4.2立方根

教学设计应追求前后一致、一以贯之以“立方根”的教学为例在进行教学设计时，考虑到立方根的学习不仅具有实际意义（解决与体积相关的问题），同时它也是奇次方根的一个特例，可以通过平方根进一步探究偶次方根的性质一样，通过立方根进一步探究奇次方根的性质，为后续学习无理数以及实数奠定知识基础。基于此，笔者旨在通过本节课的学习，丰富学生对开方的认识，进一步体会乘方与开方之间的互逆运算，感受辩证统一的哲学思想。学生在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中所经历的数学思考，有利于发展学生的数学建模、数学抽象、数感、数学应用意识等核心素养。1 教学现状一般教师在设计“立方根”这节课时，可能存在以下问题：问题1 教学时仅是简单的对比平方根，不能激发学生的深刻思考。他们比较立方根与平方根在定义、符号表示、特征等方面的不同，更多体现在“知识与技能”方面，而不能深刻挖掘两者在引入、探究、应用过程中的方法与经验，从而不能从思维的深处激发学生的思考，学生获得的仅仅是结论的不同；问题2 学生虽然经历了大量练习，但是仍犯同样的错误（比如，1的立方根与1的平方根在符号表示及结果方面容易混淆）。虽然练习可以进一步帮助学生理解与巩固新知，但是对新知理解的最佳时机是“学生第一次经历知识发生发展的过程”，如果学生自己建构了新概念，就会减少甚至不需要强记相关的定义，这也是部分名师留给学生作业少，而教学效果还很好的原因。问题3 学生不能积极融入课堂。课改以来，我们一直提倡在课堂上，学生为主体，教师为主导，但是往往不能落实在具体每节课上，如“立方根”这节概念课，有的教师“告知”较多，认为那就是书本上“规定的”，似乎没有什么可让学生探究的，因此，这样的课堂往往学生没有机会参与进来，而老师还埋怨“课堂气氛死气沉沉”，熟不知原因就在教师本人。问题4 忽略在教学的整个环节中发展学生的数学思维。有的老师重视在概念的形成过程中发展学生的数学思维，这固然是好的，但是他们忽略了接下来的环节，把例题、练习简单的处理为做题，缺少解题前的分析，缺少解题后的回顾与反思，缺少对例题习题的变式，缺少开放性的问题，等等。为力避以上问题的出现，笔者采用“引导学生回顾平方根的学习过程，唤醒已习得的知识、经验与方法，借此经验与方法自主探究新问题（立方根）”的总体思路，让学生进一步领悟探究数学的“前后一致、一以贯之”，充分提升学生的核心素养。2教学设计片断2.1 问题情境问题1：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少?追问1：你打算怎样解决这个实际问题？简要说出过程；追问2：（学生直接说出结果：3）你是怎么想出来的？（因为33=27，根据正方体的体积公式，所以棱长为3）追问3：有没有其他解法？【教学说明】以教材设置的问题切入，问题表述简洁明了，直逼本节课探究的本质性问题（已知指数及幂，求底数）。通过追问“你打算怎样解决这个实际问题”，引导学生发散性思考问题，强调说出过程，试图克服部分学生仅关注结果而忽视过程表述的现象，引导学生养成良好的思考问题的习惯；通过追问“你是怎么想出来的”，获得基于已有知识的真实思考，为后面理解三次方与开立方之间的关系做铺垫；通过追问“有没有其他解法”，引导学生建立方程模型分析问题，用含未知数x的等式来理解今天研究的对象，简洁明了，易于学生接受。教学过程中有效避免了因教师主观认为问题简单，而让学生口答而过的现象。2.2探究活动(1)回顾与反思问题2：请你回顾学习4.1 平方根的过程，思考以下问题： 平方根的学习是基于一个什么现实问题而提出的？它引出一个数学问题又是什么？【教学说明】通过以上问题引导学生回顾上节内容的学习起点，突出“基于一个现实问题”，渗透“数学问题来源于现实，又运用数学解决现实问题”的意识，同时也体现研究本节课数学问题的必要性及其价值，无论从数学学习的一般路径，还是对发展学生的数学核心素养等方面而言，都是积极有效的做法。毋庸置疑，新知的学习往往建立在旧知基础上的 ，因此，立足本节课的教学内容，思考之前学习中哪些知识、方法、经验可以帮助学生学习新知，这应该是教师备课时必须考虑的。平方根的学习包含哪些内容？建议你画图表示，这样更为清晰明了 平方根的学习 新问题的探究如果x2a，那么x是什么数？ 问题定义符号表示平方根的特征求一个数的平方根 （）2a（a0）；|a|性质应用【教学说明】引导学生自己画图表示上节的学习内容，通过示意图不仅仅是知识的罗列，更是建立一种知识点之间的内在结构，这样既可以表达学习的路径，也渗透数学概念学习的一般特征。此教学设计可有效避免本文教学现状中列举的“问题1”，让学生不仅仅从“知识与技能”方面，而且从“过程与方法”等方面抓住平方根与立方根之间的联系。刚刚提出的问题，实际上就是研究当x 3a时，x是什么数？你打算如何展开研究？请结合上图画出研究的路线图【教学说明】在建立平方根的学习路线图后，学生将基于初步形成的经验的基础上，自己尝试规划新问题的研究方案，其意义重大，将由教师领着学生学，转变为学生自己去摸索、去尝试，改变以往学生在课上不断的“执行命令”，而不知整个过程的逻辑性，长此以往，无法形成研究数学问题的基本思路、基本方法。以上设计试图从“设计”的角度追求“学生自主探索、体现学生主体地位”，否则就是被动的听、被动的练，“课堂气氛死气沉沉”。（2）探究与展示 活动一 探究立方根的定义及符号表示问题3：什么叫做a的立方根？用式子如何描述a的立方根？什么叫开立方？它与立方有何关系？请举例说明。追问1：定义“a的立方根”，其合理性呢？追问2：a的立方根为什么不像平方根（当a为正数时）根号前面加上号呢（即表示为）？【教学说明】学生在路线图的指引下，以具体问题为小目标，开展自主研究。通过追问1，暴露思维活动过程，即类比平方根来定义立方根，有利于迁移上节课的学习经验，经验只有不断的迁移，学生的学习力才能不断地提升；通过追问2，进一步引发学生的深入思考，通过对比辅以具体的例子来说明，看似一个符号上的区别，其本质是对平方根及立方根两个概念的理解；回答开立方与立方之间的关系，我认为可以根据各校学生情况而灵活处理，基础弱的学生，能结合例子说明也是不错的；基础好的学生，可以结合开平方与平方之间的关系类比说明，当然，也可以结合符号表示直接说明。总之，通过两个追问，力求让学生自己建构新概念，克服“教师说教、学生记忆”的现象。活动二 探究立方根的特征 问题4：你能求下列各数的立方根吗？8，27，0.125,0.08，0，1，125，8，:追问1：你发现了什么？追问2：你能说出数的平方根与数的立方根有什么不同吗？练习（辨析题）：课本第51页，习题6.2第1题【教学说明】在立方根的概念形成后，进行及时练习，一方面巩固概念的理解，知道怎么求一个数的立方根，另一方面为了归纳立方根的特征。正所谓在探究（立方根的特征）的过程中夯实双基，也是在巩固知识的同时发展数学思维的较好做法，避免有的教师在例习题环节忽视发展学生数学思维的现象。两个追问之后，进行概念辨析，这也是概念教学的基本环节，以进一步完善对概念的认识。活动三 探究一个数的立方根与它的相反数的立方根之间的关系问题5：因为 所以 ；因为，所以 追问1：请你先读一读，然后说出它们表示的意义，最后写一写。追问2：你发现了什么，能用一个式子来表示其中的规律吗？【教学说明】通过具体的例子，引导学生发现规律，进一步发展学生的抽象概括的能力。在具体分析时，要引导学生准确认识不同的表示形式，做到既会读，也会说出其表示的意义。事实上，有的学生不是真正认识符号的意义而说出结果的，而是随意的猜测，此刻教师也不及时追问，这样就会出现“课上学生应答自如，课后作业或考试不尽人意”的现象，因为学生并没有真正理解。活动四 回顾探索立方根的过程问题6：请你结合立方根的学习路线图，回顾整个探索过程及每一个探索环节，说出成功与不足之处；问题7：与探索平方根的概念相比，说出探索活动中的相同点与不同点。【教学说明】通过回顾与反思，体现在探索平方根与立方根两个数学学习活动中所表现的“前后一致、逻辑连贯、一以贯之”的特点。同时，在学生获得新知后，对数学活动进行回顾与反思，有利于学生内化为自己的数学活动经验，也有利于将先前的经验进行整合提升，将经验结构化、系统化，促进经验在新情境下的有效应用。然而，有的教师会出现本文教学现状中列举的“问题1、问题4”，对教学过程中的方法与经验关注不够，发展学生的数学思维没有落实在整个教学环节中，包括“回顾”这一重要环节。3反思1.积累数学活动经验，应体现“前后一致、逻辑连贯、一以贯之”的特点。我们知道知识是载体，通过知识的学习，发展素养、提升能力。这样的学习一定是有一个“暗线”，也就是相应的“基本套路”。本节课属于（规则下）概念教学，基本套路为“举例子（给情境）-建规则-下定义再运用”，同时，由于上节课学习了平方根，所以在经历基本套路过程中，类比平方根，体现“前后一致、逻辑连贯、一以贯之”的特点。章建跃老师认为：“教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考，数学教育应该取势、明道、优术兼顾。”开展“前后一致、逻辑连贯、一以贯之”的数学学习活动，可以强化不同知识之间的内在联系，树立认识数学知识的整体观，减轻学生学习数学的负担，帮助学生真正获得与积累数学活动经验。2.落实学生“自主探索”，应强化教师的主体责任。义务教育数学课程标准（2011年版）里指出“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程。”以我理解，这里的“学生应当”应该理解为“教师应当精心组织课堂教学，使学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程”。换句话说，教师是以上建议落实的“第一责任人”。有些老师总埋怨课堂气氛冷清，埋怨学生不能积极参与，其实，反思一下，我们有没有设置具有思考空间的问题，我们有没有给出学生较为充足的时间去思考，我们设计的问题的呈现形式如何，能否激发学生探究的积极性，等等，所以落实学生“自主探索”，应强化教师的主体责任。3.发展学生的数学思维，应贯穿在整个教学过程中。 发展学生的数学思维，是数学教学的核心，不同的教学设计，其效果不一样，其关键是“问题”的设计。本节课，从实际问题引入，学生需要将实际问题转化为数学问题（建立数学模型）；在探索环节，从例子到概念，经历从具体例子明晰立方根的意义、建规则、求多个数的立方根、抽象并符合表示，这些过程伴随着问题的不断追