2017届高三数学二轮复习1.6.2圆锥曲线的概念与性质与弦有关的计算问题课时巩固过关练理.docx

课时巩固过关练 十六 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016石家庄一模)过点A(0,1)作直线,与双曲线x2-y29=1有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为()A.0B.2C.4D.无数【解析】选C.过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点,这样的直线有两条,过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条,故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点.2.(2016海口二模)设点P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,I为的内心,若+=2,则该椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.3-12【解析】选A.因为+=,所以3=,设内切圆的半径为r,则有2cr=(|PF1|+|PF2|+2c)r,整理得|PF1|+|PF2|=4c,即2a=4c,所以e=.3.(2016唐山二模)椭圆y2+=1(0m1)上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.当点P是短轴的顶点时F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则F1PF290，所以F2PO45(O是原点)，从而，即1-m2，又0m1，所以00)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由抛物线定义得：MF=xM+=5，xM=5-=15p-，以MF为直径的圆的方程为(x-xM)(x-xF)+(y-yM)(y-yF)=0+ (2-yM)(2-0)=0yM=2+-=2+yM=415p-=16，p=或p=，C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016合肥二模)双曲线M:x2-y2b2=1的左,右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为_.【解析】根据双曲线的定义知-=2,又=c+2,所以=c,由勾股定理得(c+2)2+c2=4c2,即c2-2c-2=0,解得c=+1,根据OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.答案:6.(2016邯郸二模)已知F1,F2为x2a2+y2b2=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,则MF1F2内切圆的周长等于3,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=_.【解析】由题意得内切圆的半径等于,因此MF1F2的面积为(2a+2c) =,即=|yM|2c,因为满足条件的点M恰好有2个,所以M为椭圆短轴端点,即|yM|=4所以3a=5c而a2-c2=16,所以a2=25.答案:25三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016武汉一模)在ABC中,A(-1,0),B(1,0),若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G,H不重合).(1)求动点C的轨迹I的方程.(2)已知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线AC的方程.【解析】(1)由题意可设C(x,y),则G,H,=,=(x+1,y),因为H为垂心,所以=x2-1+=0,整理可得x2+=1,即动点C的轨迹I的方程为x2+=1(xy0).(2)显然直线AC的斜率存在,设AC方程为y=k(x+1),C(x0,y0).将y=k(x+1)代入x2+=1得(3+k2)x2+2k2x+k2-3=0,解得x0=,y0=,则H.原点O到直线AC的距离d=,依题意可得=,即7k4+2k2-9=0,解得k2=1,即k=1或-1,故所求直线AC的方程为y=x+1或y=-x-1.8.(2016江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程.(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.【解析】(1)因为l:x-y-2=0,所以l与x轴的交点坐标为(2,0),即抛物线的焦点为(2,0),所以=2,所以y2=8x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则则kPQ=,又因为P,Q关于直线l对称,所以kPQ=-1,即y1+y2=-2p,所以=-p,又因为P,Q的中点一定在直线l上,所以=+2=2-p,所以线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为中点坐标为(2-p,-p),即所以即方程y2+2py+4p2-4p=0有两个不等实根.所以0,(2p)2-4(4p2-4p)0p.【加固训练】(2016无锡二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0),若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M,使得F1MF2=90.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点,点P,Q分别为椭圆C和圆T上的一动点,若=0时,|PQ|取得最大值为52,求实数t的值.【解析】(1)因为椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-,0), A2(,0),所以a2=2.又因为直线3x+4y+5=0上恰存在一个点M,使得F1MF2=90,即以原点O为圆心,半径为r=|OF1|=c作圆O,使得圆O与直线3x+4y+5=0相切即可.又圆心O到直线3x+4y+5=0的距离d=1,所以c=1,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,所以有+y02=1,因为圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点.所以圆T的方程为x2+(y-t)2=t2+1(t0),由=0得|PQ|2=|PT|2-|QT|2=x02+(y0-t)2-(t2+1),又+y02=1,所以|PQ|2=-(y0+t)2+t2+1.当-t-1即t1时,当y0=-1时,|PQ|取得最大值,因为|PQ|的最大值为,所以=,解得t=,又t1,故舍去.当-t-1即0t1时,当y0=-t时,|PQ|取得最大值,所以=,解得t2=,又0t1,所以t=.综上,当t=时,|PQ|取得最大值.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是()A.射线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【解析】选C.设定圆C的半径为r,由题意知动点P在圆C外,且-r=,所以-=r0)上一点,O为坐标原点,若以点M(0,8)为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且ABO为等边三角形,则p的值是()A.38B.2C.6D.23【解析】选D.由题意知=,所以点A的纵坐标为4,又ABO为等边三角形,所以点A的横坐标为,又点A是抛物线C上一点,所以163=2p4,解得p=.【加固训练】过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=_.【解析】设A(xA,yA),B(xB,yB),因为y2=4x,所以抛物线的准线为x=-1,F(1,0).又A到抛物线准线的距离为4,所以xA+1=4,所以xA=3.因为xAxB=1,所以xB=,所以|AB|=xA+xB+p=3+2=163.答案:1633.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24a+y2a2+1=1,随着a的增大,该椭圆的形状()A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆【解题导引】先求a的取值范围,然后写出离心率e的表达式,根据离心率的变化情况选择.【解析】选D.由题意知4aa2+1且a0,解得2-a0,b0)的右焦点,A为双曲线虚轴的一个顶点,过点F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=(2-1),则此双曲线的离心率是_.【解题导引】设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=x,求出AF的方程与y=x,联立可得B,利用=(-1),可得a,c的关系,即可求出双曲线的离心率.【解析】设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=x,则直线AF的方程为+=1,与y=x联立可得B,因为=(-1),所以=(-1)(c,-b),所以c=(+1),所以e=.答案:【加固训练】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=bb1,所以e=,又e(0,1),所以e0,32.6.过抛物线y2=4x焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为_.【解析】设直线AB的倾斜角为(00)与圆C2:x2+y2=5的两个交点之间的距离为4.(1)求p的值.(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点,与圆C2交于C,D两点,当k0,1时,求|AB|CD|的取值范围.【解析】(1)由题意知交点坐标为(-2,1),(2,1)代入抛物线C1:x2=2py解得p=2.(2)抛物线C1的焦点F(0,1),设直线方程为y=kx+1与抛物线C1:x2=4y联立化简得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4,所以|AB|=4(1+k2).圆心C2到直线y=kx+1的距离为d=,|CD|=2=2=2.|AB|CD|=4(1+k2)2=8=8,又k0,1,所以|AB|CD|的取值范围为16,24.8.如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=52|BF|.(1)求椭圆C的离心率.(2)若点M在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点,M为线段PQ的中点,且OPOQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.【解析】(1)由已知|AB|=|BF|,即=a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以e=.(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:+=1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由+=1,+=1,可得+=0,即+=0,即+(y1-y2)=0,从而kPQ=2,所以直线l的方程为y-=2,即2x-y+2=0.由x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0.=322+1617(b2-4)0b,x1+x2=-3217,x1x2=.因为OPOQ,=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0,从而-+4=0,解得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.【加固训练】设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1ab0,点O为坐标原点,点A的坐标为a,0,点B的坐标为0,b,点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e.(2)设点C的坐标为0,-b,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.【解析】(1)由题意可知点M的坐标是,又kOM=,所以=,进而得a=b,c=2b,故e=.(2)直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则NS的中点T的坐标为,又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有b=3,所以a=3,故椭圆的方程为+=1.1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,其离心率为e=12,点P为椭圆上的一个动点,PF1F2内切圆面积的最大值为4蟺3.(1)求a,b的值.(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,且满足,=0,求|+|的取值范围.【解析】(1)当P为椭圆上下顶点时,PF1F2内切圆面积取得最大值,设PF1F2内切圆半径为r,因为=r2,所以r=.=|F1F2|b=bc=(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=(2c+2a),化为bc=(a+c),又=,a2=b2+c2,联立解得a=4,c=2,b=2.(2)因为满足,=0,所以直线AC,BD垂直相交于点F1,由(1)椭圆方程+=1,F1(-2,0).直线AC,BD有一条斜率不存在时,|+|=6+8=14.当AC斜率存在且不为0时,设方程为y=k(x+2),A(x1,y1),C(x2,y2),联立,化为(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.x1+x2=-,x1x2=.所以|AC|=.把-代入上式可得:|=,所以|+|=,设t=k2+1(k0),t1,所以|+|=,t1,所以0b0),则=(其中c2=a2-b2,c0),且+=1,故a=2,b=1.所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l:y=kx