湖南省新化县第四中学高中数学《3.41基本不等式》课件 新人教A版必修5.ppt_第1页
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第一课时 3 4基本不等式 问题提出 1 不等式有许多基本性质 同时还有一些显而易见的结论 如a2 0 a 0 a a等 这些性质都是研究不等式问题的理论依据 在实际应用中 我们还需要有相应的不等式原理 2 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标 它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 在这个图案中既有一些相等关系 也有一些不等关系 对这些等与不等的关系 我们作些相应研究 基本不等式原理及其变通 探究 一 基本不等式的原理 a b 思考2 图中正方形abcd的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系 由此可得到一个什么不等式 a2 b2 2ab 思考3 从图形分析 上述不等式在什么情况下取等号 当直角三角形为等腰直角三角形 即a b时 a2 b2 2ab 思考4 在上面的图形背景中 a b都是正数 那么当a b r时 不等式a2 b2 2ab成立吗 为什么 一般地 对于任意实数a b 有 a2 b2 2ab 当且仅当a b时等号成立 思考5 特别地 如果a 0 b 0 我们用 分别代替a b 可得什么不等式 当且仅当a b时等号成立 思考6 不等式称为基本不等式 它沟通了两个正数的和与积的不等关系 在实际问题中有广泛的应用 你能用分析法证明吗 思考7 我们称和分别为a b的算术平均数和几何平均数 如何用文字语言表述基本不等式 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 思考8 如图 在直角三角形abc中 cd为斜边上的高 co为斜边上中线 你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗 探究 二 基本不等式的变通 思考1 将基本不等式两边平方可得什么结论 它与不等式a2 b2 2ab有什么内在联系 思考2 在不等式a2 b2 2ab两边同加上a2 b2可得什么结论 所得不等式有什么特色 它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系 称为平方平均不等式 其数学意义是 两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方 思考3 将不等式两边同乘以 可变通出一些什么结论 理论迁移 例1已知x y都是正数 求证 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 例2已知a2 b2 c2 1 求证 a b c 3 3 小结作业 2 基本不等式有多种形式 应用时具有很大的灵活性 既可直接应用也可变式应用 一般地 遇到和与积 平方和与积 平方和与和的平方等不等式问题时 常利用基本不等式处理 1 不等式a2 b2 2ab与都是基本不等式 它们成立的条件不同 前者a b可为任意实数 后者要求
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