几种滤波技术的比较研究.doc

目 录摘要1ABSTRACT：2引言3一、小波滤波技术基本理论与算法31.1小波滤波技术的基本原理41.2小波分析滤波技术算法41.2.1初始化41.2.2迭代51.2.3重构5二、数字滤波器滤波技术原理与算法62.1数字滤波器滤波技术基本原理62.2数字滤波器技术滤波的算法82.2.1确定数字滤波器的阶数82.2.2设计巴特沃兹数字滤波器82.2.3进行信号滤波8三、奇异值分解滤波原理与算法83.1奇异值分解基本原理83.2奇异值分解滤波技术算法93.2.1构造延拓矩阵93.2.2进行奇异值分解滤波10四、数值实例仿真104.1理想信号仿真104.2实测信号仿真144.3数值仿真结果分析17五、结论与展望18致谢19参考文献：20附录一 理想加噪信号仿真程序211.1原始信号211.2数字滤波器技术消噪211.3小波滤波技术消噪211.4奇异值分解技术消噪221.5各种滤波方法滤波效果比较22附录二 实测信号仿真程序232.1IIR滤波器方法去噪232.2SVD方法去噪262.3小波分析方法去噪27几种滤波技术的比较研究几种滤波技术的比较研究信息与计算科学专业 刘涛指导教师 吴自库摘要：针对信号消噪问题，介绍了目前流行的非线性滤波方法数字滤波器滤波技术、基于小波分析的滤波技术和奇异值分解滤波技术。对奇异值分解滤波技术进行了重点研究，通过对基本原理的深入研究，提出奇异值分解滤波技术用于一维信号的消噪算法。 通过数值实验仿真，验证算法的有效性和可靠性，比较不同滤波技术的优缺点。本文设计了两组数值实验，对理想加噪信号和实测加噪信号进行数值实验仿真，可以看出本文提出的算法可行。最后对数值仿真结果从滤波后信号的平滑性、连续性、是否有延时、相对误差和算法时间复杂度方面进行比较分析，可以看出小波分析的滤波技术、奇异值分解滤波技术和数字滤波器滤波技术可以用于一维信号的消噪，而且可以取得较好的结果，但这几种滤波技术各有特点，适用于不同的应用环境。关键字：数字滤波器；小波滤波技术；奇异值分解；滤波；噪声引言滤波是将信号中特定波段频率滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施，信号消噪处理实际上是一个信号滤波处理。根据观察某一随机过程的结果，对另一与之有关的随机过程进行估计的概率理论与方法。滤波一词起源于通信理论，它是从含有干扰的接收信号中提取有用信号的一种技术。“接收信号”相当于被观测的随机过程，“有用信号”相当于被估计的随机过程。例如用雷达跟踪飞机，测得的飞机位置的数据中，含有测量误差及其他随机干扰，如何利用这些数据尽可能准确地估计出飞机在每一时刻的位置、速度、加速度等，并预测飞机未来的位置，就是一个滤波与预测问题。这类问题在电子技术、航天科学、控制工程及其他科学技术部门中都是大量存在的。历史上最早考虑的是维纳滤波，后来R.E.卡尔曼和R.S.布西于20世纪60年代提出了卡尔曼滤波。 程发斌等1，在机械故障诊断领域内，振动信号的突变点往往含有丰富的故障信息，它反映了故障引起的撞击、振荡、转速改变和结构变形与断裂等。而测取的信号往往受到噪声信号干扰。对于早期故障，信号中包含的故障信息一般很弱，常常淹没在噪声信号中，因此，能否有效地降低噪声提高信噪比，有效的提取突变的故障信号，是进行机械设备早期故障诊断的关键。针对信号检测中经常存在的噪声污染问题，现对一般的非线性滤波问题的研究相当活跃。小波分析理论、数字滤波器方法和奇异值分解技术已经成功地应用于信号消噪, 并且取得了很好的效果。本文先介绍各种滤波技术的基本原理，给出了小波分析理论和数字滤波器方法滤波技术的算法，提出奇异值分解用于一维信号滤波的算法，通过实例数据仿真，比较了这三种滤波技术的滤波效果，通过结果分析，明确给出了这三种滤波技术的优缺点和适用环境，给信号滤波处理指明了具体做法。一、小波滤波技术基本理论与算法 下面给出滤波技术的基本原理和算法，分析小波滤波技术用于滤波的具体过程。1.1小波滤波技术的基本原理 刘明才等2提出，设是 的一个多分辨分析，是在中的正交补空间。令和分别是到和上的正交投影。设有信号，经仪器测得的含有噪声的信号为，则有用小波变换对信号进行分解的过程，就是依次把信号中的各种频率成分从高向低逐步分离为不同的频带的过程。对样条尺度函数和小波函数而言，其频带分别近似为和，因此的频带范围近似为。如果我们要滤掉的噪声的频率位于频带范围，则只需在信号重构过程中将设为零。当然，根据需要，我们还可将进一步分解，这就要用到小波包分解。常用Daubeche小波对信号进行消噪处理。1.2小波分析滤波技术算法 刘明才3提出了以下小波分析信好分解与重构算法，用于信号的滤波和压缩处理。1.2.1初始化这一步包含两部分：首先要根据实际信号，确定逼近空间；然后选取，使最小，即是在中的最佳逼近。设是到的正交投影，则是在中的最佳逼近，并且有 其中关于如何计算尺度系数，下面的定理给出了一个简单的方法。设是由尺度函数生成的多分辨分析，并且是具有紧支集的。如果是连续的，则对充分大的，有其中在实际小波的构造中常常要求，例如Haar小波以及Daubechies小波。1.2.2迭代由初始化得到，尺度系数为，那么由分解算法以及，可求得和，即将分解为其中同样，对于，在由分解算法可将分解为其中，这一过程可根据需要分解多层。1.2.3重构这由实际问题决定。例如在信号的消噪处理中，常常分解一到两层就可以了，而在数据压缩中常常要分解多层。我们记，则上述的分解过程如下：图1 小波分解树对给定信号进行分解的目的是要对其进行处理。如果是滤波处理，就要将要滤掉的成分所对应的小波系数设为零。如果是数据压缩，就要将绝对值小的小波系数设为零，而只保留那些绝对值大的小波系数。由处理后的小波系数和尺度系数，利用重构算法求得小波系数，即由和求出，其中。二、数字滤波器滤波技术原理与算法下面给出数字滤波器滤波技术的基本原理和算法，分析数字滤波器滤波技术用于滤波的具体过程。2.1数字滤波器滤波技术基本原理程佩青等410提出，一个数字滤波器可以用系统函数表示为直接由（1.7）式可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程图2数字滤波器的幅频响应可以看出，数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算（如（1.8）式）变换成输出序列。可以用以下两种方法来实现数字滤波器：一种方法是把滤波器所要完成的运算编成程序并让计算机执行，也就是采用计算机软件来实现；另一种方法是设计专用的数字硬件、专用的数字信号处理器或采用通用的数字信号处理器来实现。根据幅频特性所表示的通过或阻止信号频率范围的不同，滤波器可分为低通滤波器（LPF）， 高通滤波器HPF），带通滤波器（BPF）和带阻滤波器（BEF）四种。从实现方法上可分为FIR，IIR 滤波器；从设计方法上可分为切比雪夫滤波器，巴特沃思滤波器；从处理信号方面可分为经典滤波器和现代滤波器。设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面给出基于巴特沃兹数字滤波器滤波算法。2.2数字滤波器技术滤波的算法2.2.1确定数字滤波器的阶数给出通带和阻带的截止频率、，实际上它们是归一化频率，其值在之间，1对应抽样频率的一半（由奈奎斯特抽样定理得）。对低通和高通滤波器，和都是标量，对带通和带阻滤波器，和都是的向量。给出通带和阻带的衰减、。调用函数，是求出的相应滤波器的阶数，是求出的频率，它和稍有不同。2.2.2设计巴特沃兹数字滤波器 由2.2.1求出的滤波器阶数和频率，调用函数，是求出的系统函数的分子、分母多项式的系数向量。2.2.3进行信号滤波由2.2.2求出的系统函数的参数，调用函数，直接计算出过滤后的信号向量。三、奇异值分解滤波原理与算法下面给出奇异值分解滤波技术的基本原理并提出自己的算法，分析奇异值分解滤波技术用于滤波的具体过程。3.1奇异值分解基本原理赵玲等5提出，在奇异值理论中，任何阶的矩阵（其中）的奇异值分解表示为式中，和分别是阶和阶正交矩阵，是对角矩阵，其对角元素为的奇异值，并按降序排列。由于是一对角矩阵，因此，可以将一个秩为的阶矩阵表示为个秩1的阶子矩阵的和。其中，每个子矩阵由2个特征矢量（分别来自于和）和权值相乘得到，如下式所示式中，为的秩；、分别为和的第列奇异值矢量；是的第个奇异值。在实际应用中，若表示为时频信息，则对应的、分别表示频率和时间信息。实际应用中，一般保留矩阵奇异值分解后较大的奇异值项，来得到的估计值，从而实现信号的消噪。3.2奇异值分解滤波技术算法利用奇异值分解（SVD）进行信号消噪是一种有效的降噪处理方法。用奇异值分解进行一维信号的消噪，首先要将一维信号转化为二维延拓矩阵。该方法的关键是如何决定分解后的对角阵的有效秩阶次。现在通常的方法是采用试凑法或阈值法, 这两种方法都依赖于使用者的经验, 有效秩阶次的选择缺乏依据。本文提出了延拓矩阵构造方法，将信号构造成一个维的延拓矩阵，其中，然后利用奇异值分解技术进行滤波消噪。3.2.1构造延拓矩阵假设从一个系统测得含有噪声的信号为。用该信号可以构造一个维的矩阵其中，与文献6中延拓矩阵的构造方法不同，但可以看成是其延拓矩阵的特殊化。3.2.2进行奇异值分解滤波调用Matlab函数，由于的对角元素为的奇异值按降序排列，令中对角元素较小者为零，由（1.10）式重构矩阵，由（1.11）式重构消噪信号。四、数值实例仿真4.1理想信号仿真 薛定宇等在79提出，给定信号，考虑由曲线叠加标准差为的零均值的白噪声信号，下图给出噪声污染后的信号曲线。（参看附录一）图3噪声污染的数据曲线下面给出各种滤波方法滤波后信号与原始信号的比较：图4奇异值分解滤波结果 图5小波分析滤波结果图6滤波器滤波结果下图给出各种滤波技术滤波信号与原始信号的比较：图7各种滤波技术滤波信号下图给出各种滤波技术滤波信号相对于原始信号的绝对误差：图8奇异值消噪信号相对误差去掉分母为零的值时，奇异值消噪信号的相对误差图如下： 图9滤波器消噪信号相对误差图10小波消噪信号相对误差4.2实测信号仿真余成波等811，由Matlab小波分析工具箱中携带的noisbloc加噪信号，绘制出原始信号图如下：图11实测含噪声信号图12奇异值分解滤波结果 图13滤波器滤波结果图14小波分析滤波结果图15奇异值消噪信号相对误差 图16滤波器去噪信号相对误差图17小波消噪信号相对误差4.3数值仿真结果分析从以上结果可以看出，奇异值分解滤波技术和小波分析滤波技术滤波效果较好，数字滤波器滤波技术滤波效果稍差。（1）数字滤波器滤波技术滤波后信号会产生相对于原始信号的延时，而且滤波后信号平滑性连续性较差，滤波后信号相对误差较大，但是设计简单、效率高，时间复杂度小，在工程上应用广泛。（2）奇异值分解滤波技术滤波后信号不会产生信号的延时，滤波后信号平滑性连续性比数字滤波器滤波技术好，滤波后信号相对误差较小，但是，此算法时间复杂度高于数字滤波器滤波技术算法和小波分析滤波技术算法。（3）小波滤波技术滤波后信号不会产生信号的延时，滤波后信号平滑性连续性比数字滤波器滤波技术好，时间复杂度比奇异值分解技术小，滤波后相对误差介于数字滤波器滤波技术和奇异值分解滤波技术之间。（4）相对误差产生的原因分析，由于信号的叠加，时域信号产生混叠现象，由于仿真实例给信号叠加的是高斯白噪声，而高斯白噪声在各个频带均有值，所以要完全滤除噪声是不可能的，由以上仿真结果可以看出，奇异值分解技术对于消除滤波后信号相对误差的效果较好。综上分析，可以看出这三种滤波技术各有自己的特点，应在不同应用环境下选择不同的滤波技术。五、结论与展望滤波中的消噪在工程中有大量应用，如雷达目标识别、数字水印领域、信号检测、红外图像消噪等等，所以滤波方法的研究对工程技术的提高具有很重要的作用。这里给出的三种滤波方法，在工程实践中可以针对不同的应用环境选择不同的方法，以达到去噪、滤波的效果。当所处的应用领域对精度要求不高，且需要处理大量数据时，可以选择数字滤波器滤波技术；当所处的应用领域对精度要求较高，且需要处理大量数据时，可以选择小波分析滤波技术；当所处的应用领域对精度要求很高，可以选择奇异值分解滤波技术。当然，现在还没能找到一种万能的滤波技术，还需要更多的理论研究，以提高滤波的效率和精度。参考文献：1程发斌，汤宝平，钟佑明基于最优Morlet小波和SVD的滤波消噪方法及故障诊断的应用振动与冲，2008年第27卷第2期2刘明才，李淑芬小波在信号消噪处理中的应用大连民族学院学，2005年1月第7卷第1期3刘明才小波分析及其应用北京：清华大学出版社，200594程佩青数字信号处理教程3版北京：清华大学出版社，200725赵玲，孙仁云一种基于SVD分解的小波阈值降噪方法西华大学学报（自然科学版），2009年1月第28卷第1期6朱启兵，刘杰，李允公，闻邦椿基于结构风险最小化原则的奇异值分解降噪研究振动工程学报，2005年6月第18卷第2期7薛定宇，陈阳泉高等应用数学问题的Matlab求解北京：清华大学出版社，20048余成波等数字信号处理及Matlab实现北京：清华大学出版社，2005.29 Ingle V K，Proakis J GDigital Processing Using MATLAB M PWS Publishing Company，200310Hayes M HStatistical Digital Signal Processing and ModelingM New York：John Wiley & Sons, Inc，2004.11Lim J S，Oppenheim A V, edAdvanced Topics in Signal ProcessingM Englewood Cliffs(New Jersey) ：Prentice-Hall, 2005.附录一 理想加噪信号仿真程序1.1原始信号x=0:0.002:2;y=exp(-x).*sin(5*x);r=0.05*randn(size(x);A=y+r;figure(1)plot(A);h1=legend(原始信号);1.2数字滤波器技术消噪%数字滤波器技术消噪b,a=butter(6,0.1);AA1=filter(b,a,A);figure(2)plot(A,r)hold onplot(AA1,b)h2=legend(原始信号,滤波器消噪后信号,2);1.3小波滤波技术消噪%小波滤波技术消噪,采用4级db6小波C,L=wavedec(A,4,db6);A4=wrcoef(a,C,L,db6,4);figure(3)plot(A4,r)hold onplot(A,b)h3=legend(小波滤波技术消噪后信号,原始信号,2);1.4奇异值分解技术消噪%奇异值分解技术消噪L=501;for i=1:L for j=1:L B(i,j)=A(i+j-1); endendU,S,V=svd(B);for i=1:L if S(i,i)3 S(i,i)=0; endendBB=U*S*V;for i=1:L for j=1:L AA2(i+j-1)=BB(i,j); endendx=1:1000;figure(4)plot(x,A(1:1000),r)hold onplot(x,AA2(1:1000),b)h4=legend(原始信号,奇异值消噪后信号,2);1.5各种滤波方法滤波效果比较%各种滤波方法滤波效果比较x=1:1000;figure(5)plot(x,y(1:1000),-r)hold onplot(x,A4(1:1000),-k)plot(x,AA1(1:1000),-.b)plot(x,AA2(1:1000),:y)figure(6)plot(x,(A4(1:1000)-y(1:1000)./y(1:1000),b)title(小波去噪信号相对误差)figure(7)plot(x,(AA1(1:1000)-y(1:1000)./y(1:1000),k)title(滤波器去噪信号相对误差)figure(8)plot(x,(AA2(1:1000)-y(1:1000)./y(1:1000),y)title(奇异值去噪信号相对误差);附录二 实测信号仿真程序2.1IIR滤波器方法去噪% IIR滤波器方法去噪Wp=0.2*pi;Wr=0.4*pi;Ap=0.25;Ar=50;T=1;Omegap=Wp/T;Omegar=Wr/T;cs,ds=afd_chb1(Omegap,Omegar,Ap,Ar);b,a=imp_invr(cs,ds,T);db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);load noisbloc.matindx=1:1000;x=noisbloc(indx);figure(1)plot(x);title(含噪声的输入信号);y=filter(b,a,x);figure(2)plot(x,r)hold onplot(y,b);title(除噪后的输出信号);h=legend(原始信号,滤波器消噪后信号,2);figure(3)plot(x-y)./x)title(滤波器去噪信号相对误差);%freqz_m函数（数字滤波器响应子程序）function db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);H,w=freqz(b,a,1000,whole);H=(H(1:501);w=(w(1:501);mag=abs(H);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w);%afd_chb1函数（切比雪夫1型模拟滤波器的设计子程序）function b,a=afd_chb1(Omegap,Omegar,Dt,Ar);if Omegap=0 error(通带边缘必须大于0)endif Omegar=Omegap error(阻带边缘必须大于通带边缘)endif (Dt=0|Ar0) error(通带波动或阻带衰减必须大于0)endep=sqrt(10(Dt/10)-1);A=10(Ar/20);OmegaC=Omegap;OmegaR=Omegar/Omegap;g=sqrt(A*A-1)/ep;N=ceil(log10(g+sqrt(g*g-1)/log10(OmegaR+sqrt(OmegaR*OmegaR-1);fprintf(n*切比雪夫1型模拟低通滤波器阶次=%2.0fn,N);b,a=u_chb1ap(N,Dt,OmegaC);%u_chb1ap函数（设计非归一化切比雪夫1型模拟低通滤波器子程序）function b,a=u_chb1ap(N,Dt,OmegaC);z,p,k=cheb1ap(N,Dt);a=real(poly(p);aNn=a(N+1);p=p*OmegaC;a=real(poly(p);aNu=a(N+1);k=k*aNu/aNn;b0=k;B=real(poly(z);b=k*B;%imp_invr函数（脉冲响应不变法子程序）function b,a=imp_invr(c,d,T);R,p,k=resi