四年级奥数专题之整除与余数.doc

四年级奥数 整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数除数=商余数。这个关系也可以表示为：被除数=除数商+余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、 整除：（1） 能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。（2） 能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。（3） 能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。（4） 能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。（5） 能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。（6） 能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。（7） 能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。2、 有余数的除法：（1） 一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。（2） 一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。（3） 一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。（4） 一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或146520【巩固练习】1、 已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。【答案】由于12=34，且3和4是互质的，所以能被12整除的数也就是说即能被3整除又能被4整除。当A1A72能被3整除时，则有A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因为这个5位数的末两位是72，能被4整除，所以该数可以被4整除。所以这个5位数是11172或41472。2、 如果一个6位数13A57B能同时被2、3、5整除，求这个6位数。【答案】132570或135570或1385703、 有一个四位整数16AB如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？【答案】20或80【经典例题2】要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？【发散思维】由于18ABC6能被36整除，36=49，且4和9互质，所以这个6位数既能被4整除又能被9整除。再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。【解题步骤】18ABC6能被4整除，则C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。18ABC6能被4整除，则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。要使所得的商最小，就要使18ABC6尽可能小，即ABC尽可能小，因此首先A尽可能小，其次B,最后C尽可能小。先试取A=0，此六位数之和为15+B+C,欲使B+C尽可能小，而且15+B+C能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。则C=3,B=0.当A=0,B=0,C=3时，此六位数能被36整除，而且所得的商最小，为18003636=5001。【巩固练习】1、 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能得小。答案：这个六位数是865020。2、 一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数73A,求A是几?答案：设这个三位数为100a+10b+c,根据题意有100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=(11a+b) 9=73A,这就说明73A一定是9的倍数，所以A取8。3、 用0、1、3、5、7这五个数中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？答案：能组成14个，最小的是1375。【经典例题3】有一个自然数，用它去除70、98和143这三个数得到的三个余数之和是29，求这个自然数。【发散思维】如果设这个数为X,则根据带余除式可以得到下面三个等式：70=xq1+r1,98=xq2+r2,143=xq3+r3,将这三个等式相加就可以利用余数之和为29这个条件了。【解题步骤】将上面三个等式相加可以得到 70+98+143=x(q1+q2+q3)+r1+r2+r3, 化简得 311=xq+29,其中的字母q是上面三个商的和，它是一个整数。上面这个等式还可以写成xq=311-29,即xq=282,从这个等式发现x是282的因数列出282的所有因数为1、2、3、6、47、94、141、282，这8个因数中哪个可以成为x的取值？逐一试验可以发现x=47.【巩固练习】1、 有一个自然数，分别去除25、38、43、所得的余数都不为0，且这三个余数之和是22，求这个自然数。答案：如果把25、38、43三个数之和减去三个余数之和22，剩下的数必然是所求数的整数倍。25+38+43=84，84=214，即84是4的21倍。若所求之数为4，那么：25=46+1,38=49+2,43=410+3，而1+2+3！=22，。若所求之数为21，那么：25=211+4,38=211+17,43=212+1,4+17+1=21。所以这个自然数为21。2、 有一个自然数去除63、90、130都有余数，且余数之和为25，求这个自然数。答案：这个自然数是43。3、 用一个整数去除454和456，所得的余数都是17。求这个自然数。答案：23或46或92。【经典例题4】被除数除以除数，商是12，余数是26，被除数、除数、商、余数四个数的和是454，求除数是多少。【发散思维】被除数与除数的和是454-12-26=416。又因为商是12，余数是26，表示被除数比除数的12倍还多26，还要再减去26，所以除数是（416-26）（12+1）=30。【解题步骤】（454-12-26-26）（12+1）=30。【巩固练习】1、 两数相除，商是19，余数是4，被除数与除数的差为652，求被除数。答案：6882、 被除数除以除数，商是18，余数是62，被除数、除数、商及余数的和是1529，求被除数是多少。答案：13763、887除以一个数，商是52，且除数比余数大14，求除数和余数各是多少。答案：除数是17，余数是3。【经典例题5】求1111除以7的余数是多少。 2002个【发散思维】我们用竖式除，观察商的规律，发现1111117=15873，即每6个1组成的多位数能被7整除。2002个1中有几个6个1，看余几个1，再由此确定余数。【解题步骤】20026=3334,11117=1585，所以1111除以7的余数是5。 2002个【巩固练习】1、求44449后余几。2003个答案：20039=2225,444449=49382。【经典例题6】已知2002年的1月1日是星期二，那么2002年的12月5日是星期几？【发散思维】因为星期是按规律重复出现的现象，每7天重复一次，所以要知道2002年的12月5日是星期几，就必须知道从1月1日到12月5日之间有多少天。【解题步骤】2002不能被4能除为平年，所以2月28天，1、3、5、7、8、10都是31天，4、6、9、11都是30天。28+316+305=339（天），所以3397=483。即339天中有48个星期零3 天，这三天是从星期二起的3天，所以2002年的12月5日是星期四。【巩固练习】1、 今天是星期三，从今日算