2019_2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法1比较法学案新人教A版.docx

一比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤(重点)3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用(难点)教材整理1作差比较法阅读教材P21P22例2，完成下列问题1理论依据：abab0；abab0；abab0.2定义：要证明ab，转化为证明ab0，这种方法称为作差比较法3步骤：作差；变形；判断符号；下结论若x，yR，记x23xy，u4xyy2，则()AuBuCu D无法确定Cux2xyy20，u.教材整理2作商比较法阅读教材P22P23“习题”以上部分，完成下列问题1理论依据：当b0时，ab1；ab1；ab1.2定义：证明ab(b0)，只要转化为证明1，这种方法称为作商比较法3步骤：作商；变形；判断商与1大小；下结论下列命题：当b0时，ab1；当b0时，ab1；当a0，b0时，1ab；当ab0时，1ab.其中真命题是()A BC DA由不等式的性质，正确当ab0时(若b0，a0)，1与ab不等价，错作商比较法证明不等式【例1】已知a0，b0且ab，求证：aabb.精彩点拨 1当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式2运用ab1证明不等式时，一定注意b0是前提条件若符号不能确定，应注意分类讨论1已知m，nR，求证：.证明因为m，nR，则：当mn0时，1，mn0，则1.当mn时，1.当nm0时，01，mn1.故对任意的m，nR都有1.，所以.比较法的实际应用【例2】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？精彩点拨设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了自主解答设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，依题意有：mns，t2.t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20，即t1t2，从而知甲比乙先到达指定地点1应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键2在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断2通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？解设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为.由于l0,04，0，.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大作差比较法探究问题作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？提示“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“abab0，abab0，abab0”，其一般步骤为“作差变形判号定论”其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式【例3】已知a，bR，求证：a2b21abab.精彩点拨此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号自主解答法一a2b2abab1(ab)2(a1)2(b1)20，a2b21abab.法二a2b2abab1a2(b1)ab2b1，对于a的二次三项式，(b1)24(b2b1)3(b1)20.a2(b1)ab2b10，故a2b21abab.1作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少2因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“”判定符号3已知abc，证明：a2bb2cc2aab2bc2ca2.证明a2bb2cc2aab2bc2ca2(a2bbc2)(b2cab2)(c2aca2)b(a2c2)b2(ca)ac(ca)(ac)(babcb2ac)(ac)(ab)(bc)abc，ac0，ab0，bc0，(ac)(ab)(bc)0，即a2bb2cc2aab2bc2ca2.1设ta2b，sab21，则下列t与s的大小关系中正确的是()AtsBtsCts DtsDst(ab21)(a2b)(b1)20，st.2已知a0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P，Q的大小关系是()APQ BPQCPQ D大小不确定APQloga(a31)loga(a21)loga.当0a1时，0a31a21，则01，loga0，即PQ0，PQ.当a1时，a31a210，1，loga0，即PQ0，PQ.综上总有PQ，故选A.3设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是_解析0.又a，b，m为正数，a(am)0，m0，因此ab0.即ab.答案ab4设ab0，x，y，则x，y的大小关系是x_y.解析1，且x0，y0，xy.答案5已知ab0，求证：2a3b