第六章 模拟信号数字处理1

第六章模拟信号数字处理 6 1模拟信号数字处理的原理框图6 2采样频率的确定6 3将模拟信号转换成数字信号 A DC 6 4将数字信号转换成模拟信号 D AC 6 5对数字信号处理部分的设计考虑6 6线性模拟系统的数字模拟 6 7用DFT FFT 对连续信号进行频域分析习题 6 1模拟信号数字处理的原理框图 模拟信号数字处理的原理框图如图6 1 1所示 数字信号处理方法是采用对输入信号进行计算的方法 使用的工具是计算机 因此必须把模拟信号转变成数字信号 才能适合计算机的要求 图6 1 1中的A DC Alalog DigitalConverter 部分完成模拟信号到数字信号的转变 数字信号处理完以后 再将数字信号通过D AC Digital AlalogConverter 转换成模拟信号 这样整个系统的输入和输出信号仍然是模拟信号形式 因此A DC和D AC起着信号形式的匹配作用 图6 1 1模拟信号数字处理的原理框图 6 2采样频率的确定 用采样间隔T对模拟信号xa t 进行等间隔采样 得到时域离散信号x n 公式如下 x n xa nT xa t t nT 6 2 1 6 2 1时域采样定理对模拟信号进行采样 可以看成让模拟信号xa t 通过一个电子开关S 设电子开关每隔周期T合上一次 每次合上时间为 T 在电子开关输出端得到信号 如图6 2 1 a 所示 该过程相当于将模拟信号乘上一个周期性矩形脉冲串PT t 得到 图6 2 1对模拟信号进行采样 如果让电子开关合上的时间 0 则形成理想采样 此时周期性矩形脉冲串变成周期性单位冲激串P t 周期为T 强度为1 得到的采样信号和P t 如图6 2 1 b 所示 用公式表示如下 6 2 2 式中 只有当t nT时 信号才有非零值 即才有非零值 因此也可以写成下式 上式是采样信号的表达式 下面转换到频域进行研究 推导采样前后信号的频谱函数的变化 假设 6 2 3 这里P t 是周期性单位冲激信号 周期是T 它的傅立叶变换是强度为2 T的周期性单位冲激串 频率在n s处 用公式表示如下 式中 s称为采样角频率 T称为采样间隔 如用fs表示采样频率 s和fs之间的关系如下 6 2 4 按照 6 2 3 式 采样信号等于模拟信号乘以周期单位冲激信号 那么采样信号的傅立叶变换等于模拟信号的傅立叶变换卷积周期性单位冲激信号的傅立叶变换 推导如下 式中 只有在 n s时 才有非零值 因此得到 上式表示模拟信号经过采样 得到的采样信号的频谱函数和原来信号xa t 频谱函数之间的关系 如果把上式展开 得到 假设xa t 是带限信号 其频谱函数的最高频率为 c 它的频谱函数示意图如图6 2 2 a 所示 P t 的频谱P j 示意图如图6 2 2 b 所示 按照 6 2 5 式 的频谱则如图6 2 2 c 所示 因为基带谱处在 0附近 如果基带谱和其他延拓谱不重叠 完全可以用一个理想低通滤波器从这些以 s为重复周期的重复谱中把基带谱滤出来 该理想低通滤波器的传输函数G j 为 6 2 6 图6 2 2采样信号的频谱 如果让采样信号通过理想低通滤波器G j 如图6 2 3所示 毫无疑问 理想低通滤波器的输出ya t 就等于原来的模拟信号xa t 用公式表示如下 将 6 2 5 式代入上式 得到 由于没有频率混叠 按照图6 2 3 理想低通滤波器G j 将中的基带谱无失真地过滤出来 因此 Ya j Xa j ya t IFT Ya j IFT Xa j xa t 图6 2 3采样信号的理想恢复 图6 2 3表示了理想低通滤波器从采样信号恢复原模拟信号的过程 但是 当fs 2fc条件不满足时 便形成了频谱混叠 如图6 2 2 d 所示 再用理想低通滤波器 也不可能从采样信号中无失真地滤出原信号 因此 fs 2fc是能否从采样信号恢复原信号的必要条件 一般将这种用理想低通滤波器恢复模拟信号的方法称为理想恢复 因为该滤波器是理想的 是不可实现的 如果对理想低通滤波器的传输函数G j 进行傅立叶反变换 得到该滤波器的单位冲激响应 公式推导如下 将 6 2 6 式代入 得到 上式低通滤波器的单位冲激响应的波形如图6 2 4所示 图6 2 4理想低通滤波器的单位冲激响应g t 波形 总结以上 时域采样定理包括两部分内容 叙述如下 1 对模拟信号xa t 进行等间隔采样形成采样信号 采样信号的频谱是模拟信号的频谱以采样频率为周期进行周期性延拓形成的 用 6 2 5 式表示 2 设模拟信号xa t 属带限信号 最高截止角频率为 c 如果采样角频率 s 2 s 那么让采样信号通过一个增益为T 截止角频率为 s 2的理想低通滤波器G j 可以惟一地恢复出原来的模拟信号xa t 如果 s 2 c 则会造成采样信号中的频谱混叠现象 不可能无失真地恢复出原来的模拟信号 6 2 2由模拟信号到时域离散信号采样间隔的确定如图6 2 5所示 采样信号和时域离散信号x n 在表示形式上不同 但信号强度是相等的 且都出现在采样点上 图6 2 5模拟信号xa t 采样信号和时域离散信号x n 的波形 前面已经推出采样信号的傅立叶变换和模拟信号傅立叶变换Xa j 之间的关系 重写如下 也可以从另外的路线求 已知采样信号用冲激信号表示的公式是 就是对上式的傅立叶变换 即 6 2 8 6 2 9 上式中方括号部分只有在t nT时具有非零值 强度是xa nT 因此得到 6 2 10 又知道时域离散信号x n 的傅立叶变换用下式表示 比较 6 2 10 式和 6 2 11 式 因为x n xa nT T 得到 再将 6 2 8 式代入上式 得到 6 2 11 6 2 12 将 s 2 fs 2 T代入上式 得到 以上情况如图6 2 6所示 6 2 13 图6 2 6Xa j 和X ej 的示意图 6 3将模拟信号转换成数字信号 A DC 从原理上讲 将模拟信号转换成数字信号 A DC 的过程有两步 第一步是按照一定的采样间隔对模拟信号进行等间隔采样 形成时域离散信号 第二步是把时域离散信号经过量化和二进制编码形成数字信号 它的原理框图如图6 3 1所示 图6 3 1A DC原理框图 如果知道模拟信号的最高频率 按照采样定理选择采样频率fs后 对模拟信号进行等间隔 间隔T 1 fs 采样 得到采样点上的样本数据 这一串样本数据就是序列 设A DC有M位 按照M位对序列进行量化编码以后 A DC的输出就是M位的二进制编码 即数字信号 但实际中这两步是同时完成的 下面举一个采样 量化编码的例子 设模拟信号如下式所示 式中 f 50Hz 选择采样频率fs 200Hz 将t nT代入上式中 得到 序列x n 在数值上等于xa nT 将n 0 1 2 3 代入上式 得到时域离散信号即序列x n x n xa nT 0 382683 0 923879 0 382683 0 923879 如果A DC按照M 6进行量化编码 也就是说 上面的数据均用6位二进制编码表示 其中一位为符号位 则数字信号用表示 0 01100 0 11101 1 01100 1 11101 以上只是从原理上介绍用A DC形成数字信号的过程 实际中A DC作为一个器件 输入是模拟信号 输出就是数字信号 如果将上面的数字信号用十进数表示 则是 0 37500 0 90625 0 375 0 90625 6 4将数字信号转换成模拟信号 D AC 数字信号的每一个数据都是有限位的二进制编码 如果要将其转换成模拟信号 首先需要解码 解码即是将二进制编码变成具体的信号值 例如将数字信号 0 1010 2转换成0 625 假设x值用M位 其中符号位占一位 二进制编码表示 x x0 x1x2x3 xM 1 2 式中xi取值为1或者0 x0表示符号位 这需要完成下面的运算 因此 D AC中的解码就是完成上面运算的功能 例如x 0 1010 2 解码运算为 x 1 2 1 0 2 2 1 2 3 0 2 4 0 625 这种解码运算可用精度高 稳定性高的电阻网络实现 限于篇幅 不再介绍这部分内容 图6 4 1 a 表示的是时域离散信号 它的包络是原来的模拟信号 图6 4 1 b 则是用零阶保持器插值以后的模拟信号 恢复以后的模拟信号和原来的模拟信号对比是有差别的 D AC的原理方框图如图6 4 2所示 图6 4 1零阶保持器的输出波形 图6 4 2D AC方框图 6 5对数字信号处理部分的设计考虑 如果一个时域离散信号是由一个模拟信号采样得来的 该时域离散信号的数字频率和模拟信号的模拟频率之间有一个简单的关系 即 T 6 5 1 或者 6 5 2 按照 6 5 1 式和 6 5 2 式 f f 的定标值对应关系如图6 5 1所示 这里模拟信号的最高频率为0 5fs 否则经过采样后 得到的序列的傅立叶变换会产生频谱混叠 丢失信息 为了提高模拟信号的分析频率 必须提高采样频率fs 图6 5 1模拟频率和数字频率之间的定标关系 例6 5 1设xa t 是带有干扰的模拟信号 有用的信号频率范围为0 20kHz 干扰主要在20kHz以上 试用数字信号处理方式对输入信号进行低频滤波 达到滤除干扰的目的 要求画出该数字信号处理系统原理方框图 求出每个方框图的主要指标 解按照题意 如果用模拟信号处理方法 需要设计一个模拟低通滤波器 该低通滤波器的最高截止频率可以选在有用信号的最高频率fp 20kHz 带内和带外的幅度衰减要求题目中没有给出 可以根据经验提出 通过实验再修改 这里假定 希望在带内幅度单调变化 在fp处的幅度衰减不小于在0频率处幅度的0 707倍 即3dB衰减 在20kHz以上 幅度迅速单调下降 要求在fr 30kHz处的幅度要小于0频率处幅度的1 10 即20dB衰减 以上是对模拟低通滤波器的技术要求 现在要求用数字信号处理方法对模拟信号进行低通滤波 即要求设计一个数字低通滤波器进行滤波 如何设计数字滤波器将在后面讲述 下面仅对数字滤波器提出技术要求 该例题的系统方框图应包括预滤 A DC 数字低通滤波器 D AC和平滑滤波 方框图如图6 5 2所示 下面分别介绍各部分的技术指标 图6 5 2系统方框图 1 预滤 这是一个简单的模拟低通滤波器 作用是防止高频杂散分量引起频率混叠 由于有用的信号频率为0 20kHz 因此模拟低通滤波器的高频截止频率可定在20kHz 2 A DC 因为信号的最高频率是20kHz 选择采样频率为40kHz 即可满足采样定理 但为了防止残余的高频分量引起频率混叠 按照3倍于信号最高频率选择采样频率 即选择采样频率fs 60kHz 题目没有对它的精度提出要求 暂时选择编码位数是8 3 数字低通滤波器 模拟滤波器传输函数使用模拟频率f 数字滤波器的传输函数使用数字频率 这两个频率成线性关系 用 6 5 1 式或 6 5 2 式表示 需要按照这一关系将这些边界频率转换过来 数字低通滤波器的最高截止频率用 p表示 计算如下 即要求频率在0 2范围内的数字滤波器的幅度单调下降 最大衰减不小于3dB 在20kHz以上 同样要求幅度迅速单调下降 在 r处幅度衰减不能小于20dB r计算如下 4 D AC 选择8位 变换频率为60kHz以上 5 平滑滤波 这也是一个模拟低通滤波器 该滤波器的技术指标决定于数字信号处理部分的输出信号 这里是数字滤波器的输出 该例题应该选择平滑滤波器的最高截止频率为20kHz 6 6线性模拟系统的数字模拟 如图6 6 1所示 这里x n 是由xa t 采样得到的 y n 由ya t 采样得到 用公式表示如下 6 6 1 图6 6 1线性模拟系统的数字模拟 线性模拟系统数字模拟的条件如下 1 模拟信号xa t 必须是带限信号 假设xa t 的最高截止角频率用 0表示 带限信号满足下式 X j FT xa t X j 0 0 2 对模拟信号采样时必须满足采样定理 即要求采样角频率 s大于等于 0的两倍以上 3 数字系统传输函数H ej 必须满足下面公式 H ej Ha j T 6 6 2 相应的模拟系统的单位冲激响应ha t 和数字系统的单位脉冲响应h n 有下面关系式 h n ha t t nT ha nT 6 6 3 6 6 2 式说明H ej 和Ha j 的波形一样 只是两个函数的自变量满足线性关系 即 fs 6 6 3 式说明h n 的包络波形和ha t 的波形是一样的 h n 是由ha t 采样得到的 如果知道Ha j 就可按照 6 6 2 式选择数字系统的传输函数H ej 因此 线性模拟系统的数字模拟不是很难的问题 6 7用DFT FFT 对连续信号进行频域分析 6 7 1用DFT FFT 对连续信号进行近似频域分析 1 截断效应例如50Hz正弦波xa t sin 2 50t 它的幅度曲线是线状谱 如图6 7 1 a 所示 如果将它截取0 09s的一段 相当于将它乘一长度为0 09s矩形窗函数 即xa t RTp t Tp 0 09s 对该信号进行谱分析肯定和原信号的谱分析不同 它的幅度谱如图6 7 1 b 所示 幅度曲线如图6 7 1 c 所示 图6 7 1用DFT对正弦波进行谱分析 50Hz正弦波的幅频曲线 b 50Hz正弦波加窗后的幅频曲线 Tp 0 09s c 50Hz正弦波加窗后的幅频曲线 Tp 0 18s 2 栅栏效应3 频谱混叠6 7 2用DFT FFT 对连续信号进行频域分析的公式推导 假设模拟信号xa t 和它的频域函数Xa jf 都是有限长的 如图6 7 2 a 所示 这里xa t 观察时间为Tp Xa jf 的最高截止频率为fc Xa jf 是xa t 的傅立叶变换 公式为 6 7 1 图6 7 2用DFT计算模拟信号频谱的原理 对xa t 进行采样 采样间隔为T 要求T满足T 2fc 1 即要求采样频率fs满足fs 2fc 通过采样得到xa nT 假设共采样了N点 Tp NT 再对 6 7 1 式进行零阶近似 零阶近似就是让 6 7 1 式中的dt T xa t 用xa nT 代替 t nT 积分号用求和号代替 如下式所示 下面再对X jf 进行采样 从0到fs共采样N点 采样间隔是F 将f kF带入 6 7 2 式 得到 6 7 2 6 7 3 式中又 6 7 5 6 7 6 将 6 7 6 式带入 6 7 3 式 得到 6 7 4 6 7 7 X k 和x n 分别用图6 7 2 c 表示 观察上式 X k 既然是序列x n 的N点DFT再乘以T 那么序列x n 就是X k 的DFT的反变换再除以T 公式为 F确定后 最小的观测时间Tpmin由 6 7 5 式确定 即 6 7 8 6 7 8 fs则按照时域采样定理 最小的fsmin为最高信号频率的两倍 假设信号最高频率为fc 即 fsmin 2fc 6 7 10 或者说最大的采样间隔为 6 7 11 最小的采样点数为 6 7 12 用DFT近似计算模拟信号频谱的计算步骤总结如下 1 首先确定用DFT对模拟信号频谱进行近似计算的三个参数 即频率分辨率F 采样频率fs 观测时间Tp 2 用已确定的fs对模拟信号采样 采样后得到时域离散信号为x n xa t t nT xa nT 3 按照 6 7 7 式 在计算机上调FFT子程序对信号x n 进行频谱计算 例6 7 1对模拟信号进行谱分析 要求谱分辨率F 10Hz 信号最高频率fc 2 5kHz 试确定最小记录时间Tpmin 最大的采样间隔Tmax 最少的采样点数Nmin 如果fc不变 要求谱分辨率增加1倍 最小的采样点数和最小的记录时间是多少 解按照 6 7 9 式 最小的记录时间为按照 6 7 11 式 最大的采样间隔为 按照 6 7 12 式 最少的采样点数为 为使频率分辨率增加1倍 F 5Hz 要求 例6 7 2假设模拟信号xa t Ae tsin 0t u t 式中A 444 128 0 50 试用DFT分析其频谱特性 要求选择不同的参数 观察对谱分析的误差 解 1 首先画出连续信号xa t 及其频谱图 如图6 7 3 a 和 b 所示 2 选择观察时间Tp 0 2s 采样频率fs 1000Hz 采样点数N Tpfs 200时 对模拟信号进行采样 得到x n 对x n 进行FFT 得到x k x n 及x k 幅度谱如图6 7 3 c 和 d 所示 3 选择Tp 0 2s fs 300Hz N Tpfs 60时 信号x n 及其频谱曲线如图 6 7 3 e 和 f 所示 图6 7 3例6 7 2图 由图可见 当fs 1000Hz时 在fs 2 500Hz附近只有微小的频谱混叠失真 基本可以表示原连续信号的频谱特性 频谱分析范围为0到500Hz 而fs 300Hz时 所得频谱曲线误差较大 在折叠频率fs 2 150Hz附近频谱混叠失真较大 另外频谱