运动学第七章

第七章点的合成运动 运动学 点的合成运动 第七章点的合成运动 在前两章中研究点和刚体的运动时 认为地球 参考体 固定不动 将坐标系 参考系 固连于地面 因此 点和刚体的运动是相对固定参考系而言的 如果建立一地心坐标系来观察地球的运动 则地球绕自转轴自转 此时固连于地球上的坐标系随地球一起作定轴转动 如果建立一日心坐标系来观察地球的运动 则地球在自转的同时 还绕太阳沿椭圆轨道运动 运动学 点的合成运动 另一方面 在实际问题中 不仅要在固联在地面上的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动 下面先看几个例子 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题 运动学 点的合成运动 第七章点的合成运动 7 1点的合成运动的概念 7 2点的速度合成定理 7 3牵连运动为平动时点的加速度合成定理 7 4牵连运动为转动时点的加速度合成定理 运动学 点的合成运动 7 1点的合成运动的概念 1 坐标系定坐标系 建立在固定参考物上的坐标系 简称定系 一般将定系固结在地面上 动坐标系 建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系 简称动系 图示原点在轮心与车厢固连的坐标系o x y 即为动坐标系 例如 如图所示固结在地面上的坐标系 运动学 点的合成运动 2 动点 动点是指相对于定系和动系均有运动的点 本章就是研究动点相对于定系和动系的运动 如图中任选车轮上的一点P作为动点 3 三种运动 三种速度与三种加速度 1 绝对运动 动点相对于定系的运动 如P相对于地面的运动 2 相对运动 动点相对于动系的运动 如P相对于车厢的运动 运动学 点的合成运动 定参考系 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 工程实例 定参考系 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 工程实例 定参考系 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 工程实例 定参考系 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 工程实例 运动学 点的合成运动 绝对 加 速度 动点相对于定系的 加 速度 用表示 牵连点 在某瞬时 动坐标系上与动点相重合的点 为该瞬时动点的牵连点 不同的瞬时动点的位置不同 牵连点也不同 相对 加 速度 动点相对于动系的 加 速度 用表示 牵连 加 速度 牵连点相对于定系的 加 速度 用表示 举例说明以上各概念 运动学 点的合成运动 AB杆上的A点 动系 凸轮 定系 地面 绝对运动 直线 相对运动 曲线 圆弧 牵连运动 直线平移 动点 运动学 点的合成运动 A 在AB杆上 偏心轮C 地面 直线 圆周 C 定轴转动 动系 定系 绝对运动 相对运动 牵连运动 动点 运动学 点的合成运动 套筒A 滑杆O1B 地面 圆周 O 直线 沿O1B 定轴转动 绕O1 动系 定系 绝对运动 相对运动 牵连运动 动点 运动学 点的合成运动 套筒A 滑杆OC 地面 圆周 O1 直线 沿OC 定轴转动 绕O 动系 定系 绝对运动 相对运动 牵连运动 动点 注意的问题 三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的运动 相对 绝对运动指点的运动 可以是直线或曲线运动 牵连运动是指参考体的运动 是刚体的运动 可以是平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式 牵连点指某瞬时动系上与动点相重合的点 不同瞬时牵连点的位置不同 以上可归结为一点 两系 三运动 动点相对动系 定系必须有运动 不能和动系在同一物体上 运动学 点的合成运动 4 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对 相对和牵连运动之间的关系 1 绝对运动方程 2 相对运动方程 3 牵连运动方程 坐标变换关系 以二维问题为例 设定系 动系 动点M 如图所示 运动学 点的合成运动 根据题意 是求车刀刀尖P相对于工件的轨迹方程 设刀尖P为动点 动系固定在工件上 则动点在动系Ox1y1和定系Oxy中的坐标关系为 解 运动学 点的合成运动 从上式中消去时间t 得刀尖的相对轨迹方程 即 车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为的圆 该圆的圆心C在动坐标轴Oy1上 圆周通过工件的中心O 将点P的绝对运动方程代入上式中 得 车刀相对于工件的运动方程 7 2点的速度合成定理 速度合成定理建立了动点的绝对速度 相对速度和牵连速度之间的关系 运动学 点的合成运动 当t t tAB A B M M 动点M M M MM 为绝对轨迹为绝对位移M1M 为相对轨迹为相对位移 运动学 点的合成运动 将上式两边同时除以 t并取 t 0得 即 在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和 这就是点的速度合成定理 点的速度合成定理是瞬时矢量式 共包括大小 方向六个元素 已知任意四个元素 就能求出其它两个 注意的问题 由速度合成定理的矢量形式知 绝对速度是以相对速度和牵连速度为邻边组成的平行四边形的对角线 点的速度合成定理是瞬时矢量式 共包括大小 方向六个元素 已知任意四个元素 就能求出其它两个 该定理在推导的过程中 牵连运动未加限制 可以是平移 定轴转动以及其他形式的刚体运动 牵连速度为该瞬时动系上与动点相重合的点的速度 运动学 点的合成运动 例2桥式吊车 已知 小车水平运动 速度大小为v1 物块A相对小车垂直上升的速度大小为v2 求物块A的运动速度 运动学 点的合成运动 选取动点 A点 动系 小车 定系 地面 则绝对运动 曲线AA 相对运动 直线 牵连运动 直线平移 解 大小 方向 v1 v2 作出速度平行四边形如图示 则物块 的速度大小和方向为 运动学 点的合成运动 例3曲柄摇杆机构 已知 OA r OO1 l 图示瞬时OA OO1求 摆杆O1B的角速度 1 选取动点 OA上的A点 动系 O1B 定系 基座 解 大小 方向 O1B 沿O1B 作出速度平行四边形如图示 r OA 绝对运动 圆周 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴 运动学 点的合成运动 已知 OC e 匀角速度 图示瞬时 OC CA 且O A B三点共线 求 从动杆AB的速度 动点 AB上的A点 动系 圆盘 定系 基座 解 大小 方向 OA OA CA 作出速度平行四边形如图示 沿AB 例4圆盘凸轮机构 绝对运动 直线 相对运动 圆周 牵连运动 定轴 例5曲杆OBC以匀角速度 绕固定轴O转动 使圆环M沿固定直杆OA上滑动 设曲柄长OB 10cm OB垂直BC 0 5rad s 求 60 时 小环的绝对速度 解 1 选择动点 动系与定系 动系 固连于摇杆OBC 绝对运动 沿OA的直线运动 相对运动 沿OB的直线运动 牵连运动 绕O轴的定轴转动 动点 小环M 定系 固连于机座 例题5 绝对速度va 大小未知 方向沿OA向右 相对速度vr 大小未知 方向沿杆BC 牵连速度ve ve OM 方向垂直于OA 投影到x 轴 得 所求小环的绝对速度 水平向右 运动学 点的合成运动 求解合成运动的速度问题的一般步骤为 选取动点 动系和定系 分析三种运动 分析三种速度 根据速度合成定理作出速度合成平行四边形 根据速度平行四边形 求出未知量 1 动点 动系不能选在同一物体上 2 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断 恰当选择动点 动系和定系是求解合成运动问题的关键 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 思考题2 思考题2 运动学 点的合成运动 例5已知 凸轮半径r 图示时杆OA靠在凸轮上 求 杆OA的角速度 分析 相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化 因此两物体的接触点都不宜选为动点 否则相对运动的分析就会很困难 这种情况下 需选择满足上述两条原则的非接触点为动点 运动学 点的合成运动 选取动点 凸轮上的C点 动系 OA杆 定系 基座 由 大小 方向 OC OC OA 作出速度平行四边形如图示 v 解 绝对运动 直线 相对运动 C点到凸轮与OA接触点的距离不变 方位改变 C点相对OA圆周运动 牵连运动 定轴 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 思考题3 思考题3 运动学 点的合成运动 再分析例4 已知 OC e 匀角速度 图示瞬时 OC CA 且O A B三点共线 求 从动杆AB的速度 选取动点 圆盘中心C点 动系 AB杆 定系 基座 解 由 大小 方向 OC OC CA 作出速度平行四边形如图示 铅垂向上 例4圆盘凸轮机构 绝对运动 圆周 相对运动 圆周 C相对AB 牵连运动 平移 运动学 点的合成运动 8 3牵连运动为平移时点的加速度合成定理 由于牵连运动为平移 故 由速度合成定理 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系的曲线AB运动 曲线AB同时又随同动系相对定系Oxyz平移 运动学 点的合成运动 对t求导 因为动系为平动 故方向不变 是常矢量 有 运动学 点的合成运动 即 当牵连运动为平动时 动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 运动学 点的合成运动 例6已知 凸轮半径求 j 60o时 顶杆AB的加速度 选取动点 AB上的A点 动系 凸轮 定系 基座 解 由 大小 方向 v0 CA 作速度平行四边形 有 由于求加速度分析需 故先求 沿AB 运动学 点的合成运动 因牵连运动为平移 大小 方向 沿AB a0 CA 沿CA指向C 将上式投影到n方向 得 运动学 点的合成运动 整理得 注意 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影 与静平衡方程的投影关系不同 例7 图示机构 OA r 以匀角速度 0转动 套筒A可沿BC滑动 BC DE BD CE l 求图示位置BD的角速度及角加速度 解 1 动点A 动系BC 定系机座 2 运动分析 绝对运动为圆周运动 相对运动为直线运动 牵连运动为曲线平移 3 速度分析 大小 方向 r 0 OA l 未知 BD 未知 C B 由图知 ve vr va r 0 r 0 l转向如图 r 0 l转向如图 ve vr va r 0 4 加速度分析 大小 方向 02r A O 0 未知 设A B 2l B D l 未知 BD 向垂直方向投影 转向如图 求图示位置BD的角速度及角加速度 运动学 点的合成运动 7 4牵连运动为转动时点的加速度合成定理 上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理 那么当牵连运动为转动时 上述的加速度合成定理是否还适用呢 下面我们来分析一特例 设一圆盘以匀角速度 绕定轴 顺时针转动 盘上圆槽内有一点M以大小不变的相对速度vr沿槽作圆周运动 那么M点相对于定系的绝对加速度应是多少呢 运动学 点的合成运动 选取动点 点M R vr 常数 即绝对运动也为匀速圆周运动 所以 运动学 点的合成运动 而 指向圆心 指向圆心 多出一项2 vr 可见 当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和 那么他们之间的关系是什么呢 2 vr又是怎样出现的呢 它的物理意义又是什么呢 指向圆心 预备知识 动坐标系单位矢量对时间的变化率 已知动系o x y z 以角速度 e绕定系oxyz的z轴转动 如图示 同理 运动学 点的合成运动 如图所示 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 运动学 点的合成运动 其中为相对加速度 项反映由于牵连运动 转动 引起方向之变化 运动学 点的合成运动 其中为牵连加速度 反映相对运动引起的大小的改变 运动学 点的合成运动 即 当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度等于牵连加速度 相对加速度和科氏加速度三者的矢量和 科氏加速度 方向 按右手法则确定 科氏加速度 运动学 点的合成运动 点M1的科氏加速度 例8矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴z转动 点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动 在图示位置时相对于板的速度分别为和 计算点M1 M2的科氏加速度大小 并标出方向 点M2的科氏加速度 垂直板面向里 解 运动学 点的合成运动 例9已知 凸轮机构以匀角速度 绕O轴转动 图示瞬时OA r A点曲率半径 已知 求 该瞬时顶杆AB的速度和加速度 选取动点 AB上的A点 动系 凸轮 定系 地面 解 由 大小 方向 r n 作出速度平行四边形如图示 沿AB 运动学 点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 2r n 沿AB 同n 0 与n相反 作出加速度矢量图 并向n轴投影得 运动学 点的合成运动 例10曲柄摆杆机构 已知 O1A r 1 取O1A杆上A点为动点 动系固结在O2B上 试计算动点A的科氏加速度 解 方向 与相同 运动学 点的合成运动 点的合成运动小结 1 一点 二系 三运动 3 加速度合成定理牵连运动为平移时 牵连运动为转动时 2 速度合成定理 一 概念及公式 点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成 运动学 点的合成运动 1 选择动点 动系和定系 2 分析三种运动 绝对运动 相对运动和牵连运动 3 作速度分析 画出速度平行四边形 求出有关未知量 速度 角速度 4 作加速度分析 画出加速度矢量图 求出有关未知量 加速度 角加速度 二 解题步骤 运动学 点的合成运动 1 恰当地选择动点 动系和定系 动点和动系不能选在同一刚体上 若有始终接触的点 应选择始终接触的那一点为动点 如导杆滑块机构中的滑块 凸轮导杆机构中导杆上与凸轮接触的点 2 速度问题 一般采用几何法求解简便 即作出速度平行四边形 加速度问题 往往超过三个矢量 一般采用解析法 投影法 求解 三 解题技巧 注意投影轴的选取 运动学 点的合成运动 1 牵连速度和牵连加速度是牵连点 动系上的与动点相重合的点相对定系 的速度和加速度 2 作速度平行四边形时 要使绝对速度为平行四边形的对角线 3 牵连运动为转动时 作加速度分析不要丢掉科氏加速度 正确分析和计算 4 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影 与静平衡方程的投影式不同 四 注意问题 运动学 点的合成运动 已知 求 OA杆的 a 选取动点 BC上的D点 动系 OA杆 解 大小 方向 沿OA 作出速度平行四边形如图示 v OA 练习1摇杆滑道机构 运动学 点的合成运动 牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 OD 2 沿OA指向O 沿OA a OA OA 其中 加速度矢量如图示 向 轴投影 因不需要求相对a 得 运动学 点的合成运动 1 先取动点 O1A上的A点 动系 BCD 解 已知 图示瞬时 大小 方向 沿BC 作出速度平行四边形如图示 1r O1A 水平 练习2曲柄滑块机构 求 该瞬时O2E杆的w2 运动学 点的合成运动 2 再取动点 BCD上的F点 动系 O2E杆 大小 方向 沿O2E 作出速度平行四边形如图示 r 1sin O2E 运动学 点的合成运动 练习3凸轮机构已知 凸轮半径为R 图示瞬时O C在一条铅直线上 选取动点 凸轮上的C点 动系 OA杆 解 大小 方向 沿OA v OC 求 该瞬时OA杆的角速度和角加速度 作出速度矢量图如图示 运动学 点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 OC 2 沿OC指向O 沿OA a OC 0 其中 运动学 点的合成运动 加速度矢量如图示 向 轴投影 得 OC 2 沿OC指向O OA a OC 0 运动学 点的合成运动 已知 主动轮O转速为n 30r min OA 150mm 图示瞬时OA OO1 求 O1D杆的 1 1和滑块B的速度及加速度 1 先选取动点 轮O上的A点 动系 O1D杆 定系 基座 解 由 大小 方向 O1D OA OA O1D