浅谈微积分的创立.doc

浅谈微积分的创立摘要：微积分的创立是17世纪数学最重要的成就之一，是科学技术发展史上最重大的事件之一。微积分不仅是世界近代数学的重要内容，而且还是近代数学进一步发展和拓展的重要基础。本文主要讲述了微积分创立的主要过程，首先讲述的是微积分产生的背景，然后是先驱们是怎样探索微积分的，然后是科学的巨人牛顿和多才多艺的数学大师莱布尼茨等对微积分的重要数学贡献以及社会对此的争议，最后是微积分创立的意义。本文主要通过了文献调查法、历史研究法、概念分析法等研究方法对微积分的创立进行研究。关键词：微积分；创立 17世纪到19世纪是近代数学发展的重要时期,在这一时期数学最大和最有影响的发展莫过于微积分的产生和应用。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。这门学科的创立不仅极大的推进了数学自身的发展,还影响和推动了其它学科的发展,并进而对人类社会的生产产生影响。微积分的创立对数学科学、自然科学、技术科学、生命科学、社会科学、管理科学等各个领域有着非常重要的意义。一、微积分产生的背景在古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁琐的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动比滑动省力，因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子，那时已经出现水轮机，为了制造水轮机就需要对圆形有精确的认识和合理的运用。在深入研究圆形的过程中，出现了“无限细分、无限求和”的微积分思想的萌芽。在古希腊时期，科学家阿基米德计算圆周长和圆的直径的比值中，也已经包含了“无限细分，无限求和”的微积分思想，多边形不断增加边数，这就是对于圆周“无限细分”，由许多三角形的总合来求圆周长及圆面积，就是“无限求和”。作为微积分基础的理论来说，早在我国古代的庄周就提到“一日之棰、日取其半、万世不竭”的微积分思想；三国时期的刘徽在他的割圆术中也运用到了“无限细分，无限求和”的思想；隋唐建造赵州桥的时候，也用了微积分的思想。但是那时候并没有提出微积分的理论，这是因为那时候的生产实践还没有到达进一步的需要。随着社会生产实践有了进一步需要，开始有了变数的概念，并将变数引进数学。恩格斯曾经说过，“有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生”。二、微积分的早期工作17世纪以前，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，总共有四种主要类型的问题：第一类是已知物体移动的距离变为时间的函数公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数公式，求速度和距离；在现实生活中，涉及到很多运动都不是直线运动，传统的数学方法已不能解决问题，这就迫切需要新的数学工具。第二类是求曲线的切线。在进行光学的研究中涉及曲线的切线，另一个涉及曲线的切线问题出现在运动的研究中，运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，就是轨迹的切线方向。第三类问题是求函数的最大值与最小值。例如抛物体获得最大射程时的发射角，行星离开太阳的最远和最近距离等问题，这是由开普勒的观测开始的；这一类问题不仅与天文学有关还与力学等有关。第四类是求曲线的长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物体作用于另一物体的引力上等。因此在17世纪的时候，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题做了大量的研究工作，如法国的费马、帕斯卡、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格，英国的巴罗、瓦里士，德国的开普勒，意大利的卡瓦列利等，其中最主要的先驱是法国的怕帕斯卡和费马，英国的沃利斯和巴罗，他们都提出许多很有意义的理论，为微积分的创立奠定了基础。而探讨总结出来的经验和知识为后面牛顿和莱布尼茨的研究做了铺垫。而微积分的真正建立还应归功于牛顿和莱布尼茨。三、伟大数学家对微积分的创立十七世界的下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度上共同分享着微积分的创立的荣誉。他们的最大功绩是把两个看是互不相干的问题联系在一起，一个是微分问题，一个是积分问题，而他们的内在联系是微分和积分是两种互逆的运算。牛顿和莱布尼茨都是微积分的创立者，他们都为微积分的创立做了巨大的贡献。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从力学导致流数术来考虑的，莱布尼茨却是侧重于从几何学考察切线问题而得出微积分理论的。牛顿和莱布尼茨在创建微积分上的伟大功绩是把前人的某一种方法变为更适合一般的方程的运算方法，并指出积分和微分内在的直接联系是：微分和积分是互逆的两种运算，他们的工作标志着微积分的诞生。1.科学的巨人牛顿牛顿诞生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯索普的一个农民家庭，他自幼沉默寡言，性格倔强。他平生三大发明：流数术（微积分）、万有引力和光的分析。他关于微积分的问题的研究是于1664年秋开始的。当时他认真的研究了笛卡儿的几何学，对笛卡儿求曲线的切线方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、更一般的方法。1669年10月，牛顿写了第一篇关于微积分的论文流数短论。而流数的第一次出现就是在这篇论文里。流数的概念其实就是速度，在变速运动中速度是路程对时间的微商，至于速度的变化状况就是用速度的微商来表示，也是就是说加速度是速度的微商。随着时间的推移，牛顿又写了一篇关于微积分的论文即运用无穷多项方程的分析学。在论文中，牛顿给了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以由求变化率的逆过程得到，因为面积也正是用无穷小面积的和来表示而获得的。因此这也就相当于初步给出了微积分的基本定理。牛顿比他们的前驱者前进了很大一步，前人认为只是特殊的例子，并且只是模糊预见到了事实，而牛顿看到了它的普遍性，他用这个方法得到了许多曲线的面积。牛顿还得出了一个法则：函数之和的不定积分是各个函数的积分之和。但是这还有一些不足，因为牛顿在其中回避了运动变化的观点将无限小增量“瞬”看做是静止的无限小量，并在某种情况下直接令它等于零。但是在牛顿的第三篇流数术和无穷级数论文中，他就恢复了在流数短论中采用的运动观点，并对流数概念做了进一步的论述。书中牛顿引进了他独特的记法和概念，他把他的变量看做是由点、线、面的连续运动所生成的，而不是无穷小单元的集合。牛顿为数学做了巨大的贡献，但是他并没有一写出来就把它公之于众，而是经过很长时间后才公开表述的。他的微积分学说最早是在自然哲学之数学原理中公之于众的，但那也是在1687年。这是牛顿重要工作的总结，是科学史上的一件大事，更是数学史上的微积分的创立的重大贡献。 2.多才多艺的数学大师莱布尼茨出生于德国的莱布尼茨与牛顿共同分享着微积分创立的荣誉。莱布尼茨学习很努力，他想学好每一门课程，在数学方面他很具有才能，在他20岁的时候，他就发表了一篇关于数理逻辑的论文。 在惠更斯的鼓励下，1672年，莱布尼茨开始研究数学。他研究的第一批成果就是求出一个单位圆的面积的无穷级数的四倍，即是说。在他后来的研究中，莱布尼茨主要致力于切线问题以及求积问题，并在1684年发表了他的第一篇微积分论文一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算，这是世界上最早的微积分文献，这篇论文题目看是很长，但它却具有划时代的意义。在该论文中出现了微分符号和微分基本法则，他的微分符号现在都还在使用。在这篇论文中，他介绍了一个量的微分定义，还介绍了和、积、商、幂、根的微分法则，以及关于切线和极大、极小、拐点等问题的应用例子。他非常断定一个事实，那就是作为求和过程的积分是微分的逆。这种想法已经出现在罗巴和牛顿的著作中，他们用反微分求面积，而他们并没有表达出求和与微分之间的关系。牛顿和莱布尼茨表达出来了，这就是现在很多人都知道的牛顿莱布尼茨公式或微积分学基本定理。有了牛顿-莱布尼茨公式计算定积分就显得非常有效。与此同时，怎样从一组矩形得到曲线下的面积，几乎成为了所有数学家的难题。在深奥的几何与不可分量及无限的分析中，莱布尼茨初步论述了积分问题和切线问题的互逆关系。莱布尼茨不仅是伟大的数学家，还是世界上最大的符号学者之一，他所创立的微积分符号比牛顿的更简单，如现在仍然在广泛使用，这对微积分的发展有极大的作用。3.其他数学家对微积分的贡献牛顿和莱布尼茨在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。当然也有很多人想弥补这个缺陷。如泰勒曾用差分去解释流数，却被说成是“把车子放到了马前面”；麦克劳林试图从瞬时速度的理解加以解释，但成效不大；而达朗贝尔将微积分的基础归结为极限，并认为极限是“一个变量趋近于一个固定量，趋近的程度小于任何给定的量”，这个路子比较对，但是他并没有坚持走下去。于此同时，许多数学家在不严密的基础上对微积分创立了许多辉煌的成就。欧拉以微积分为工具解决了大量的天文、物理、力学等问题，开创了微分方程、无穷级数、辩分学等诸多新学科。法国启蒙哲学大师伏尔泰把微积分称为“精确计算和度量一个存在性是无从想象的东西的艺术”。直到19世纪，经过法国的科学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯等人的工作，微积分才有了严格意义上的理论基础。柯西的功绩是将分析学奠定在极限概念之上，把纷乱的概念理出了一个头绪。而魏尔斯特拉斯是使其完全摆脱了几何直观所带来的含糊观念。通过牛顿和莱布尼茨我们可以发现，牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年，那么谁是微积分的创立者引起了数学界的一场争议。其实他们的研究各有长处，也都各有短处，但是两个都对微积分的创立做了巨大贡献，因此人们普遍认为牛顿和莱布尼茨是各自独立创建微积分的。当然伽利略、费马、帕斯卡，甚至古希腊的阿基米德和中国三国时代的刘徽等都为微积分的创立做了贡献。可以说微积分的创立是集体智慧的结晶。数学和科学中的巨大进展几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。四、微积分的创立的意义知识总是在探索中前进的。微积分的创立也是在探索中前进的，它的基本概念、变量、函数、极限、连续性、导数及积分都不能认为是严格绝对和完全终结了的，而是无限发展的，在探索中前进的。微积分的创立，极大的推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用了微积分，问题就迎刃而解了，由此可见微积分的历史意义是无可代替的。也正是由于微积分的意义重大，使得人们对谁是微积分的创立者引起了英国数学家和欧洲大陆的数学家之间的对立。英国数学在一个时间里闭关锁国，过于偏见，过于拘泥于牛顿对微积分的伟大成就停滞不前，以至于数学的发展整整落后了一百年。由于牛顿和莱布尼茨工作的不完善性，导致了第二次数学危机的产生。微积分的创立不仅具有具有历史意义还具有现实意义。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。其实，人生也是一个微积分的过程。在生活中，我们常常听到有的人说梦想又被打破这样的话，而当你学会对生活做微积分的时候你就不会再那么说了。比如说对于远大的目标，如果我们对它做微分，把它切成一小一小部分的小目标，然后慢慢的完成小目标，那么我们离完成大目标就越来越进一步了。微积分有这样一个基本规律：如果被积函数是升函数，经过积分，它仍是升函数；如果被积函数是降函数，经过积分，它还是降函数；被积函数如果是为零的常函数，那么，经过积分，它仍是常函数。联系到生活，这就好比我们对生活的态度，你对它微笑它就对你微笑，所以面对人生，我们应该积极乐观，学会对生活做微积分，只有这样我们才会有一千零一个理由对生活微笑。微积分的创立实现了数学方法论从综合到分析的转变，从数学进入分析学发展的重要时代，到18世纪达到了空前灿烂的程度，其内容之丰富，应用之广泛，使人目不暇接。微积分