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常考问题17计数原理 随机变量及其分布列 真题感悟 考题分析 4 概率 随机变量及其分布 1 离散型随机变量及其概率分布的表示 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量 离散型随机变量概率分布的表示法 概率分布列和概率分布表 性质 1 pi 0 i 1 2 3 n 2 p1 p2 p3 pn 1 2 特殊的概率分布列 0 1分布 两点分布 符号表示 x 0 1分布 热点与突破 规律方法 此计数原理问题中要计算点的个数 因此要根据条件对正整数的取值进行分类 弄清可能的取值类别 再根据加法原理进行计算 训练1 2012 江苏卷 设集合pn 1 2 n n n 记f n 为同时满足下列条件的集合a的个数 a pn 若x a 则2x a 若x pna 则2x pna 1 求f 4 2 求f n 的解析式 用n表示 解 1 当n 4时 符合条件的集合a为 2 1 4 2 3 1 3 4 故f 4 4 2 任取偶数x pn 将x除以2 若商仍为偶数 再除以2 经过k次以后 商必为奇数 此时记商为m 于是x m 2k 其中m为奇数 k n 由条件知 若m a 则x a k为偶数 若m a 则x a k为奇数 热点二概率 相互独立事件和独立重复实验 例2 2012 南通模拟 某品牌设计了编号依次为1 2 3 n n 4 且n n 的n种不同款式的时装 由甲 乙两位模特分别独立地从中随机选择i j 0 i j n 且i j n 种款式用来拍摄广告 1 若i j 2 且甲在1到m m为给定的正整数 且2 m n 2 号中选择 乙在 m 1 到n号中选择 记pst 1 s m m 1 t n 为款式 编号 s和t同时被选中的概率 求所有的pst的和 2 求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率 规律方法 对于求较复杂事件的概率问题 可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 或者先求对立事件的概率 再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率 热点三离散型随机变量分布列及其数学期望 例3 2013 陕西卷 在一场娱乐晚会上 有5位民间歌手 1至5号 登台演唱 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手 其中观众甲是1号歌手的歌迷 他必选1号 不选2号 另在3至5号中随机选2名 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱 因此在1至5号中选3名歌手 1 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率 2 x表示3号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 求x的分布列及数学期望 规律方法 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是 先根据随机变量的意义
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