裂项放缩证明数列不等式.doc

策略一、裂项放缩证明数列不等式若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例1-1、（2006年全国I理-22压轴题）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解：（I），解得： 所以数列是公比为4的等比数列，所以：得： （其中n为正整数）（II）所以： 例1-2、（2006年湖北理-17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；分析：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1） 0时单调递增， 而 xn2 +xn = 3xa+12 + 2xa+1 4xa+12 + 2xa+1=(2xa+1）2 + 2xa+1所以 因此 又因为 令 ya = xa2 + xa. 则 因为y1 = x12 + x1 = 2, 所以 .因此 . 故 策略三、调整分式值放缩证明数列不等式一个分式若分母不变分子变大则分式值变大，若分子不变分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大（“加糖不等式”）-姐妹不等式:和例3-1、（2006年福建理-22压轴题）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数列bn满足4b114 b224 bn1=( a+1)bn (nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).分析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。（I）解：an+1=2 an+1（nN）,an+1+1=2(an+1),| an+1| 是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。an+1=2n，即an=2n1(nN)。（II）证法一：4b114 b224 bn1=(a+1)bn，4k1+k2+kn=2nk,2(b1+b2+bn)-n=nb, 2(b1+b2+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1 -,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb,即 (n-1)bn+1-nbn+2=0. nbn+2=(n+1)bn+1+2=0.-，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,即 bn+2-2bn+1+b=0,bn-2-bn+1=bn(nN*),bn是等差数列.证法二：同证法一，得(n-1)bn+1=nbn+2=0令n=1，得b1=2.设b2=2+d(dR),，下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d.(1)当n=1,得b1=2.(2)假设当n=k(k2)时，b1=2+(k-1)d,那么bk+1=这就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知bn=2(n-1)d对任何nN*都成立.bn+1-bn=d, bn是等差数列.(3)证明：(),k=1,2,n,例1、姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即例2、证明:解析: 运用两次分式放缩: (加1) (加2)相乘,可以得到:所以有变式：已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。策略四、单调性放缩证明不等式例4-1、（2006年湖南理-19）（14分）已知函数,数列满足:证明: （I）;（II）.证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3,(i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立.于是故例4-2（2004年辽宁理-21）已知函数的最大值不大于，又当时（）求的值；（）设，证明解析：（）=1 ；（）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例4-3、（2002年北京理-19）数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有；(II)证明：对总有解析：构造函数易知在是增函数。当时在递增故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。注：本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景数列单调递减有下界因而有极限：是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。变式1：设求证简证：令则，递减，有，故变式2：求证：简证：令则，即递增，有，得证！注：由此可得此命题的加强命题：并可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论。策略五：二项式放缩证明不等式 , 例5、 已知证明解析: ，即变式1：证明简证： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有变式2：设，求证解析: 观察的结构，注意到，展开得，即，得证.策略六：递推放缩证明数列不等式例6-1、（02年全国高考题）设数列满足，当时证明对所有 有；解析:用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论进行递推放缩来证明例6-2、(2005年重庆理-22压轴题)数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数 解析：（）证明：当n=2时，不等式成立. 假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据、可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立总结：结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：于是即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例6-3、（2005年湖北理-22压轴题）已知不等式表示不超过 的最大整数。设正项数列满足：（1）证明：简析：当时，即 于是当时有注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。策略七：分项讨论放缩证明数列不等式例7、（2004年全国3理-22压轴题）（14分）已知数列的前项和满足.（1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有 .分析：本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（）解：由由由（）解：当时，有 所以 经验证a1也满足上式，所以 （）证明：由通项公式得当且n为奇数时， 当为偶数时，当为奇数时，所以对任意整数m4，有注：对于（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。策略八：均值不等式放缩证明不等式例8、设求证解析: 此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。变式1：已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证：解析: 变式2：已知为正数，且，试证：对每一个，.解析: 由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.策略九：尾式（局部）放缩证明不等式例9、求证: 解析: 变式1：设求证：解析: 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），于是变式2：设数列满足，当时，证明对所有 有；解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论策略十、数学归纳法证明数列不等式例5-1、（2005江西理-21倒二题）（12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，；2假设n=k时有成立，令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切（2）下面来求数列的通项：所以,又bn=1，所以例5-2（2006年江西理-22压轴题）（14分）已知数列an满足：a1，且an（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！解：将条件变为：1，因此1为一个等比数