《静电场边值问题》PPT课件.ppt

静电场的边值问题 一般情况下电位或场强满足两个方程无源 Laplace sEquation有源 Poission sEquation边值问题 在给定边界条件下求解偏微分方程Poission sEquation 边界条件Laplace sEquation 边界条件 电场边值问题的分类 第1类 已知整个边界上的电位 DirichletProblems 第2类 已知整个边界上电位的法向导数NeumannProblems第3类 已知边界上电位 边界电位法向导数的值HybridProblems 5 3一维场 直接积分 例1 求同轴线中的电场分布 已知内半径a外半径b 内导体电位U 外导体为0 在柱坐标系下 柱对称下拉普拉斯方程 r 0 代入边界条件 r a时y U r b时y 0 C1 C2 得 则 柱坐标下 例2已知 导体球 半径a 球体电位U 求 球外的电位 分析 球对称 球坐标系下 电位只与半径有关 则 直接积分得 利用边界条件确定两个待定常数 r a时y U r 时y 0 得C1 C2 例3 同轴电缆 填充两种介质 内导体电位为U 外导体接地 求电位 由于对称性 电位与j z座标无关 仅与r相关柱座标系下拉氏方程 解得 利用边界条件 根据以上条件求出系数就得到介质中电位 内容主要包括 二维拉氏方程直角坐标系下柱坐标系下未包括 二维球坐标系下拉氏方程三维Laplace方程求解泊松方程 非齐次方程 求解 5 4分离变量法求解拉氏方程 分离变量法的主要思想 将方程中含有各个变量的项分离开来 从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量和参数的常微分方程 运用线性叠加原理 将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程 利用高数知识 级数求解知识 以及其他巧妙方法 求出各个方程的通解 最后将这些通解 组装 起来 笛卡儿坐标系中分离变量法求解 令 两边同时除以 三项中每一项必须是常数 令 的求解 1 如果 k为正实数 2 如果 3 如果 k为正实数 确定Y和Z通解的步骤类似最后再将X Y Z的通解 组装 在一起最后代入边界条件确定待定常数 P108页 电势满足方程 分离变量得 解得 腔内电势解 由二维傅里叶变换得 一 求解矩形区域的Laplace方程 微波导和光波导器件的横截面常是矩形 其中的电磁场模式多是横电波或横磁波 即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变 而只随横截面的坐标变化 此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中场量和模式的重要手段 举例 如图的波导中求解电位 求解v x y 设解为 代入上面关于v的方程得 先求解哪一个 与齐次边界有关的那个 本征函数为 本征值为 将本征值ln代入Y的方程 可得通解 于是由叠加原理得到v的通解为 将另一对边界条件代入方程的通解得 上两式实际上是u0和U0展开后的正弦级数 于是 联立上两式可得An和Bn 从而原方程的解得以确定 上题中边界处的电位分布 探讨一下边界处分布函数的形状 求解步骤 正确写出方程和边界条件 在齐次化边界条件下利用分离变量法求解 利用齐次边界条件求特征值 特征函数 写出通解形式代入边界 求待定系数 二 求解柱坐标系下的Laplace方程 此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式的重要手段 在最常见的微波传输线 铜轴线 和最常见的光传输线 光纤 中 横截面都是圆形 其中的电磁场模式也大多是横电波或横磁波 即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变 而只随横截面的坐标变化 求解柱坐标系下的Laplace方程 电位只与r有关电位只与r z有关电位只与r j有关 只与r z有关的Laplace方程 当 0时 当 0时 若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件 则m不可能 0 求解圆柱内部问题 包含圆柱轴线r 0 时 为了满足自然边界条件 Nn 项应舍去 当m 0时 R r 没有实的零点 如果要求u在圆柱侧面r a满足齐次边界条件 则应排除 0的可能 求解圆柱内部问题 包含圆柱轴线r 0 时 为了满足自然边界条件 Kn 项应舍去 一般解为 1 如果考虑圆内问题则其解为2 如果考虑圆外问题则其解为3 如果考虑是圆环问题 则其解为一般解 其中的系数由边界条件确定 3 电位只与r j有关 3 球坐标系下与j无关时 轴对称情况 球内电位取有限值 r 0电位有限 球外电位取有限值 r取无穷大电位有限 例1 解题时首先看能否化简 已知 很长的同轴电缆 内导体半径为a 维持电位V0 外导体半径为b 接地 求 导体区域内的电位分布 分析 柱座标 电位对称 仅与r有关 例2 书p136例5 6 三 球坐标系下的二维Laplace方程 自学内容 什么是 镜像法 用适当的镜像电荷 Image Charges 代替边界 求解电位分布的方法 镜像法 的依据 唯一性定理 UniquenessTheorem 镜像法 思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷保持求解区域中场方程和边界条件不变 镜像法 使用范围 界面几何形状较规范 电荷个数有限 或分布形式简单 5 5镜像法 MethodofImages 1 将导体移走 在 对称 点处放置一个 像 电荷q 第一类镜像法 平面镜像 2 仍然要满足 导体板 存在时的条件 q q q 边界条件 对称性 拉氏方程 q q 像点 q 满足 导体板 存在时的条件 满足 满足 满足 由唯一性定理知 第二类镜像法 柱面镜像 像 线电荷 电轴 位置 柱内 与线电荷平行分布 密度设为p 假设 导体圆柱面上任一点M 因为导体是等位体 若 三角形相似 思考 复杂的第2类镜像问题 已知 两根无限长平行圆柱 半径为a b 轴心距离