弹性力学平面应力问题和平面应变问题

弹性力学 朱明礼njzhu2004 第一节平面应力问题和平面应变问题 第二节平衡微分方程 第三节平面问题中一点的应力状态 第四节几何方程刚体位移 第五节物理方程 第六节边界条件 第二章平面问题的基本理论 第二章平面问题的基本理论 第七节圣维南原理及其应用 第八节按位移求解平面问题 第九节按应力求解平面问题相容方程 第十节常应力情况下的简化应力函数 弹性力学平面问题共有应力 应变和位移8个未知函数 且均为 2 1平面应力问题和平面应变问题 弹性力学空间问题共有应力 应变和位移15个未知函数 且均为 平面应力 两类特殊问题1 平面应力问题 4 约束作用于板边 平行于板的中面 沿板厚不变 3 面力作用于板边 平行于板的中面 沿板厚不变 2 体力作用于体内 平行于板的中面 沿板厚不变 条件是 第一种 平面应力问题 平面应力 1 等厚度的薄板 坐标系如图选择 平面应力 简化为平面应力问题 故只有平面应力存在 由于薄板很薄 应力是连续变化的 又无z向外力 可认为 平面应力 1 两板面上无面力和约束作用 故 所以归纳为平面应力问题 a 应力中只有平面应力存在 b 且仅为 平面应力 2 由于板为等厚度 外力 约束沿z向不变 故应力仅为 如 弧形闸门闸墩 计算简图 平面应力 深梁 计算简图 F 因表面无任何面力 平面应力 A B 例题1 试分析AB薄层中的应力状态 故接近平面应力问题 故表面上 有 在近表面很薄一层内 第二种 平面应变问题 2 体力作用于体内 平行于横截面 沿柱体长度方向不变 平面应变 第二种 平面应变问题 条件是 1 很长的常截面柱体 3 面力作用于柱面 平行于横截面 沿柱体长度方向不变 4 约束作用于柱面 平行于横截面 沿柱体长度方向不变 坐标系选择如图 平面应变 对称面 故任何z面 截面 均为对称面 平面应变 1 截面 外力 约束沿z向不变 外力 约束平行xy面 柱体非常长 简化为平面应变问题 2 由于截面形状 体力 面力及约束沿向均不变 故应力 应变和位移均为 平面应变 所以归纳为平面应变问题 a 应变中只有平面应变分量存在 b 且仅为 平面应变 例如 平面应变 隧道 挡土墙 o y x y o x 且仅为 故只有 本题中 平面应变 ox y z 例题2 试分析薄板中的应变状态 故为平面应变问题 2 2平衡微分方程 定义 平衡微分方程 表示物体内任一点的微分体的平衡条件 在任一点 x y 取出一微小的平行六面体 作用于微分体上的力 体力 定义 应力 作用于各边上 并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量 应用的基本假定 连续性假定 应力用连续函数来表示 小变形假定 用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 列出平衡条件 合力 应力 面积 体力 体积 以正向物理量来表示 平面问题中可列出3个平衡条件 平衡条件 其中一阶微量抵消 并除以得 同理可得 平衡条件 当时 得切应力互等定理 得 平衡条件 适用的条件 连续性 小变形 说明 对平衡微分方程的说明 代表A中所有点的平衡条件 因位 A 应力不能直接求出 对两类平面问题的方程相同 理论力学考虑整体的平衡 只决定整体的运动状态 说明 比较 材料力学考虑有限体的平衡 近似 弹性力学考虑微分体的平衡 精确 当均平衡时 保证 平衡 反之则不然 说明 所以弹力的平衡条件是严格的 并且是精确的 理力 V 材力 弹力 h V dx dy dx 思考题 1 试检查 同一方程中的各项 其量纲必然相同 可用来检验方程的正确性 2 将条件 改为对某一角点的 将得出什么结果 3 微分体边上的应力若考虑为不均匀分布 将得出什么结果 已知坐标面上应力 求斜面上的应力 问题的提出 2 3平面问题中一点的应力状态 问题 求解 取出一个三角形微分体 包含面 面 面 边长 问题 斜面应力表示 2 平面问题中一点的应力状态 几何参数 设AB面面积 ds PB面积 lds PA面积 mds 斜面上应力分解为 由 Y 0得 2 3 由平衡条件 并略去高阶分量体力项 得 1 求 a 斜面应力 其中 l cos n x m cos n y 2 平面问题中一点的应力状态 P 斜面上应力分解为 已知P点应力 x y xy可求出过P点任意斜面上的 正应力和剪应力 N N 利用 2 4 2 5 应力在x y轴上的投影 px py 利用 2 3 2 求 将向法向 切向投影 得 斜面应力 主平面主应力 剪应力等于零的平面叫主平主平面上的应力叫主应力 2 x y x y 2xy 0 设某一斜面为主面 则只有由此建立方程 求出 3 求主应力 斜面应力 c 主平面主应力 剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力 注意 平面应力状态下 任一点一般都存在两个主应力 二者方向互相垂直 1 2 x y 任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值 最大剪应力所在平面与主平面相交45 其值为 主平面上剪应力等于零 但 max作用面上正应力一般不为零 而是 将x y放在方向 列出任一斜面上应力公式 可以得出 设 4 求最大 最小应力 最大 最小应力 说明 以上均应用弹力符号规定导出 d 几何方程 表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系 2 4几何方程刚体位移 定义 变形前位置 变形后位置 各点的位置如图 通过点P x y 作两正坐标向的微分线段 定义 应用基本假定 连续性 小变形 当很小时 假定 几何方程刚体位移 PA dx PB dy PA正应变 PB正应变 2 8 几何方程 对两种平面问题都适用 假定 由位移求形变 PA线应变 PA转角 PB线应变 PB转角 同理 适用于区域内任何点 因为 x y A 对几何方程的说明 所以平面问题的几何方程为 说明 适用条件 a 连续性 b 小变形 应用小变形假定 略去了高阶小量线性的几何方程 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果 形变和位移之间的关系 位移确定形变完全确定 从物理概念看 各点的位置确定 则微分线段上的形变确定 说明 从数学推导看 位移函数确定 则其导数 形变 确定 从物理概念看 确定 物体还可作刚体位移 从数学推导看 确定 求位移是积分运算 出现待定函数 形变确定 位移不完全确定 形变与位移的关系 由 两边对y积分 由 两边对x积分 例 若 求位移 形变与位移的关系 代入第三式 分开变量 因为几何方程第三式对任意的 x y 均应满足 当x y 变化时 式 b 的左 右均应 常数 由此解出 可得 形变与位移的关系 物理意义 形变与位移的关系 表示物体绕原点的刚体转动 表示x y向的刚体平移 结论 形变确定 则与形变有关的位移可以确定 而与形变无关的刚体位移则未定 须通过边界上的约束条件来确定 思考题 1 试证明微分体绕z轴的平均转动分量是 2 当应变为常量时 试求出对应的位移分量 物理方程 表示 微分体上 应力和形变之间的物理关系 定义 即为广义胡克定律 2 5物理方程 物理方程的说明 说明 正应力只与线应变有关 切应力只与切应变有关 是线性的代数方程 是总结实验规律得出的 适用条件 理想弹性体 物理方程的两种形式 应变用应力表示 用于按应力求解 应力用应变 再用位移表示 表示 用于按位移求解 说明 平面应力问题的物理方程 代入 得 在z方向 平面应力 代入得 平面应变问题的物理方程 平面应变 在z方向 平面应力物理方程 平面应变物理方程 变换关系 平面应变物理方程 平面应力物理方程 思考题 1 试证 由主应力可以求出主应变 且两者方向一致 2 试证 3个主应力均为压应力 有时可以产生拉裂现象 3 试证 在自重作用下 圆环 平面应力问题 比圆筒 平面应变问题 的变形大 位移边界条件 设在部分边界上给定位移分量和 则有 在上 a 定义 边界条件 表示在边界上位移与约束 或应力与面力之间的关系 位移边界条件 2 6边界条件 若为简单的固定边 则有 位移边界条件的说明 在上 b 它是在边界上物体保持连续性的条件 或位移保持连续性的条件 它是函数方程 要求在上每一点 位移与对应的约束位移相等 在 2 3中 通过三角形微分体的平衡条件 导出坐标面应力与斜面应力的关系式 应力边界条件 设在上给定了面力分量 在A中 c 应力边界条件 将此三角形移到边界上 并使斜面与边界面重合 则得应力边界条件 它是边界上微分体的静力平衡条件 说明 应力边界条件的说明 式 c 在A中每一点均成立 而式 d 只能在边界s上成立 它是函数方程 要求在边界上每一点s上均满足 这是精确的条件 所有边界均应满足 无面力的边界 自由边 也必须满足 式 d 中 按应力符号规定 按面力符号规定 位移 应力边界条件均为每个边界两个 分别表示 向的条件 说明 若x a为正x面 l 1 m 0 则式 d 成为 当边界面为坐标面时 坐标面 若x b为负x面 l 1 m 0 则式 d 成为 应力边界条件的两种表达式 两种表达式 在同一边界面上 应力分量应等于对应的面力分量 数值相等 方向一致 即在同一边界面上 应力数值应等于面力数值 给定 应力方向应同面力方向 给定 在边界点取出微分体 考虑其平衡条件 得式 d 或 e f 在斜面上 在 坐标面上 由于应力与面力的符号规定不同 故式 e f 有区别 例如 两种表达式 例1列出边界条件 例2列出边界条件 显然 边界条件要求在上 也成抛物线分布 部分边界上为位移边界条件 另一部分边界上为应力边界条件 混合边界条件 混合边界条件 同一边界上 一个为位移边界条件 另一个为应力边界条件 例3列出的边界条件 弹性力学问题是微分方程的边值问题 应力 形变 位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件 主要的困难在于难以满足边界条件 2 7圣维南原理及其应用 圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件 如果把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力 主矢量相同 对同一点的主矩也相同 那么 近处的应力分量将有显著的改变 但远处所受的影响可以不计 圣维南原理 圣维南原理 圣维南原理 1 圣维南原理只能应用于一小部分边界 小边界 次要边界或局部边界 圣维南原理的说明 4 远处 指 近处 之外 3 近处 指面力变换范围的一 二倍的局部区域 2 静力等效 指两者主矢量相同 对同一点主矩也相同 圣维南原理 圣维南原理表明 在小边界上进行面力的静力等效变换后 只影响近处 局部区域 的应力 对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响 圣维南原理推广 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系 主矢量及主矩都等于零 那么 这个面力就只会使近处产生显著的应力 而远处的应力可以不计 例1比较下列问题的应力解答 b 例2比较下列问题的应力解答 推广 圣维南原理的应用 1 推广解答的应用 2 简化小边界上的边界条件 应用 圣维南原理在小边界上的应用 精确的应力边界条件 如图 考虑小边界 上式是函数方程 要求在边界上任一点 应力与面力数值相等 方向一致 往往难以满足 a 在边界上 在小边界x l上 用下列条件代替式 a 的条件 在同一边界x l上 应力的主矢量 面力的主矢量 给定 应力的主矩 M 面力的主矩 给定 数值相等 方向一致 b 圣维南原理的应用 积分的应力边界条件 右端面力的主矢量 主矩的数值及方向 均已给定 左端应力的主矢量 主矩的数值及方向 应与面力相同 并按应力的方向规定确定正负号 具体列出3个积分的条件 即 应力的主矢量 主矩的数值 面力的主矢量 主矩的数值 应力的主矢量 主矩的方向 面力的主矢量 主矩的方向 式中应力主矢量 主矩的正方向 正负号的确定 应力的主矢量的正方向 即应力的正方向 应力的主矩的正方向 即 正应力 正的矩臂 的方向 讨论 1 如果只给出面力的主矢量 主矩如图 则式 c 右边直接代入面力的主矢量 主矩 2 在负x面 由于应力 面力的符号规定不同 应在式 c 中右端取负号 3 积分的应力边界条件 b 或 c 虽是近似的 但只用于小边界 不影响整体解答的精度 精确的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数23方程性质函数方程 难满足 代数方程 易满足 精确性精确近似适用边界大 小边界小边界 比较 思考题 1 为什么在大边界 主要边界 上 不能应用圣维南原理 2 试列出负面上积分的应力边界条件 设有各种面力作用 或面力的主矢量和主矩作用 平面应力问题与平面应变问题 除物理方程的弹性系数须变换外 其余完全相同 因此 两者的解答相似 只须将进行变换 以下讨论平面应力问题 1 平面问题的基本方程及边界条件 平面问题 2 8按位移求解平面问题 平面应力问题 平面域A内的基本方程 平衡微分方程 在A内 几何方程 物理方程 在A内 在A内 应力边界条件位移边界条件 在上 在上 S上边界条件 8个未知函数必须满足上述方程和边界条件 按位移求解 位移法 取 为基本未知函数 从方程和边界条件中消去形变和应力 导出只含 的方程和边界条件 从而求出 再求形变和应力 2 解法 消元法 解法 按应力求解 应力法 取为基本未知函数 从方程和边界条件中消去位移和形变 导出只含应力的方程和边界条件 从而求出应力 再求形变和位移 这是弹力问题的两种基本解法 3 按位移求解 将其他未知函数用 表示 形变用 表示 几何方程 应力先用形变来表示 物理方程 再代入几何方程 用 表示 取 为基本未知函数 按位移求解 在A中导出求 的基本方程 将式 a 代入平衡微分方程 上式是用 表示的平衡微分方程 位移边界条件 在上 d 在上 c 应力边界条件 将式 a 代入应力边界条件 在S上的边界条件 按位移求解时 必须满足A内的方程 b 和边界条件 c d 归纳 式 b c d 是求解 的条件 也是校核 是否正确的全部条件 按位移求解 位移法 的优缺点 求函数式解答困难 但在近似解法 变分法 差分法 有限单元法 中有着广泛的应用 适用性广 可适用于任何边界条件 例1考虑两端固定的一维杆件 图 a 只受重力作用 试用位移法求解 a b 解 为了简化 设位移按位移求解 位移应满足式 b c d 代入式 b 第一式自然满足 第二式成为 a b 均属于位移边界条件 代入 得 得 解出 在处 代入 并求出形变和应力 思考题试用位移法求解图 b 的位移和应力 1 取为基本未知函数 基本方程 2 9按应力求解平面问题相容方程 1 按应力求解平面应力问题 2 其他未知函数用应力来表示 位移用形变 应力表示 须通过积分 不仅表达式较复杂 而且包含积分带来的未知项 因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解 故在按应力求解时 只考虑全部为应力边界条件的问题 即 形变用应力表示 物理方程 按应力求解 在A内求解应力的方程 b 从几何方程中消去位移 得相容方程 形变协调条件 补充方程 从几何方程 物理方程中消去位移和形变得出 平衡微分方程 2个 a 代入物理方程 消去形变 并应用平衡微分方程进行简化 便得用应力表示的相容方程 其中 4 应力边界条件 假定全部边界上均为应力边界条件 1 A内的平衡微分方程 2 A内的相容方程 3 边界上的应力边界条件 4 对于多连体 还须满足位移的单值条件 见第四章 归纳 1 4 也是校核应力分量是否正确的全部条件 按应力求解平面应力问题 应力必须满足下列条件 2 形变协调条件 相容方程 的物理意义 形变协调 对应的位移存在 位移必然连续 形变不协调 对应的位移不存在 不是物体实际存在的形变 微分体变形后不保持连续 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件 形变协调条件是位移连续性的必然结果 连续体 位移连续 几何方程 形变协调条件 点共点 连续 变形后三连杆在点共点 则三连杆的应变必须满足一定的协调条件 例1三连杆系统 由于物体是连续的 变形前三连杆在D 1 试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法 并与结构力学中的位移法和力法作比较 2 若是否可能成为弹性体中的形变 3 若是否可能为弹性体中的应力 思考题 相容方程 A a 1 常体力情况下按应力求解的条件 A b 平衡微分方程 按应力函数求解 2 10常体力情况下的简化应力函数 应力边界条件 S c 多连体中的位移单值条件 d 在 条件下求解的全部条件 a b c 中均不包含弹性常数 故与弹性常数无关 2 在 常体力 单连体 全部为应力边界条件 下的应力特征 结论 不同材料的应力 的理论解相同 用试验方法求应力时 也可以用不同的材料来代替 两类平面问题的应力解相同 试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型 3 常体力下按应力求解的简化 对应的齐次微分方程的通解 艾里已求出为 非齐次微分方程 b 的任一特解 如取 1 常体力下平衡微分方程的通解是 非齐次特解 齐次通解 所以满足平衡微分方程的通解为 g 为艾里应力函数 如果 则A B均可用一个函数表示 即 说明 a 导出艾里 Airy 应力函数 是应用偏导数的相容性 即 d 由再去求应力 式 g 必然满足平衡微分方程 故不必再进行校核 c 仍然是未知的 但已将按应力求解转变为按应力函数求解 从3个未知函数减少至1个未知函数 b 导出应力函数的过程 也就证明了的存在性 故可以用各种方法去求解 2 应力应满足相容方程 a 将式 g 代入 a 得 3 若全部为应力边界条件 则应力边界条件也可用表示 归纳 1 A内相容方程 h 2 上的应力边界条件 3 多连体中的位移单值条件连体 求出后 可由式 g 求得应力 在常体力下求解平面问题 可转变为按应力函数求解 应满足 1 在常体力 单连体和全部为应力边界条件条件下 对于不同材料和两类平面问题的 和均相同 试问其余的应力分量 应变和位移是否相同 思考题 2 对于按位移 u v 求解 按应力 求解和按应力函数求解的方法 试比较其未知函数 应满足的方程和条件 求解的难易程度及局限性 第二章例题 1 例题2 例题3 例题4 例题7 例题5 例题6 例题 例1试列出图中的边界条件 M F y x l h 2 h 2 q a 解 a 在主要边界应精确满足下列边界条件 在小边界x 0应用圣维南原理 列出三个积分的近似边界条件 当板厚时 在小边界x l 当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下 3个积分的边界条件必然满足 可以不必校核 b 在主要边界x 0 b 应精确满足下列边界条件 F O x y q h b b 2 b 2 在小边界y 0 列出3个积分的边界条件 当板厚时 注意在列力矩的条件时两边均是对原点o的力矩来计算的 对于y h的小边界可以不必校核 例2厚度悬臂梁 受一端的集中力F的作用 已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答 h 2 h 2 A x y l F O 解 此组位移解答若为图示问题的解答 则应满足下列条件 1 区域内用位移表示的平衡微分方程 书中式2 18 2 应力边界条件 书中式2 19 在所有受面力的边界上 其中在小边界上可以应用圣维南原理 用3个积分的边界条件来代替 3 位移边界条件 书中式2 14 本题在x l的小边界上 已考虑利用圣维南原理 使3个积分的应力边界条件已经满足 因此 只需校核下列三个刚体的约束条件 A点 x l及y 0 读者可校核这组位移是否满足上述条件 如满足 则是该问题之解 例3试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 解 应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件 即 a 相容 b 须满足B 0 2A C c 不相容 只有C 0 则 例4在无体力情况下 试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在 解 弹性体中的应力 在单连体中必须满足 1 平衡微分方程 2 相容方程 3 应力边界条件 当 a 此组应力满足相容方程 为了满足平衡微分方程 必须A F D E 此外 还应满足应力边界条件 b 为了满足相容方程 其系数必须满足A B 0 为了满足平衡微分方程 其系数必须满足A B C 2 上两式是矛盾的 因此此组应力分量不可能存在 例5若是平面调和函数 即满足拉普拉