南京邮电学院《信号与系统》第二次习题

第二次习题课 1内容简介 2习题 1内容简介 一 周期信号可以展开为三角形和指数型傅里叶级数 是偶函数 是奇函数 1 2 3 偶函数 奇函数 奇虚函数和偶谐函数的特点 4 单边频谱 双边频谱会画 实偶函数的频谱是实偶函数 实奇函数的频谱是虚奇函数 5 周期信号的功率谱 平均功率 周期矩形脉冲 幅高A 周期T 脉宽 f t 2 2 A T 2T T 2T 二 非周期信号 1 傅里叶变换正反变换的定义式 2 频谱密度的物理意义 3 周期信号的复系数与非周期信号的频谱密度的关系 实奇函数的频谱密度是虚奇函数 实偶函数的频谱密度是实偶函数 实信号有 1 典型信号 10对 的傅氏变换 2 傅氏变换的性质 线性 对称性 尺度变换性 时移性 频移性 时域卷积 频域卷积 时域微分 频域微分 则 3 周期信号傅氏变换 信号的频带宽度 0 第一个零交点 其频谱的0 90 能量 三 傅氏变换分析法 已知激励x t 求系统零状态响应y t 2 求系统函数H 系统的频带宽度 下降到最大值的处 求H 1 由微分方程 2 由电路频域模型 3 由 4 由 求 可以用来方便地求稳态响应 如 先假设 应用4 得 再激励 响应均取实部 再均移位 放大5倍 即可 四 非周期能量信号的能量谱密度 非周期能量信号的能量 信号的脉冲宽度和频带宽度 单个矩形脉冲 五 系统不失真传输的条件 时域表示 频域表示 理想低通滤波器 频域表示 理想低通滤波是物理不可实现的 是 非因果系统 从阶跃响应可以看出 即使信号通过这样的理想系统 它也有可能发生失真 信号通过线性系统发生的失真称为线性失真 1 幅度失真 2 相位失真 定义了 上升时间 时 信号要满足两条 1 有限带宽 即 六 取样定理 2 取样频率满足 奈奎斯特取样率 或 实现 或 其它非正弦周期信号 2 习题 一 信号f1 t 和f2 t f3 t 的波形如图所示 0 t 1 T 1 试求f1 t 和f2 t 的频谱密度函数F1 和F2 2 求f3 t 的傅里叶复系数F3 n 0 和频谱密度函数F3 解 1 对于f1 t 求其导数f1 t 0 t f1 t 1 0 1 T 1 由图可看出 0 t 1 T 2 由图可看出f3 t 是f2 t 的周期延拓函数 并且 T T T 二 用可变中心频率的选频回路能否从图示的周期矩形信号中选取5KHZ 12KHZ 50KHZ 80KHZ和100KHZ频率分量 重复频率f0 5KHZ 20 s E 10V 解 1 已知基波频率f0 5KHZ 依据f t 频谱中出现频率为f0的整数倍 可判断12KHz m f0 m为整数 频率为f0的整数倍所以不能选出 2 f t 的傅立叶复系数 这里A E 10V T 1 f0 0 2ms 20 s 0 2 f0 10 krad s 所以 包络线是一取样函数 其图形如左 零交点位置 即当 时 频谱的幅值为0 此时 频率 所以不能选出50KHz 100KHz频率分量 综合 1 2 只能选出5KHz 80KHz频率分量 三 已知图中f1 t 的傅氏变换是 写出其余波形的傅氏变换式 解 t 四 求下列信号的傅氏变换 a 解 设 则 t 解 求fb t 的导数 图形为 t c 已知 求 解 而 d 解 由公式 利用对称性 取 有 有线性 e 求fe t 的傅氏变换的虚部 解 因为 偶 奇 其中 而 如图所示 t 解 对于 根据调制定理 五 求下列信号的傅氏反变换 解 由公式 由对称性 由公式 由时域卷积定理 解 由 由频移性 解 由 得 考虑到能量信号积分后成了功率信号 频域多了一项 由时域积分性质 又有 得 得 f t 如图所示 解 定义做 1 解 用性质做 利用时移性 其中 为时移因子 1 解 依据傅氏变换的定义 解 依据傅氏变换的性质 它有左 右两边的半个门组成 为 其中为频移因子 同理 有 得 六 限带信号f t 的频谱密度如图 a 所示 试作出当f t 通过图 b 的系统时 在系统A B C D各点的频谱密度 图 b 中两滤波器的截止频率均为 0弧度 秒 0 1 相移为零 即 解 A是f t 经过cos 0 t 调制 B是fA t 经过H1 高通滤波器 C是fB t 经过cos 1 0 t调制 D是fC t 经过H2 低通滤波 七 已知某系统函数 输入 试求系统的零状态响应 并指出响应中的强制分量与自然分量 若系统函数 激励为周期信号 试求系统的零状态响应y t 并讨论传输是否引起失真 解 强制响应 自然响应 全部是暂态响应 产生失真 八 已知周期矩形脉冲f1 t 它的脉幅为E 脉宽为 其傅里叶变换以F 表示 若f1 t 被间隔为TS的冲激序列所取样 令取样后的信号为fS t 试求其傅氏变换FS 解 设单个矩形波 其频谱为连续函数 若时域周期化 则等价于频域取样 即 若时域取样 等价于频域周期化 即 如有兴趣 见清华大学 信号与系统 P 229 九 理想高通滤波器的 其中 C为截止角频率 td为延迟时间 求理想高通滤波器的冲激响应 一信号 通过理想高通滤波器 若要 求输出信号能量为输入信号能量的50 试确定理想高通滤波器的截止角频率 C 解 输入信号能量 或 输出信号能量 即 教科书p 170 3 42 要求在不计算频谱的前提下进行 1 频谱的相位函数 相移因子 故得 2 由傅里叶正变换定义式 取 0 得 3 由傅里叶反变换定义式 取t 0 得 4 设 则 又设 得 则 类 3 可得 上图积分后的t 0时的值 5 由能量等式 得 能量与信号的波形有关 与出现的时间无关 故把波形的一半画成 112t f t 0 1t 1 1 2