高考数学二轮复习考前专题二函数与导数第4讲导数的热点问题讲学案理.docx

第4讲导数的热点问题利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例1已知函数f(x)(ln xk1)x(kR)(1)当x1时，求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意xe，e2，都有f(x)4ln x成立，求k的取值范围；(3)若x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x21，所以f(x)ln xk0，函数f(x)的单调递增区间是(1，)，无单调递减区间，无极值；当k0时，令ln xk0，解得xek，当1xek时，f(x)ek时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，)，在区间(1，)上的极小值为f(ek)(kk1)ekek，无极大值(2)解由题意，f(x)4ln x0，即问题转化为(x4)ln x(k1)x对xe，e2恒成立令g(x)，则g(x)，令t(x)4ln xx4，xe，e2，则t(x)10，所以t(x)在区间e，e2上单调递增，故tmint(e)e44e0，故g(x)0，所以g(x)在区间e，e2上单调递增，函数gmaxg(e2)2.要使k1对于xe，e2恒成立，只要k1gmax，所以k12，即实数k的取值范围为.(3)证明因为f(x1)f(x2)，由(1)知，函数f(x)在区间(0，ek)上单调递减，在区间(ek，)上单调递增，且f(ek1)0.不妨设x1x2，则0x1ekx2ek1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证ekx2.因为f(x)在区间(ek，)上单调递增，所以f(x2)f.又f(x1)f(x2)，即证f(x1)f，构造函数h(x)f(x)f(ln xk1)x，即h(x)xln x(k1)xe2k，x(0，ek)h(x)ln x1(k1)e2k(ln xk)，因为x(0，ek)，所以ln xk0，x20，所以函数h(x)在区间(0，ek)上单调递增，故h(x)h(ek)，而h(ek)f(ek)f0，故h(x)0，所以f(x1)f，即f(x2)f(x1)f，所以x1x2e2k成立思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.跟踪演练1(2017全国)已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.(1)解f(x)的定义域为(0，)，设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0，因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a10，得a1.若a1，则g(x)1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.(2)证明由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x，设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x时，h(x)0.所以h(x)在上单调递减，在上单调递增又h(e2)0，h0；当x(x0，1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f(x0)0，得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0，得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)0)，定义h(x)maxf(x)，g(x)(1)求函数f(x)的极值；(2)若g(x)xf(x)，且存在x1,2使h(x)f(x)，求实数a的取值范围；(3)若g(x)ln x，试讨论函数h(x)(x0)的零点个数解(1)函数f(x)ax33x21, f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x10或x2，a0，x1x2，列表如下：x(，0)0f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(0)1，极小值为f11.(2)g(x)xf(x)3ax36x2，存在x1,2，使h(x)f(x)，f(x)g(x)在x1,2上有解，即ax33x213ax36x2在x1,2上有解，即不等式2a在x1,2上有解. 设y(x1,2)，y0，即a2时，f(x)0在(0，)上恒成立，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上无零点. 当10，即a2时，f(x)minf(1)0.又g(1)0，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有一个零点当10，即0a2时，设(x)f(x)g(x)ax33x21ln x(0x1)，(x)3ax26x6x(x1)0，(x)在(0,1)上单调递减又(1)a20，存在唯一的x0，使得(x0)0，()当0xx0时，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)f(x)且h(x)为减函数又h(x0)f(x0)g(x0)ln x00，h(x)在(0，x0)上有一个零点；()当xx0时，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)g(x)且h(x)为增函数，g(1)0，h(x)在(x0，)上有一零点；从而h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有两个零点，综上所述，当0a2时，h(x)无零点. 思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势跟踪演练2(2017届云南曲靖一中月考)已知f(x)2xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数yg(x)的图象在点P(1，g(1)处的切线方程；(3)已知不等式f(x)g(x)2恒成立，若方程aeam0恰有两个不等实根，求m的取值范围解(1)g(x)3x22ax1，由题意知，3x22ax10的解集为，即3x22ax10的两根分别是，1，代入得a1，g(x)x3x2x2.(2)由(1)知，g(1)1，g(x)3x22x1，g(1)4，点P(1,1)处的切线斜率kg(1)4，函数yg(x)的图象在点P(1,1)处的切线方程为y14(x1)，即4xy50.(3)由题意知，2xln x3x22ax1对x(0，)恒成立，可得aln xx对x(0，)恒成立设h(x)ln xx，则h(x)，令h(x)0，得x1，x(舍)，当0x0；当x1时，h(x)0，当x1时，h(x)取得最大值，h(x)maxh(1)2，a2.令(a)aea，则(a)eaaeaea(a1)，(a)在2，1上单调递减，在(1，)上单调递增，(2)2e2，(1)e1，当a时，(a)，方程aeam0恰有两个不等实根，只需m.热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优例3(2017届福建福州外国语学校期中)罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)32n(n1)(2)x32(2)xm2m32(0xm)(2)当m96时，f(x)96160，则f(x)96(x64)令f(x)0，得x64，所以x16.当0x16时，f(x)0，f(x)在区间(0,16)内为减函数；当16x0，f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以f(x)在x16处取得最小值，此时n15.故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小. 思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大解(1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x.所以42x2yx，得y.依题意知0xy，得0x.所以y.(2)依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有TABS2x8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，得x0或x.因为0，所以当0x0，当x时，T0，所以当x时凹槽的强度最大真题体验(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)(i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点(ii)若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)2e220，故f(x)在(，ln a)上有一个零点设正整数n0满足n0ln，则f(n0)e(aea2)n0en02n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)押题预测已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数(1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间上是增函数；(2)证明：in 0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力(1)证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，G(x)acos(1x)，当x(0,1)，01,0cos(1x)1，acos(1x)0，故函数在区间上是增函数(2)证明由(1)知，当a1时，G(x)sin(1x)ln x在上单调递增sin(1x)ln xG(1)0，sin(1x)ln(0x1) .令1x，所以x.sinsinlnlnln，in，ln 2ln 0，即Fmin0.又h(x)Fex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增；又h(0)0，则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(x)在(，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，F(x)F(x0)emx2x0b20，则bemx2x02，又e2mx020，m，bex2x02ex02，又mex02，x0(0，ln 2)恒成立，令m(x)exx2，x(0，ln 2)，则m(x)(x1)ex1，m(x)xex0，m(x)在x(0，ln 2)上单调递增，又m(0)0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)2ln 2，又b为整数，最小整数b的值为2. A组专题通关1(2017届河南省南阳、信阳等六市联考)已知函数f(x)(abx3)ex，且函数f(x)的图象在点(1，e)处的切线与直线x(2e1)y30垂直(1)求a，b；(2)求证：当x(0,1)时，f(x)2.(1)解因为f(1)e，故(ab)ee，故ab1.依题意，f(1)2e1，又f(x)aexb(exx33x2ex)，故f(1)ae14be2e1，故a4b2，联立，解得a2，b1.(2)由(1)得f(x)2exexx3，要证f(x)2，即证2exexx32；令g(x)2exexx3，所以g(x)ex(x33x22)ex(x33x22)ex(x1)(x22x2)，故当x(0,1)时，ex0；令p(x)x22x2，因为p(x)的对称轴为x1，且p(0)p(1)0，故存在x0(0,1)，使得p(x0)0；故当x(0，x0)时，p(x)x22x20，即g(x)在(0，x0)上单调递增；当x(x0,1)时，p(x)x22x20，故g(x)ex(x1)(x22x2)g(0)2，又当x(0,1)时，0，所以22，即f(x)2.2(2017届河北武邑中学调研)已知函数f(x)ln xax(ax1)，其中aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在(0,1内至少有1个零点，求实数a的取值范围解(1)依题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2a2xa，当a0时，f(x)ln x，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，由f(x)0，得0x，由f(x)，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减当a0，得0x，由f(x)，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)当a0时，函数f(x)在内有1个零点x01; 当a0时，由(1)知函数f(x)在上单调递增，在上单调递减若1，即0a时，f(x)在(0，1上单调递增，由于当x0时，f(x)且f(1)a2a0知，函数f(x)在(0,1内无零点；若0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，要使函数f(x)在(0,1内至少有1个零点，只需满足f0，即ln ，又a，ln 0，不等式不成立f(x)在(0,1内无零点；当a0时，由(1)知函数f(x)在上单调递增，在上单调递减若1，即1a0，知函数f(x)在(0,1内有1个零点；若01，即a1时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，由于当x0时，f(x)，且当a1时，fln0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少. 解(1)由题意，得下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)；水底作业时的用氧量为100.99(升)；返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升), 总用氧量y9(v0)(2)y，令y0，得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增，当0c0)(1) 若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；(2) 证明：当a时，f(x)ex.(1)解方法一函数f(x)ln x的定义域为(0，)由f(x)ln x，得f(x).因为a0，则当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增当xa时，f(x)minln a1.当ln a10, 即00, 则函数f(x)有零点. 所以实数a的取值范围为.方法二函数f(x)ln x的定义域为(0，)由f(x)ln x0, 得axln x. 令g(x)xln x，则g(x)(ln x1)当x时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减. 故当x时，函数g(x)取得最大值gln.因为函数f(x)ln x有零点，则0ex，即证明当x0，a时，ln xex，即xln xaxex.令h(x)xln xa, 则h(x)ln x1.当0x时，h(x)时，h(x)0.所以函数h(x)在上单调递减，在上单调递增当x时，h(x)mina.于是，当a时，h(x)a.令(x)xex, 则(x)exxexex(1x)当0x0；当x1时，(x)0时，(x).显然，不等式中的等号不能同时成立故当a时，f(x)ex.5(2017届杭州地区重点中学期中)已知函数f(x)的图象过点(1，2)，且在该点处的切线与直线x5y10垂直(1)求实数b，c的值；(2)对任意给定的正实数a，曲线yf(x)上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？解(1)当x0)，则Q(t，t3t2)，且t1.因为POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以0，即t2f(t)(t3t2)0，是否存在点P，Q等价于方程是否有解，若0t1，则f(t)aln t，代入方程，得(t1)ln t，设h(x)(x1)ln x(x1)，则h(x