高考数学一轮复习 2.11导数的应用课件 文 湘教版.ppt

2 11导数的应用 1 导数的几何意义函数y f x 在x x0处的导数f x0 的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k由此可知过点p的切线方程是 2 利用导数研究函数的单调性在区间 a b 内 可导函数y f x 的单调性与其导数值f x 的正负有如下关系如果 则函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 则函数y f x 在这个区间内单调递减 如果 则函数y f x 在这个区间内不增不减 为常数 y f x0 f x0 x x0 f x 0 f x 0 f x 0 3 函数的极值 1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近的其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 3 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 2014 杭州质检 若存在过点o 0 0 的直线l与曲线f x x3 3x2 2x和y x2 a都相切 则a的值是 a 1b c 1或d 1或 解析 1 当o 0 0 是切点时 点o 0 0 在曲线f x x3 3x2 2x上 直线l与曲线y f x 相切于点o 则k f 0 2 直线l的方程为y 2x 又直线l与曲线y x2 a相切 x2 a 2x 0满足 4 4a 0 a 1 2 当o 0 0 不是切点时 设切点为p x0 y0 则y0 x30 3x20 2x0 且k f x0 3x20 6x0 2 又k x20 3x0 2 由 联立 得x0 x0 0舍 所以k 所求切线l的方程为y x 由y x y x2 a 得x2 x a 0 依题意 4a 0 a 综上 a 1或a 答案 c 4 若函数f x x2 bx c的图象的顶点在第四象限 则函数f x 的大致图象是 填序号 解析 f x x2 bx c c 由f x 的图象的顶点在第四象限得 0 b 0 又f x 2x b 斜率为正 纵截距为负 答案 求函数的切线方程 已知函数f x x3 4x2 5x 4 1 求曲线f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 求经过点a 2 2 的曲线f x 的切线方程 解析 1 f x 3x2 8x 5 f 2 1 又f 2 2 曲线f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 2 x 2 即x y 4 0 2 设切点坐标为 x0 x30 4x20 5x0 4 f x0 3x20 8x0 5 切线方程为y 2 3x20 8x0 5 x 2 又切线过点 x0 x30 4x20 5x0 4x0 x30 4x20 5x0 2 3x20 8x0 5 x0 2 整理得 x0 2 2 x0 1 0 解得x0 2或x0 1 经过a 2 2 的曲线f x 的切线方程为x y 4 0 或y 2 0 研究函数的单调性 已知函数f x ax 1 ex 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 0时 求函数f x 在区间 2 0 上的最小值 变式训练 2 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 设a 1 如果对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 求实数a的取值范围 求函数的极值 已知函数f x x2 ax 2a2 3a ex x r 其中a r 1 当a 0时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 2 当a 时 求函数y f x 的单调区间与极值 若aa 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 a 2 2a 上是增函数 在 a 2 2a 上是减函数 函数f x 在x a 2处取得极大值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 函数f x 在x 2a处取得极小值f 2a 且f 2a 3ae 2a 变式训练 3 设a 0 函数f x x2 a 1 x a 1 lnx 1 求曲线y f x 在 2 f 2 处与直线y x 1垂直的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析 1 由已知 得x 0 f x x a 1 y f x 在 2 f 2 处切线的斜率为1 所以f 2 1 即2 a 1 1 所以a 0 此时f 2 2 2 0 故所求的切线方程为y x 2 2 f x 当00 函数f x 单调递增 若x a 1 f x 0 函数f x 单调递增 此时x a是f x 的极大值点 x 1是f x 的极小值点 函数f x 的极大值是f a a2 alna 极小值是f 1 当a 1时 f x 0 所以函数f x 在定义域 0 内单调递增 此时f x 没有极值点 故无极值 当a 1时 若x 0 1 f x 0 函数f x 单调递增 若x 1 a f x 0 函数f x 单调递增 此时x 1是f x 的极大值点 x a是f x 的极小值点 函数f x 的极大值是f 1 极小值是f a a2 alna 综上 当01时 f x 的极大值是 极小值是 a2 alna 1 曲线的切线 1 准确理解曲线的切线 需注意的两个方面 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征 直线与曲线只有一个公共点 则直线不一定是曲线的切线 同样 直线是曲线的切线 则直线可能与曲线有两个或两个以上的交点 曲线未必在其切线的 同侧 如曲线y x3在其过 0 0 点的切线y 0的两侧 2 曲线的切线的求法若已知曲线过点p x0 y0 求曲线的切线则需分点p x0 y0 是切点和不是切点两种情况求解 点p x0 y0 是切点的切线方程y y0 f x0 x x0 当点p x0 y0 不是切点时可分以下几步完成 第一步 设出切点坐标p x1 f x1 第二步 写出过p x1 f x1 的切线方程为y f x1 f x1 x x1 第三步 将点p的坐标 x0 y0 代入切线方程求出x1 第四步 将x1的值代入方程y f x1 f x1 x x1 可得过点p x0 y0 的切线方程 2 利用导数研究函数单调性时的注意点在利用导数确定函数单调性时要注意结论 若y f x 在 a b 内可导 且f x 0 则f x 在区间 a b 上是增函数 的使用方法 此结论并非充要条件 如f x x3 在 上是递增的 但f 0 0 因此已知函数的单调区间求函数关系式中参数范围时 要对f x 0处的点进行检验 3 可导函数极值存在的条件 1 可导函数的极值点x0一定满足f x0 0 但当f x1 0时 x1不一定是极值点 如f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 近几年的高考试题向我们展示了导数作为研究函数性质的一个工具的重要性 在选择题或填空题中一般以考查导数的几何意义 考查函数图形性质为主 最常见的问题就是求过某点的曲线的切线的斜率 倾斜角 切线的方程和利用导数分析函数图象等问题 涉及曲线切线的问题 通常给出点在曲线上 但也要有能应对 点不在曲线上 时的思想准备 涉及函数图象时 要求能同时利用函数与导函数的图象分析函数的性质 此类小题灵活多变 难度中偏下 可以同时兼顾考查直线的平行 垂直关系 兼顾考查含参讨论 数形结合的思想方法 处理时稍有不慎就会出问题 解答题中主要考查单调性与极值点的确定 要求能程序性地完成解题过程 做到一丝不苟地写出解题步骤 2013 安徽卷 设函数f x ax 1 a2 x2 其中a 0 区间i x f x 0 1 求i的长度 注 区间 的长度定义为 2 给定常数k 0 1 当1 k a 1 k时 求i长度的最小值 规范解答 1 因为方程ax 1 a2 x2 0 a 0 有两个实根x1 0 x2 故f x 0的解集为 x x10 令d a 0 得a 1 由于00 d a 单调递增 当1 a 1 k时 d a 0 d a 单调递减 所以当1 k a 1 k时 d a 的最小值必定在a 1 k或a 1 k处取得 而 故d 1 k d 1 k 因此当a 1 k时 d a 在区间 1 k 1 k 上取得最小值 阅后报告 1 本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景 将导数求最值和含参数的不等式解法交汇 命题情境创新 2 解法创新 从不等式出发 构造函数利用导数判断函数的单调性 根据单调性确定最值d 1 k 与d 1 k 并借助不等式性质比较二者的关系 体现了转化与化归的思想 1 2014 湖南卷 若0lnx2 lnx1b ex2 ex1x1ex2d x2ex1 x1ex2 解析 依题可构造函数f x 则f x 当x 0 1 时 f x 0 所以f x 在区间 0 1 上递减 故0 x1 x2 1时有f x1 f x2 即x2ex1 x1ex2 答案 c 3 2014 安徽卷 若直线l与曲线c满足下列两个条件 i 直线l在点p x0 y0 处与曲线c相切 ii 曲线c在点p附近位于直线l的两侧 则称直线l在点p处 切过 曲线c 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 直线l y 0在点p 0 0 处 切过 曲线c y x3 直线l x 1在点p 1 0 处 切过 曲线c y x 1 2 直线l y x在点p 0 0 处 切过 曲线c y sinx 直线l y x在点p 0 0 处 切过 曲线c y tanx 直线l y x 1在点p 1 0 处 切过 曲线c y lnx 解析 对于 因为y 3x2 y x 0 0 所以l y 0是曲线c y x3在点p 0 0 处的切线 画图可知曲线c在点p附近位于直线l的两侧 正确 对于 因为y 2 x 1 y x 1 0 所以l x 1不是曲线c y x 1 2在点p 1 0 处的切线 错误 对于 y cosx y x 0 1 所以曲线c在点p 0 0 处的切线为l y x 画图可知曲线c在点p附近位于直线l的两侧 正确 对于 y y x 0 1 所以曲线c在点p 0 0 处的切线为l y x 画图可知曲线c在点p附近位于直线l的两侧 正确 对于 y y x 1 1 所以曲线c在点p 1 0 处切线为l y x 1 又由h x x 1 lnx x 0 可得h x 1 所以hmin x h 1 0 故x 1 lnx 所以曲线c在点p附近位于直线l的下侧 错误 答案 4 2014 陕西卷 设函数f x lnx m r 1 当m e e为自然对数的底数 时 求f x 的极小值 2 讨论函数g x f x 零点的个数 3 若对任意b a 0 1恒成立 求m的取值范围 解析 1 由题设 当m e时 f x lnx 则f x 当x 0 e 时 f x 0 f x 在 e 上单调递增 x e时 f x 取得极小值f e lne 2 f x 的极小值为2 2 由题设g x f x x 0 令g x 0 得m x3 x x 0 设 x x3 x x 0 则 x x2 1 x 1 x