢？（因为第一题216人已经直接告诉我们占总人数的60%。而第二题216人没有直接告诉占学校总人数的百分之几，所以要用（1-40%）求出占总人数百分之几。）那么今后在解这样的题时要注意什么呢？（要先找到已知数量占单位1的百分之几，即找准已知数量与倍数的对应关系，不可盲目相除），这不仅渗透了比较思想，还渗透了对应的思想。因此教师对于这样的习题，训练中千万不可走过场，要充分发挥比较的价值，促进学生解决问题后的深入思考。除课本上的对比练习外，可以补充针对性习题，使学生分清易混题的区别。如题中的已知数量相同，但数量表示的意义不同。杨树的棵数是松树的，杨树有棵，松树有多少棵？杨树的棵数是松树的，杨树比松树少棵，松树有多少棵？题中的已知分率相同，但分率表示的意义不同。红糖比白糖多千克，比白糖重量少，白糖有多少千克？白糖比红糖少千克，少，白糖有多少千克？三、渗透的注意点1、数学知识、思想、方法是相互联系、相互依存、相互交融的统一体。数学知识是数学思想方法的载体。因此，数学思想方法的渗透必须要与数学知识、技能教学同步进行。2、要精心设计，有机结合，自然渗透，潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。要根据“数学思想方法隐含于数学之中”的特点，渗透应遵循下列模式：操作掌握领悟。针对不同的数学内容，灵活设计教法，积极引导学生在主动探究数学知识的过程中，领悟和掌握数学思想方法。3、注重渗透的反复性。数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过分数和百分数应用题有规律的对比板演，指导学生小结解答这类应用题的关键，找到具体数量的对应倍数，从而使学生自己体验到对应思想和化归思想。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。4、渗透数学思想要与解决实际问题相联系。要把生活中鲜活的题材引入学习的课堂，甚至走进社会这个大课堂，让学生运用数学思想方法解决实际问题，体验到学习数学的价值，感悟到掌握数学思想方法的价值。另外，由于小学生的认知能力的限制，只能将部分重要的数学思想方法潜移默化地渗透到教学过程中去，渗透要求不宜过高。四、取得的效果1、学生数学审美情趣有所提高，学习兴趣浓厚。数学美是一种理性的美、抽象形式的美。数学思想方法中的建模思想体现了简洁性；类比思想充分体现了数学知识的统一性；数形结合与类比思想，体现了知识结构统一的美，等等。学生领悟了数学美，解题思路简洁清晰，语言表达简单明晰，操作设计美观和谐。使学生对数学学习产生了较为持久地浓厚兴趣，学习的积极性明显增强，举手发言积极，学生学起数学来感觉轻松多了。据课堂观察，部分学习困难学生在学习应用题时变得主动而更有信心了，打消了他们的恐惧感。2、学生的探究能力增强。掌握一定的数学思想方法能有效指导学生掌握学习方法，从而大大提高了学生解决分数乘除法应用题的能力。特别是遇到比较困难的思考题，学生都能自己动脑思考，而且学生思维很发散。如：习题中“一条公路