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3 2线性规划问题的基本解 基本概念 可行解 可行域 最优解 基 基变量 基阵 基本可行解 给定一个线性规划问题LP 一 基本概念 1 可行解 afeasiblesolution 满足约束条件的X称为线性规划问题的可行解 所有可行解的集合称为可行域 feasibleregion 使目标函数 1 1 达到最大值的可行解称为最优解 anoptimalsolution 2 基 base 即 是A的m个列向量 设 是线性无关的 如果 则称 为基向量 记约束方程系数矩阵A的列向量是 3 基变量 basicvariables 构成线性规划问题的一组基向量 设 则对应的变量 称为基变量 其余的向量称为非基向量 其余的变量称为非基变量 non basic variable 称为基或基阵 basicmatrix 矩阵 约束方程A的系数矩阵为 分别是变量 的系数向量 例1 向量组是线性无关组 是此问题的一个基 其中为基变量 而是非基变量 向量组是线性无关组 是基变量 是此问题的一个基 而是非基变量 2 设B是A的一个m阶子矩阵 则B是线性规划问题的基阵 当且仅当B是可逆阵 3 基的个数 Cnm 注 1 基不一定唯一 4 基解 现令所有的非基变量都等于0 即 设是线性规划问题LP的一基阵 表示基变量向量 表示非基变量向量 则约束方程 1 2 可化为 它是一个m个变量m个方程组成的线性方程组 B又是可逆阵 从而得出 1 4 的唯一解 得出约束方程 1 2 至少含有n m个0元的解 称之为相应于基B的一个基本解或基解 abasicsolution 5 基可行解 设是对应于基阵B的一个基解 如果 则称为一个基本可行解或基可行解 abasicfeasiblesolution 相应的基B也称为可行基 feasiblebase 在上例1中 对应于的基解为是一个基可行解 对应于的基解为而不是基可行解 思考题 试列出例1中问题的所有基解 基可行解 注 给定线性规划问题LP 其基可行解的数目是有限个 不会超过 图1给出了线性规划问题的解的关系 图1 非可行解 1 设线性规划 取基 分别指出 对应的基变量和非基变量 是不是可行基 求出基本解 并说明 1 若线性规划无最优解则其可行域无界 2 凡基本解一定是可行解 2 判断题 你认为下列命题是否正确 对正确的打 错误的打 3 线性规划的最优解一定是基本最优解 4 线性规划的最优解是可行解 5 可行解是基本解 3 线性规划可行域的顶点一定是 A 基本可行解B 非基本解C 非可行解D 最优解4 X是线性规划的基本可行解 则有 A X中的基变量非零 非基变量为零B X不一定满足约束条
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