113导数的几何意义

导数的几何意义 学习目标 1 理解导数的几何意义 2 利用导数的几何意义解决相关问题 平均变化率 函数y f x 的定义域为D x1 x2 D f x 从x1到x2平均变化率为 几何意义割线的斜率 3 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是函数y f x 在x 处的导数 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本步骤是 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 回顾 一差二比三极限 直线l1与曲线C有唯一公共点B 但我们不能说l1与曲线C相切 直线l2与曲线C有不止一个公共点A 我们能说l2是曲线C在点A处的切线 如图直线L1是曲线的切线吗 那么对于一般的曲线 曲线切线该如何寻找呢 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 斜率 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ如果有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 导数的几何意义 函数在x0处的导数的几何意义 曲线y f x 在 x0 f x0 点处的导数等于切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在x x0处的导数 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 归纳 求切线方程的步骤 已知切点 无限逼近的极限思想是建立导数概念 用导数定义求函数的导数的基本思想 丢掉极限思想就无法理解导数概念 练习 求抛物线y x2过点 1 1 的切线的斜率 解 过点 1 1 的切线斜率是 f 1 因此抛物线过点 1 1 的切线的斜率为2 例2 在曲线y x2上过哪一点的切线1 平行于直线y 4x 52 垂直于直线2x 6y 5 0 已知斜率求切点 练习2 曲线上哪一点的切线与直线平行 函数在一区间上的导数 如果函数f x 在开区间 a b 内每一点都可导 就说f x 在开区间 a b 内可导 这时 对于开区间 a b 内每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 这样就在开区间 a b 内构成了一个新的函数 我们把这一新函数叫做f x 在开区间 a b 内的导函数 简称为导数 记作 即 求函数的导数的方法是 说明 在这种方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数 1 求出函数在点x0处的得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 2 求切线方程的步骤 小结 即 1 函数在处的导数的几何意义 练习题 1 曲线y x2在x 0处的 A 切线斜率为1B 切线方程为y 2xC 没有切线D 切线方程为y 0 D 2 已知曲线y 2x2上的一点A 2 8 则点A处的切线斜率为 A 4B 16C 8D 2 C 3 函数y f x 在x x0处的导数f x0 的几何意义是 A 在点x x0处的函数值B 在点 x0 f x0 处的切线与x轴所夹锐角的正切值C 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率D 点 x0 f x0 与点 0 0 连线的斜率 C 4 已知曲线y x3上过点 2 8 的切线方程为12x ay 16 0 则实数a的值为 A 1B 1C 2D 2 B 5 若f x0 3 则 A 3B 6C 9D 12 D 6 设y f x 为可导函数 且满足条件 则曲线y f x 在点 1 1 处的切线的斜率为 A 2B 1C D 2 D 练习 7 求函数在x 1处的切线方程 练习8 求双曲线y 过点 2 的切线方程 解 因为 所以这条双曲线过点 2 的切线斜率为 由直线方程的点斜式 得切线方程为 练习9 求抛物线y x2过点 6 的切线方程 解 点 6 不在抛物线上 设此切线过抛物线上的点 x0 x