高考数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用课件 理 苏教版.ppt

12 5二项分布及其应用 第十二章概率 随机变量及其概率分布 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 条件概率 p a b 2 条件概率具有的性质 如果b和c是两个互斥事件 则p b c a 0 p a b 1 p b a p c a 2 事件的独立性 1 对于事件a b 若a的发生与b的发生互不影响 则称 2 若a与b相互独立 则p b a p ab p b a p a 3 若a与b相互独立 则 也都相互独立 4 若p ab p a p b 则 p b 事件a b独立 p a p b a与b相互独立 a与 与b 与 3 二项分布 1 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试验中发生的概率都是一样的 两 2 在n次独立重复试验中 用x表示事件a发生的次数 设每次试验中事件a发生的概率为p 则p x k 此时称随机变量x服从 记为 并称p为成功概率 cpk 1 p n k k 0 1 2 n 二项分布 x b n p 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 条件概率一定不等于它的非条件概率 2 相互独立事件就是互斥事件 3 对于任意两个事件 公式p ab p a p b 都成立 4 二项分布是一个概率分布 其公式相当于 a b n二项展开式的通项公式 其中a p b 1 p 5 教材习题改编 袋中有5个小球 3白2黑 现从袋中每次取一个球 不放回地抽取两次 则在第一次取到白球的条件下 第二次取到白球的概率是0 5 6 小王通过英语听力测试的概率是 他连续测试3次 那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是p c 1 1 3 1 0 864 0 8 方法一设a 第一次取到不合格品 解析 b 第二次取到不合格品 则p ab 方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品 其中有4件不合格品 故第二次取到不合格品的概率为 解析 题型一条件概率 思维点拨 思维升华 解析 例1 1 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件a为 取到的2个数之和为偶数 事件b为 取到的2个数均为偶数 则p b a 弄清a b同时发生的事件 并求出其概率 题型一条件概率 例1 1 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件a为 取到的2个数之和为偶数 事件b为 取到的2个数均为偶数 则p b a 思维点拨 思维升华 解析 例1 1 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件a为 取到的2个数之和为偶数 事件b为 取到的2个数均为偶数 则p b a 题型一条件概率 思维点拨 思维升华 解析 题型一条件概率 例1 1 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件a为 取到的2个数之和为偶数 事件b为 取到的2个数均为偶数 则p b a 思维点拨 思维升华 解析 思维点拨 思维升华 解析 例1 2 如图所示 efgh是以o为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一粒豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在正方形efgh内 b表示事件 豆子落在扇形ohe 阴影部分 内 则p b a 弄清a b同时发生的事件 并求出其概率 例1 2 如图所示 efgh是以o为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一粒豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在正方形efgh内 b表示事件 豆子落在扇形ohe 阴影部分 内 则p b a 思维点拨 思维升华 解析 例1 2 如图所示 efgh是以o为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一粒豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在正方形efgh内 b表示事件 豆子落在扇形ohe 阴影部分 内 则p b a 思维点拨 思维升华 解析 例1 2 如图所示 efgh是以o为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一粒豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在正方形efgh内 b表示事件 豆子落在扇形ohe 阴影部分 内 则p b a 思维点拨 思维升华 解析 跟踪训练1某市准备从7名报名者 其中男4人 女3人 中选3人参加三个副局长职务竞选 1 设所选3人中女副局长人数为x 求x的概率分布 解x所有可能的取值为0 1 2 3 且 所以随机变量x的概率分布是 2 若选派三个副局长依次到a b c三个局上任 求a局是男副局长的情况下 b局为女副局长的概率 解设事件a为 a局是男副局长 事件b为 b局为女副局长 则p a 例2 2014 陕西 在一块耕地上种植一种作物 每季种植成本为1000元 此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性 且互不影响 其具体情况如下表 题型二相互独立事件的概率 1 设x表示在这块地上种植1季此作物的利润 求x的概率分布 思维点拨分别求出对应的概率 即可求x的概率分布 解设a表示事件 作物产量为300kg b表示事件 作物市场价格为6元 kg 由题设知p a 0 5 p b 0 4 利润 产量 市场价格 成本 x所有可能的取值为500 10 1000 4000 500 6 1000 2000 300 10 1000 2000 300 6 1000 800 则p x 4000 p p 1 0 5 1 0 4 0 3 p x 2000 p p b p a p 1 0 5 0 4 0 5 1 0 4 0 5 p x 800 p a p b 0 5 0 4 0 2 所以x的概率分布为 2 若在这块地上连续3季种植此作物 求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率 思维点拨分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率 利用概率相加即可得到结论 解设ci表示事件 第i季利润不少于2000元 i 1 2 3 由题意知c1 c2 c3相互独立 由 1 知 p ci p x 4000 p x 2000 0 3 0 5 0 8 i 1 2 3 3季的利润均不少于2000元的概率为p c1c2c3 p c1 p c2 p c3 0 83 0 512 3季中有2季的利润不少于2000元的概率为p 1c2c3 p c1c3 p c1c2 3 0 82 0 2 0 384 所以 这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0 512 0 384 0 896 思维升华解答此类问题 1 首先判断几个事件的发生是否相互独立 2 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁或难以入手时 可从其对立事件入手计算 跟踪训练2 2014 湖南改编 某企业有甲 乙两个研发小组 他们研发新产品成功的概率分别为和 现安排甲组研发新产品a 乙组研发新产品b 设甲 乙两组的研发相互独立 1 求至少有一种新产品研发成功的概率 解记e 甲组研发新产品成功 f 乙组研发新产品成功 由题设知p e p p f 2 若新产品a研发成功 预计企业可获利润120万元 若新产品b研发成功 预计企业可获利润100万元 求该企业可获利润的概率分布 解设企业可获利润为x万元 则x的可能取值为0 100 120 220 因为p x 0 p 故所求的概率分布为 例3 2014 四川 一款击鼓小游戏的规则如下 每盘游戏都需击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每盘游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除200分 即获得 200分 设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓出现音乐相互独立 1 设每盘游戏获得的分数为x 求x的概率分布 题型三独立重复试验与二项分布 思维点拨击鼓游戏为独立重复试验 击鼓出现音乐 发生的概率服从二项分布 解x可能的取值为10 20 100 200 所以x的概率分布为 2 玩三盘游戏 至少有一盘出现音乐的概率是多少 思维点拨击鼓游戏为独立重复试验 击鼓出现音乐 发生的概率服从二项分布 解设 第i盘游戏没有出现音乐 为事件ai i 1 2 3 则p a1 p a2 p a3 p x 200 因此 玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 3 玩过这款游戏的许多人都发现 若干盘游戏后 与最初的分数相比 分数没有增加反而减少了 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 思维点拨击鼓游戏为独立重复试验 击鼓出现音乐 发生的概率服从二项分布 解x的均值为 这表明 获得分数x的均值为负 因此 多次游戏之后分数减少的可能性更大 思维升华利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程 但需要注意检查该概率模型是否满足公式p x k cpk 1 p n k的三个条件 在一次试验中某事件a发生的概率是一个常数p n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验 而且各次试验的结果是相互独立的 该公式表示n次试验中事件a恰好发生了k次的概率 跟踪训练3 2013 山东 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜3局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的概率是外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立 1 分别求甲队以3 0 3 1 3 2胜利的概率 解设 甲队以3 0 3 1 3 2胜利 分别为事件a b c 2 若比赛结果为3 0或3 1 则胜利方得3分 对方得0分 若比赛结果为3 2 则胜利方得2分 对方得1分 求乙队得分x的概率分布及均值 解x的可能的取值为0 1 2 3 x的概率分布为 典例 14分 某射手每次射击击中目标的概率是 且各次射击的结果互不影响 1 假设这名射手射击5次 求恰有2次击中目标的概率 易错警示系列19独立事件概率求解中的易误点 解设x为射手在5次射击中击中目标的次数 2 假设这名射手射击5次 求有3次连续击中目标 另外2次未击中目标的概率 易错分析 规范解答 易错分析 规范解答 解设 第i次射击击中目标 为事件ai i 1 2 3 4 5 射手在5次射击中 有3次连续击中目标 另外2次未击中目标 为事件a 则 易错分析 规范解答 3 假设这名射手射击3次 每次射击 击中目标得1分 未击中目标得0分 在3次射击中 若有2次连续击中 而另外1次未击中 则额外加1分 若3次全击中 则额外加3分 记 为射手射击3次后的总分数 求 的概率分布 规范解答 温馨提醒 规范解答 温馨提醒 解设 第i次射击击中目标 为事件ai i 1 2 3 由题意可知 的所有可能取值为0 1 2 3 6 规范解答 温馨提醒 所以 的概率分布是 规范解答 温馨提醒 1 正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键 独立重复试验是在同一条件下 事件重复发生或不发生 2 独立重复试验中的概率公式p x k cpk 1 p n k表示的是n次独立重复试验中事件a发生k次的概率 p与1 p的位置不能互换 否则该式子表示的意义就发生了改变 变为事件a有k次不发生的概率了 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 2 相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响 计算式为p ab p a p b 互斥事件是指在同一试验中 两个事件不会同时发生 计算公式为p a b p a p b 方法与技巧 失误与防范 1 运用公式p ab p a p b 时一定要注意公式成立的条件 只有当事件a b相互独立时 公式才成立 2 独立重复试验中 每一次试验只有两种结果 即某事件要么发生 要么不发生 并且任何一次试验中某事件发生的概率相等 注意恰好与至多 少 的关系 灵活运用对立事件 1 已知a b是两个相互独立事件 p a p b 分别表示它们发生的概率 则1 p a p b 表示的是下列哪个事件的概率 事件a b同时发生 事件a b至少有一个发生 事件a b至多有一个发生 事件a b都不发生 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析p a p b 是指a b同时发生的概率 1 p a p b 是a b不同时发生的概率 即至多有一个发生的概率 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为 则他在3天乘车中 此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次 记 硬币正面向上 为事件a 骰子向上的点数是奇数 为事件b 则事件a b中至少有一件发生的概率是 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 答案 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 解析 函数f x x2 4x x存在零点 16 4x 0 x 4 x服从x b 5 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 解析设事件a 甲实习生加工的零件为一等品 事件b 乙实习生加工的零件为一等品 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 答案 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 6 先后掷骰子 骰子的六个面上分别标有1 2 3 4 5 6 两次落在水平桌面后 记正面朝上的点数分别为x y 设事件a为 x y为偶数 事件b为 x y中有偶数 且x y 则概率p b a 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 7 设随机变量x b 2 p 随机变量y b 3 p 若p x 1 则p y 1 解析 x b 2 p p x 1 1 p x 0 1 c 1 p 2 解得 p 又y b 3 p p y 1 1 p y 0 1 c 1 p 3 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 8 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0 9 服用这种新药的有甲 乙 丙3位病人 且各人之间互不影响 有下列结论 3位病人都被治愈的概率为0 93 3人中的甲被治愈的概率为0 9 3人中恰有2人被治愈的概率是2 0 92 0 1 3人中恰好有2人未被治愈的概率是3 0 9 0 12 3人中恰好有2人被治愈 且甲被治愈的概率是0 92 0 1 其中正确结论的序号是 把正确的序号都填上 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 9 2013 陕西 在一场娱乐晚会上 有5位民间歌手 1至5号 登台演唱 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手 其中观众甲是1号歌手的歌迷 他必选1号 不选2号 另在3至5号中随机选2名 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱 因此在1至5号中随机选3名歌手 1 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 解设a表示事件 观众甲选中3号歌手 b表示事件 观众乙选中3号歌手 事件a与b相互独立 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 2 x表示3号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 求x的概率分布及均值 解设c表示事件 观众丙选中3号歌手 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 x的概率分布为 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 10 现有4个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏 掷出点数大于2的人去参加乙游戏 1 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解依题意知 这4个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 去参加乙游戏的概率为 设 这4个人中恰有i人去参加甲游戏 为事件ai i 0 1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 解设 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 为事件b 则b a3 a4 由于a3与a4互斥 故 所以 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 3 用x y分别表示这4个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 x y 求随机变量 的概率分布与均值e 解 的所有可能取值为0 2 4 由于a1与a3互斥 a0与a4互斥 故p 0 p a2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 所以 的概率分布是 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 1 1 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0 6 使用寿命超过2年的概率为0 3 则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为 解析设事件a为 该元件的使用寿命超过1年 b为 该元件的使用寿命超过2年 则p a 0 6 p b 0 3 因为b a 所以p ab p b 0 3 于是p b a 0 5 0 5 2 3 4 5 1 2 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球 每次有放回地摸取一个球 定义数列 an an 如果sn为数列 an 的前n项和 那么s7 3的概率为 答案 2 3 4 5 1 3 将一个半径适当的小球放入如图所示