初中数学动态几何问题探讨.doc

一、课题内容： 初中动态几何问题研讨二、问题梳理1、动态几何问题是初中数学中教与学的一个重点和难点，也是中考命题中经常考查的内容。动态几何一般是指在一个几何图形的背景下，由点、线等简单图形通过在运动过程中构成新的几何图形，由此而产生的问题。 2、动态几何问题一般包括题型：点动、线动、图形动等类型，其核心是函数知识，不仅包括空间观念、应用意识、推理能力等内容，而且体现了运动观点、方程思想、数形结合思想、划归思想和分类思想等数学思想，同时还包含解方程、相似三角形、三角函数和整式运算等知识，故要求具有较强的分析、推理、计算综合解决问题的能力。3、动态几何问题最突出的特点就是图形是运动的、变化的，解决动态问题时：首先需要把动态问题静态化，化为几个静态的过程，“以静制动”，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变；其次，考虑问题要全面化，经常会遇到分两种或多种情况来解决的问题，对比较常见的分情况考虑的问题要熟悉，例：说到等腰三角形的角要考虑是顶角还是底角，说到等腰三角形的边要考虑是底边还是腰；其三，将几何图形简单化，学会利用几何图形来分散难点、降低难度，并从特殊位置点着手确定自变量取值范围；第四，动态试题作为选拔性试题难度较大，但入口容易。三、实现目标1、让学生具有能分析动态问题的思路，不再对几何动态问题感到陌生，增强学生解题的自信心2、让学生理解并掌握数形结合的解题思想与解题技巧3、培养学生具备全面分析问题的能力，掌握知识的连贯性和多面性四、教学重难点1、重点：用浅显易懂的语言教会学生分析动态几何问题 2、难点：培养学生将动态问题转化为静态问题的思维模式五、典型例题透析例1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，C=45，点P是BC边上一动点，设PB的长为x 。 （1）当x的值为_时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯 形；（2）当x的值为_时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由【分析】（1）注意P点的位置，如图，过点A作交于点过点作交于点，满足条件的点应有两个 （）注意点的位置，如图，过点作AP，交于点，过点作交于点P满足条件的点应有两个（3）由（2）可知，当时，以点P、A、D、为顶点的四边形是平行四边形，通过计算可知，此时，所以四边形是菱形 【解】（略）注：【方法与规律】、在探讨图形的形状时，一定要抓住图形的已有特征，添加不足的部分，如（1）中的四边形APED已经是梯形，要成为直角梯形，只需添加腰垂直于底边即可，（2）中四边形APED已有ADPE，要成为平行四边形，只需添加另一组对边平行或AD=PE即可；、对存在性的探讨，注意其特殊性，同时注意各小题之间是独立的关系，还是从属的关系，如（3）中四边形APED要成为菱形，它必须是平行四边形，故只需讨论（2）中的两种特殊情况即可；3、应注意点的运动方向和位置，以防漏解。例、（2010遵义）如图所示，已知抛物线y=ax+bx+c(a0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点（点A在B点的右侧），点是该抛物线上一动点，从点沿抛物线向点运动（点与点A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D。（1）求该抛物线的函数关系式； （2）当是直角三角形时，求点的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点在轴上，点在抛物线上，问是否存在以点A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用抛物线的顶点式:y=a（x+h）+ k (a0)很容易求出函数关系式为： y=x- 4x+3.（2）要解决第二个问题，首先，由于点P是从点C沿抛物线运动到点，从直观上判断，有哪些点能使为直角三角形？其次，注意直角顶点的可能性，可判断出分两种情况：当点为直角顶点时，点与点重合，如图所示令0，得x-4x+30，可解得：，点A在点的右边（，），点（，）点（，）当点为的直角顶点时，如图所示，D当DA 时，平分又PD轴，PD，P、D关于X轴对称设直线AC的函数关系式为:y=kx+b,将A（3，0），C（0，3）代入上式得：k=-1，b=3y=-x+3D在y=-x+3上，在y=x- 4x+3上D（x，-x+3），（x，x- 4x+3）（-x+3）+（x-4x+3）=O,即x-5x+6=0, 2，3(舍去)当=2时，y=x-4x+3=2-4*2+3=-1的坐标为（2，-1）（即为抛物线的顶点）点的坐标为（，），（，-）（3）由题（2）知，当点的坐标为（，）时，点、在一条直线上，故不能构成平行四边形； 当点P的坐标为（，-）（即顶点）时，平移直线交想轴于点，交抛物线于点 当时，四边形是平行四边形（，-）可设（x，）x-4x+3，解之得：2-，+点有两点，即（2-，）（+，）【方法与规律】：、注重直观性；（2）中根据题目已知条件，PDA不可能为直角；2、注意特殊（2）中ABD为直角；3、结合特殊性，研究一般性；（2）中由于CAO=，再使CAP=，则 BAP=，可以求出直线AP的解析式，再求出AP与抛物线的交点即可。六 、拓展训练注：请学生根据对上述两道题的研究思想分析和讨论以下三个问题：1、如图所示，直角梯形OABC中，OCAB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交X轴于E、D两点（D点在E点的右方）（1）求点E、D的坐标（2）求过B、C、D三点的抛物线的函数关系式（3）过、三点的抛物线上是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点Q的坐标 2、在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不超过60千米/时（即米/秒），并在离该公路100米处设置了一个监测点A。在如图所示的直角坐标系中，点A位于轴上，测速路段BC在轴上，点B在A的北偏西方向上，点C在A的北偏东方向上，另外一条高等级公路在上，AO为其中的一段。（1）求点B和点C的坐标（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C，所用的时间为15秒，通过计算判断该汽车在这段限速路上是否超速（参考数据：）（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？3、 已知，如图一次函数y=x+1的图像与轴交于点A ,与y轴交于点B ，二