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第3章交流电路的稳态分析 3 4 正弦量的三要素 3 1 3 2 3 3 3 5 相量法 电路定理的相量形式 理想元件的串并联电路 正弦交流稳态电路的一般分析 正弦交流稳态电路的功率 3 6 3 7 功率因数的提高 谐振电路 3 7 3 3 3 8 1 相量法 重点 2 正弦交流稳态电路的一般分析 3 正弦交流稳态电路的功率问题 1 相量法 2 无功功率的相关问题 4 正弦交流稳态电路的谐振问题 正弦交流电路 激励为同频正弦量的线性电路称为正弦交流电路 正弦交流稳态电路 达到稳定状态的正弦交流电路 研究正弦交流电路的意义 1正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位 便于升压与降压 正弦量的求导 积分运算及同频正弦量的加减得到仍是同频的正弦量 使得电路各处的电压电流波形相同 正弦量变化平滑 正弦信号是一种基本信号 任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量 对正弦交流电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义 结论 3 1正弦量 1 正弦量 1 正弦量 瞬时值表达式 随时间按正弦 余弦 规律进行周期变化的量 波形 2 角频率 2 正弦量的三要素 反映正弦量变化幅度的大小 反映正弦量的计时起点 1 幅值 振幅 最大值 反映正弦量变化快慢 单位 弧度 秒 3 初相位 3 周期性电流 电压的有效值 物理意义 与周期量热效应相等的直流定义为周期量的有效值 均方根值 周期电压有效值 正弦电流 电压的有效值 同理得 注意 工程上说的正弦电压 电流一般指有效值 如设备铭牌额定值 电网的电压等级等 但绝缘水平 耐压值指的是最大值 因此 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 测量中 交流测量仪表指示的电压 电流读数一般为有效值 区分电压 电流的瞬时值 最大值 有效值的符号 4 同频率正弦量的相位差 等于初相位之差 j 0 u超前ij角 或i滞后u 角 u比i先到达最大值 j 0 i超前uj角 或u滞后ij角 i比u先到达最大值 相位差 例 计算下列两正弦量的相位差 解 不能比较相位差 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率 同函数 同符号 且在主值范围内进行比较 结论 特殊相位关系 电压滞后电流 电压超前电流 电压电流同相位 电压电流反相 3 2相量法 1 复数的相关知识 1 1 复数的表示形式 代数形式 在电路中用j来代替i Re F Im F 复数在复平面的向量表示 向量形式 模 值 辐角 三角函数形式 向量形式 极坐标形式 极坐标形式 1 2复数运算 1 2 1加减运算 采用代数形式 则F1 F2 a1 a2 j b1 b2 若F1 a1 jb1 F2 a2 jb2 图解法 1 2 2乘除运算 采用极坐标形式 指数形式 模相乘辐角相加 模相除辐角相减 例1 解 例2 解 1 3旋转因子 旋转因子 特殊旋转因子 2 相量法 2什么是相量法 3为什么引入相量法 4如何引入相量法 5引入相量法的优点 1什么是相量 6相量法的适用范围 8 3相量法 电路方程是微积分方程 同频的正弦量相加减后仍得到同频的正弦量 正弦量经过微分 积分后仍得到同频的正弦量 正弦量乘以或除以一实常数后仍得到同频的正弦量 问题的提出 电流i一定是与电压源电压u同频的正弦量 设 根据欧拉公式 可将u与i表示为 根据叠加定理与数学理论 若激励分量为 将二者代入原方程中得 则响应分量一定为 整理得 求得 定义正弦量的有效值相量为 相量的模对应正弦量的有效值 相量的幅角对应正弦量的初相位 正弦量与正弦量的相量之间是一一对应 相量法的应用 同频率正弦量的加减 同频正弦量的加减运算转变为对应的相量的加减运算 正弦量的微分 积分运算 解由KVL得 则 可得 V 把时域中三角函数问题变为复数问题 把微积分方程的运算变为代数方程运算 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路 相量法的优点 3 3电路定理的相量形式 1基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 因此 在正弦电流电路中 KCL和KVL可用相应的相量形式表示 在任意时刻 任一结点所关联的所有支路的电流相量的代数和为零 沿任一回路中绕行一周 该回路中所有支路电压相量的代数和为零 解由相量形式KCL得 A 2 电阻元件相量形式的VCR 时域模型 相量模型 相量图 时域形式的VCR 相量形式的VCR 3 电感元件相量形式的VCR 时域模型 相量模型 相量图 时域形式的VCR 相量形式的VCR 感抗和感纳 XL L 2 fL 称为感抗 单位为 欧姆 BL 1 L 1 2 fL 称为感纳 单位为S 感抗的性质 表示限制电流的能力 感抗和频率成正比 解相量模型图如右图所示 V 4 电容元件相量形式的VCR 时域模型 相量模型 相量图 时域形式的VCR 相量形式的VCR 容抗和容纳 XC 1 wC 称为容抗 单位为 欧姆 BC wC 称为容纳 单位为S 容抗的性质 容抗和频率成反比 0 XC 直流开路 隔直 w XC 0高频短路 常利用电感 电容的频率特性 以达到滤波的目的 3 4RLC串联 并联的正弦交流电路 相量形式的KVL 式中Z称为 串联电路的等效阻抗 单位欧姆 1RLC串联电路 阻抗 正弦稳态情况下 阻抗模 阻抗角 等效电阻 等效电抗 Z是一个复数 不是正弦量 上面不能加点 电路性质 称电路为感性电路 即电压超前电流 即 即 即 称电路为容性电路 即电压滞后电流 称电路为电阻性电路 即电压电流同相位 RLC串联电路中各元件两端的电压为 V 2RLC并联电路 相量形式的KCL 导纳 正弦稳态情况下 阻抗模 阻抗角 等效电阻 等效电抗 阻抗与导纳互为倒数 RLC并联电路中各元件分的的电流为 解 等效导纳 等效阻抗 端电压相量 各支路电流为 例已知图示正弦电流电路中 电流表的读数分别为A1 5A A2 20A A3 25A 求 1 图中电流表A4的读数 2 如果维持A1的读数不变 而把电源的频率提高一倍 在求电流表A4的读数 解 令 得 相量图如图所示 得电流表A4的读数为 当电源频率增大一倍 则电感感抗增大一倍 电容容抗减小一半 由于电源电压保持不变 则电感电流有效值减小之原来的一半 电容电流有效值增大至原来的2倍 则电流表的读数变为 3 5阻抗的串联 并联电路 可以把元件的串并联推广到一般的阻抗串并联电路中去 依据相量形式的KCL KVL VCR进行相应的分析计算 等效阻抗为 解 各瞬时值表达式为 解 3 6正弦交流电路的功率 1瞬时功率 随时间变化而变化 单位 瓦 W 2平均功率 有功功率 单位 瓦 W 功率因数角 端电压与端电流的相位差 cos 功率因数 平均功率是电路在一个周期内实际消耗的功率 所以又称为有功功率 对于电阻元件 对于电容元件 对于电感元件 3无功功率 不可逆分量 可逆分量 部分能量在电源和一端口之间来回交换 单位 var 乏 为什么存在无功问题 4视在功率 电气设备的容量 输出的最大有功功率 有功功率 无功功率 视在功率之间的关系 3 7功率因数的提高 1功率因数低带来的主要问题 1 负载有功功率一定时 其功率因数越低 所需变压器容量越大 2 负载消耗相同有功功率时 其功率因数越低 线路损耗越大 感性负载 空载时 满载时 2功率因数低的原因 2 提高功率因数的措施 3 功率因数的提高 必须保证原负载的工作状态不变 在感性负载两端并电容 1 提高功率因数的原则 4 并联电容值的计算 相量图 由相量图可得 即 相量图 已知一感性负载其P 10kW cos 1 0 6 现将其接在U 220V的工频电源上 要使功率因数提高到0 9 求并联电容C的值及并联电容前后电路的端电流各为多大 例 解 并联电容前 并联电容后 若要使功率因数从0 9再提高到1 试问还应并联多少电容 此时并联电容前后电路的端电流各为多大 解 一般将cos 提高到0 9即可 并联电容前 并联电容后 3 8谐振电路 在含有L和C的交流电路中 如果端电压和端电流同相 则称电路处于谐振状态 一方面充分利用谐振的特点 如在无线电工程 电子测量技术等许多电路中应用 另一方面又要预防它所产生的危害 谐振的概念 电路呈电阻性 研究谐振的目的 1串联谐振 谐振频率 谐振时 端电压 电流同相位 即阻抗虚部等于0 即 谐振角频率 谐振频率 固有频率 电路发生谐振的方法 1 电源频率f一定 调参数L C使fo f 2 电路参数LC一定 调电源频率f 使f fo 谐振时的特点 1 电路的阻抗模最小 在电源电压一定时 端电流在谐振时最大 2 功率因数为1 3 电压关系 若 出现过电压 则 由于串联谐振会引起过电压 所以又称为电压谐振 电力系统中 过电压可能会破坏电气设备的绝缘 应该避免出现串联谐振 但是在通信技术等领域经常利用串联谐振获取较高的电压 品质因数 串联谐振的频率特性 频率特性 电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象 称为电路和系统的频率特性 又称频率响应 电流的频率响应曲线 串联谐振的频率特性 谐振电路具有选择性 在谐振点响应出现峰值 当 偏离 0时 输出下降 即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应 对谐振信号最突出 响应最大 而对远离谐振频率的信号具有抑制能力 这种对不同输入信号的选择能力称为 选择性 通频带宽 上限截止频率 中心频率 半功率点 声学研究表明 如信号功率不低于原有最大值一半 人的听觉辨别不出 选择性与Q有关 Q越大 谐振曲线越陡 电路对非谐振频率的信号具有强的抑制能力 所以选择性好 因此Q