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第三节椭圆及其性质 知识点一椭圆的定义及方程 1 椭圆的定义椭圆定义中的常数2a f1f2 即对椭圆上任意一点m都有 mf1 mf2 2a f1f2 这个条件是必要的 否则其轨迹就不是椭圆 事实上 若2a f1f2 其轨迹是 若2a f1f2 其轨迹 线段f1f2 不存在 2 椭圆的标准方程 1 椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义 通过建立恰当的坐标系求出的 参数b 它是为化简方程的需要而引入的 它具有明确的几何意义 b表示短半轴的长 2 求椭圆的标准方程应从 定形 定式 和 定量 三个方面去思考 定形 是指对称中心在原点 以坐标轴为对称轴的情况下 焦点在哪条坐标轴上 定式 根据 形 设椭圆方程的标准形式 定量 是根据待定系数法确定a b的大小 知识点二椭圆的几何性质 x a y b x b y a x轴 y轴 原点 x轴 y轴 原点 a 0 0 b 0 a b 0 0 1 a2 b2 方法1椭圆的几何性质 答案c 方法2直线与椭圆的位置关系 1 直线方程与椭圆方程联立 消元后得到一元二次方程 然后通过判别式 来判断直线和椭圆相交 相切或相离 2 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标 通常是写成两根之和与两根之积的形式 这是进一步解题的基础 例2 2013 北京 19 已知a b c是椭圆w y2 1上的三个点 o是坐标原点 1 当点b是w的右顶点 且四边形oabc为菱形时 求此菱形的面积 2 当点b不是w的顶点时 判断四边形oabc是否可能为菱形 并说明理由 点评 如何把四边形oabc为菱形这一条件代数化是解答本题的关键 可联立直线与椭圆方程 在 0的条件下用根与系数的关系求出弦ac中点m的坐标 也可用点差法求出m的坐标 判断om与ac是否垂直即可 方法3求椭圆的标准方程的策略求椭圆的标准方程有两种方法 1 定义法 根据椭圆的定义 确定a2 b2的值 结合焦点位置可写出椭圆方程 2 待定系数法 若焦点位置明确 则可设出椭圆的标准
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