九年级数学圆的基本性质

第三章 圆的基本性质 1 知识体系 圆 基本性质 概念 对称性 垂径定理 圆心角 弧 弦之间的关系定理 圆周角与圆心角的关系 弧长 扇形面积和圆锥的侧面积相关计算 2 在一个平面内 线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆 固定的端点O叫做圆心 线段OA叫做半径 以点O为圆心的圆 记作 O 读作 圆O 3 篮球是圆吗 圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆 能画多少个 以点O为圆心画圆 能画多少个 由此 你发现半径和圆心分别有什么作用 半径确定圆的大小 圆心确定圆的位置圆是 圆周 还是 圆面 圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系 4 圆是到定点 圆心 的距离等于定长 半径 的点的集合 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合 由此 你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢 如果圆的半径为r 点到圆心的距离为d 则 点在圆上 d r点在圆内 dr 5 过三点的圆 6 思考 确定一条直线的条件是什么 类比联想 是否也存在由几个点确定一个圆呢 讨论 经过一个点 能作出多少个圆 经过两个点 如何作圆 能作多少个 经过三个点 如何作圆 能作多少个 7 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形叫做圆的内接三角形 问题1 如何作三角形的外接圆 如何找三角形的外心 问题2 三角形的外心一定在三角形内吗 C 90 ABC是锐角三角形 ABC是钝角三角形 8 及其推论 9 从特殊到一般 想一想 将一个圆沿着任一条直径对折 两侧半圆会有什么关系 性质 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 观察右图 有什么等量关系 垂直于弦的直径 AO BO CO DO 弧AD 弧BC 弧AC 弧BD AO BO CO DO 弧AD 弧BC 弧AC 弧BD AO BO CO DO 弧AD 弧BD 弧AC 弧BC AE BE 10 垂径定理 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 11 判断下列图形 能否使用垂径定理 注意 定理中的两个条件 直径 垂直于弦 缺一不可 定理辨析 12 练习 若圆心到弦的距离用d表示 半径用r表示 弦长用a表示 这三者之间有怎样的关系 13 变式1 AC BD有什么关系 变式2 AC BD依然成立吗 变式3 EA EC OA OB OC OD 变式练习 14 如图 P为 O的弦BA延长线上一点 PA AB 2 PO 5 求 O的半径 辅助线 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 15 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧 推论1 16 如图 CD为 O的直径 AB CD EF CD 你能得到什么结论 推论2 弧AE 弧BF 圆的两条平行弦所夹的弧相等 17 圆是轴对称图形 每一条直径所在的直线都是对称轴 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 圆还具有旋转不变性 即圆绕圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 18 圆心角 顶点在圆心的角 如 AOB 弦心距 从圆心到弦的距离 如 OC 相关定义 19 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对弦的弦心距相等 推论在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 在同圆或等圆中 前提 圆心角相等 条件 定理推论 20 圆心角 如 BOA 圆内角 如 BCA 圆周角 如 BDA 圆外角 如 BFA 角的顶点在圆心 角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢 动起来 21 圆周角 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角 圆心角 顶点在圆心的角 看清要点 22 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 也可以理解为 一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 弧相等 圆周角是否相等 反过来呢 什么时候圆周角是直角 反过来呢 直角三角形斜边中线有什么性质 反过来呢 23 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 思考 1 同圆或等圆 的条件能否去掉 2 判断正误 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 两个圆周角中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量也相等 24 推论2半圆 或直径 所对的圆周角是90 90 的圆周角所对的弦是直径 推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 什么时候圆周角是直角