10.1两个计数原理

第十章排列 组合和二项式定理 10 1两个计数原理 要点梳理1 分类计数原理完成一件事有n类不同的方案 在第一类方案中有m1种不同的方法 在第二类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 则完成这件事情 共有N 种不同的方法 m1 m2 mn 基础知识自主学习 2 分步计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤 完成第一步有m1种不同的方法 完成第二步有m2种不同的方法 完成第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事情共有N 种不同的方法 m1 m2 mn 3 分类计数原理与分步计数原理 都涉及的不同方法的种数 它们的区别在于分类计数原理与有关 各种方法 用其中的任一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与有关 各个步骤 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 完成一件事情 分类 相互 独立 分步 相互依 存 基础自测1 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会 则不同的选法种数为 A 6B 5C 3D 2解析 完成这件事 即选出一人作主持人 可分选女主持人和男主持人两类进行 分别有3种选法和2种选法 所以共有3 2 5种不同的选法 B 2 设集合A 1 2 3 4 m n A 则方程 1表示焦点位于x轴上的椭圆有 A 6个B 8个C 12个D 16个解析因为椭圆的焦点在x轴上 所以当m 4时 n 1 2 3 当m 3时 n 1 2 当m 2时 n 1 即所求的椭圆共有3 2 1 6个 故选A A 3 右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图 公司在年初分配给A B C D四个维修点某种配件各50件 在使用前发现需将A B C D四个维修点的这批配件分别调整为40 45 54 61件 但调整只能在相邻维修点之间进行 那么要完成上述调整 最少的调动件次 n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n 为 A 15B 16C 17D 18解析只需A处给D处10件 B处给C处5件 C处给D处1件 共16件次 B 4 有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤 如果一条长裤与一件上衣配成一套 则不同的配法种数 A 7B 64C 12D 81解析由分步乘法计数原理 一条长裤与一件上衣配成一套 分两步 第一步选上衣有4种选法 第二步选长裤有3种选法 所以 有4 3 12种选法 故选C C 5 有一项活动需在3名老师 8名男同学和5名女同学中选人参加 1 若只需一人参加 有多少种不同的选法 2 若需一名老师 一名学生参加 有多少种不同的选法 3 若只需老师 男同学 女同学各一人参加 有多少种不同的选法 解 1 完成这件事 只需从老师 学生中选1人即可 共有3 8 5 16种 2 完成这件事 需选2人 老师 学生各1人 分两步进行 选老师有3种方法 选学生有8 5 13种方法 共有3 13 39种方法 3 完成这件事 需选3人 老师 男同学 女同学各一人 可分三步进行 选老师有3种方法 选男同学有8种方法 选女同学有5种方法 共有3 8 5 120种方法 题型一分类计数原理 例1 在所有的两位数中 个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 采用列举分类 先确定个位数字 再考虑十位数字的所有可能 然后用分类计数原理 解方法一一个两位数由十位数字和个位数字构成 考虑一个满足条件的两位数 可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能 一个两位数的个位数字可以是0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 把这样的两位数分成10类 思维启迪 题型分类深度剖析 1 当个位数字为0时 十位数字可以是1 2 3 4 5 6 7 8 9 有9个满足条件的两位数 2 当个位数字为1时 十位数字可以是2 3 4 5 6 7 8 9 有8个满足条件的两位数 3 当个位数字为2时 十位数字可以是3 4 5 6 7 8 9 有7个满足条件的两位数 以此类推 当个位数字分别是3 4 5 6 7 8 9时 满足条件的两位数分别有6 5 4 3 2 1 0个 由分类加法计数原理 满足条件的两位数的个数为9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 45个 方法二考虑两位数 ab 与 ba 中 个位数字与十位数字的大小关系 利用对应思想计算 所有90个两位数中 个位数字等于十位数字的两位数为11 22 33 99共9个 另有10 20 30 90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置 其余90 18 72个两位数 按 ab 与 ba 进行一一对应 则每一个 个位数字小于十位数字的两位数 就与另一个 十位数字小于个位数字的两位数 对应 故其中 个位数字小于十位数字的两位数 有72 2 36个 故满足条件的两位数的个数为9 36 45个 探究提高合理分类是提高解题质量的保证 方法一从两位数的个位数字着手 确立分类标准 使计数过程一目了然 方法二巧妙地应用了 一一对应 的思想 简化了计数过程 这种思想方法在排列 组合计数问题中也经常使用 知能迁移1同学衣服上左 右各有一个口袋 左边口袋装有30张英语单词卡片 右边口袋装有20张英语单词卡片 这些英语单词卡片都互不相同 问从两个口袋里任取一张英语单词卡片 有种不同的取法 解析从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类 第一类 从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不的取法 第二类 从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法 上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片这件事 应用分类加法计数原理来解题 所以从中任取一张英语单词卡片的方法种数为30 20 50种 答案50 题型二分步计数原理 例2 已知集合M 3 2 1 0 1 2 P a b 表示平面上的点 a b M 问 1 P可表示平面上多少个不同的点 2 P可表示平面上多少个第二象限的点 3 P可表示多少个不在直线y x上的点 完成 确定点P 这件事需依次确定横 纵坐标 应用分步计数原理 思维启迪 解 1 确定平面上的点P a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步计数原理 得到平面上的点数是6 6 36 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a0 所以有2种确定方法 由分步计数原理 得到第二象限点的个数是3 2 6 3 点P a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合M中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 由 1 得不在直线y x上的点共有36 6 30个 利用分步计数原理解决问题 要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各个步骤都完成了才算完成这件事 知能迁移2一个口袋里有5封信 另一个口袋里有4封信 各封信内容均不相同 1 从两个口袋里各取一封信 有多少种不同的取法 2 把这两个口袋里的9封信 分别投入4个邮筒 有多少种不同的放法 探究提高 解 1 各取一封信 不论从哪个口袋中取 都不能算完成了这件事 因此应分两个步骤完成 由分步乘法计数原理 共有5 4 20 种 2 若以邮筒装信的可能性考虑 第一个邮筒有10种可能性 即可能装入0 1 2 9封信等不同情况 但再考虑第二个邮筒时 装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响 非常麻烦 若以每封信投入邮筒的可能性考虑 第一封信投入邮筒有4种可能 第二封信仍有4种可能 第九封信还有4种可能 由分步乘法计数原理可知 共有49种不同的放法 题型三两个计数原理的综合应用 例3 12分 用0 1 2 3 4 5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数 思维启迪先根据条件把 比2000大的四位偶数 分类 选取千位上的数字 选取百位上的数字 选取十位上的数字解题示范解完成这件事有3类方法 第一类是用0做结尾的比2000大的4位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 只有2 3 4 5可以选择 有4种选法 第二步 选取百位上的数字 除0和千位上已选定的数字以外 还有4个数字可供选择 有4种选法 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步乘法计数原理 这类数的个数有4 4 3 48个 4分 第二类是用2做结尾的比2000大的4位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 除去2 1 0 只有3个数字可以选择 有3种选法 第二步 选取百位上的数字 在去掉已经确定的首尾两数字之后 还有4个数字可供选择 有4种选法 第三步 选取十位上的数字 还有3种选法 依据分步计数原理 这类数的个数有3 4 3 36个 8分 第三类是用4做结尾的比2000大的4位偶数 其步骤同第二类 10分 对以上三类结论用分类计数原理 可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有4 4 3 3 4 3 3 4 3 120个 12分 在解决实际问题的过程中 并不一定是单一的分类或分步 而是可能同时应用两个计数原理 即分类时 每类的方法可能要运用分步完成 而分步时 每步的方法数可能会采取分类的思想求 另外 具体问题是先分类后分步 还是先分步后分类 应视问题的特点而定 解题时经常是两个原理交叉在一起使用 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 探究提高 知能迁移3如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 解方法一可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用分步乘法原理即可得出结论 由题设 四棱锥S ABCD的顶点S A B所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60种染色方法 当S A B染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若C染2 则D可染3或4或5 有3种染法 若C染4 则D可染3或5 有2种染法 若C染5 则D可染3或4 有2种染法 可见 当S A B已染好时 C D还有7种染法 故不同的染色方法有60 7 420种 方法二以S A B C D顺序分步染色 第一步 S点染色 有5种方法 第二步 A点染色 与S在同一条棱上 有4种方法 第三步 B点染色 与S A分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 C点染色 也有3种方法 但考虑到D点与S A C相邻 需要针对A与C是否同色进行分类 当A与C同色时 D点有3种染色方法 当A与C不同色时 因为C与S B也不同色 所以C点有2种染色方法 D点也有2种染色方法 由分步乘法 分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420种 方法三按所用颜色种数分类 第一类 5种颜色全用 共有种不同的方法 第二类 只用4种颜色 则必有某两个顶点同色 A与C 或B与D 共有2 种不同的方法 第三类 只用3种颜色 则A与C B与D必定同色 共有种不同的方法 由分类加法计数原理 得不同的染色方法总数为 420种 方法与技巧1 分类和分步计数原理 都是关于做一件事的不同方法的种数的问题 区别在于 分类计数原理针对 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步计数原理针对 分步 问题 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了才算完成这件事 2 混合问题一般是先分类再分步 3 分类时标准要明确 做到不重复不遗漏 4 要恰当画出示意图或树状图 使问题的分析更直观 清楚 便于探索规律 思想方法感悟提高 失误与防范应用两种原理解题 1 分清要完成的事情是什么 2 分清完成该事情是分类完成还是分步完成 类 间互相独立 步 间互相联系 3 有无特殊条件的限制 4 检验是否有重漏 一 选择题1 从集合 1 2 3 10 中任意选出三个不同的数 使这三个数成等比数列 这样的等比数列的个数为 A 3B 4C 6D 8解析当公比为2时 等比数列可为1 2 4 2 4 8 当公比为3时 等比数列可为1 3 9 当公比为时 等比数列可为4 6 9 同时 4 2 1 8 4 2 9 3 1和9 6 4也是等比数列 共8个 D 定时检测 2 如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成 我们称这样的图案为L型 每次旋转90 仍为L型图案 那么在由4 5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是 A 16B 32C 48D 64解析每四个小方格 2 2型 中有 L 型图案4个 共有2 2型小方格12个 所以共有 L 型图案4 12 48个 C 3 2008 全国 将1 2 3填入3 3的方格中 要求每行 每列都没有重复数字 右面是一种填法 则不同的填写方法共有 A 6种B 12种C 24种D 48种解析由于3 3方格中 每行 每列均没有重复数字 因此可从中间斜对角线填起 如图中的 当 全为1时 有2种 即第一行第二列为2或3 当第二列填2时 第三列只能填3 当第一行填完后 其他行的数字便可确定 当 全为2或3时 分别有2种 共有6种 当 分别为1 2 3时 也共有6种 共12种 B 4 如图所示 用五种不同的颜色分别给A B C D四个区域涂色 相邻区域必须涂不同颜色 若允许同一种颜色多次使用 则不同的涂色方法共有 A 180种B 120种C 96种D 60种解析按区域分四步 第一步A区域有5种颜色可选 第二步B区域有4种颜色可选 第三步C区域有3种颜色可选 第四步由于D区域可以重复使用区域A中已有过的颜色 故也有3种颜色可选用 由分步计数原理 共有5 4 3 3 180 种 涂色方法 A 5 一植物园参观路径如图所示 若要全部参观并且路线不重复 则不同的参观路线种数共有 A 6种B 8种C 36种D 48种解析如图所示 在A点可先参观区域1 也可先参观区域2或3 共有3种不同选法 每种选法中又有2 2 2 2 16种不同路线 共有3 16 48种不同的参观路线 D 6 有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学 在数学检测时要求每位教师不能在本班监考 则监考的方法有 A 8种B 9种C 10种D 11种解析方法一设四位监考教师分别为A B C D 所教班分别为a b c d 假设A监考b 则余下三人监考剩下的三个班 共有3种不同方法 同理A监考c d时 也分别有3种不同方法 由分类加法计数原理共有3 3 3 9种 方法二班级按a b c d的顺序依次排列 为避免重复或遗漏现象 教师的监考顺序可用 树形图 表示如下 共有9种不同的监考方法 答案B 二 填空题7 2008 浙江 用1 2 3 4 5 6组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同 且1和2相邻 这样的六位数的个数是 用数字作答 解析可分三步来做这件事 第一步 先将3 5排列 共有种排法 第二步 再将4 6插空排列 共有2种排法 第三步 将1 2放到3 5 4 6形成的空中 共有种排法 由分步计数原理得共有 2 40个 40 8 渐升数 是指每个数字比它左边的数字大的正整数 如1458 若把四位 渐升数 按从小到大的顺序排列 则第30个数为 解析渐升数由小到大排列 形如的渐升数共有 6 5 4 3 2 1 21 个 如123 个位可从4 5 6 7 8 9六个数字选一个 有6种等 形如 的渐升数共有5个 形如的渐升数共有4个 故此时共有21 5 4 30个 因此从小到大的渐升数的第30个必为1359 所以应填1359 答案1359 9 在2008年奥运选手选拔赛上 8名男运动员参加100米决赛 其中甲 乙 丙三人必须在1 2 3 4 5 6 7 8八条跑道的奇数号跑道上 则安排这8名运动员比赛的方式共有种 解析分两步安排这8名运动员 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四条跑道可安排 所以安排方式有4 3 2 24种 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一条奇数号跑道安排 所以安排方式有5 4 3 2 1 120种 安排这8人的方式有24 120 2880种 28