高中数学 2.11变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教A版.ppt

第十一节变化率与导数 导数的计算 三年9考高考指数 1 导数的几何意义是考查重点 2 导数的运算是导数的基本内容 在高考中每年必考 一般不单独命题 常在考查导数应用的同时进行考查 3 题型以选择题和填空题为主 在解答题中会渗透导数的运算 1 导数的定义及几何意义 1 定义函数在x0处的平均变化率当 x 0时的极限 即瞬时变化率 叫做函数y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或即 2 几何意义函数y f x 在x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 y0 处的 切线的斜率 即时应用 1 思考 f x 与f x0 有何区别 提示 f x 是x的函数 f x0 只是f x 的一个函数值 2 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是 解析 y 2x 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是2 答案 2 3 函数f x lnx的图象在点 e f e 处的切线方程是 解析 所求的切线方程为y f e f e x e 即化简得x ey 0 答案 x ey 0 2 基本初等函数的导数公式 1 c c为常数 2 x q 3 sinx 4 cosx 5 ex 6 ax a 0 7 lnx 8 logax a 0且a 1 0 x 1 cosx sinx ex axlna 即时应用 1 y x 5 则y 2 y 4x 则y 3 y log3x 则y 4 则y 答案 3 导数的运算法则若y f x y g x 的导数存在 则 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x f x g x f x g x 即时应用 1 y x3 sinx 则y 2 y x4 x2 x 3 则y 3 y 2x2 3 3x 2 则y 4 则f x 解析 1 y x3 sinx 3x2 cosx 2 y 4x3 2x 1 3 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 18x2 8x 9 或 y 6x3 4x2 9x 6 y 18x2 8x 9 答案 1 3x2 cosx 2 4x3 2x 1 3 18x2 8x 9 4 复合函数的导数若y f u u ax b 则yx 即yx yu ux yu a 即时应用 1 则y 2 则y 3 则y 解析 1 设则y x y u u x 2 设u x2 则y x y u u x eu 2x 3 设u 2x 1 则y x y u u x 答案 导数的运算 方法点睛 求函数的导数的方法 1 总原则 先化简解析式 再求导 2 具体方法 连乘积的形式 先展开化为多项式形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂 再求导 复杂分式 通过分子上凑分母 化为简单分式的和 差 再求导 复合函数 确定复合关系 由外向内逐层求导 例1 1 2011 湖北高考 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素 其含量不断减少 这种现象称为衰变 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中 其含量m 单位 太贝克 与时间t 单位 年 满足函数关系 其中m0为t 0时铯137的含量 已知t 30时 铯137的含量的变化率是 10ln2 太贝克 年 则m 60 a 5太贝克 b 75ln2太贝克 c 150ln2太贝克 d 150太贝克 2 求下列函数的导数 y x2sinx 解题指南 1 利用已知条件先确定m0 再代入t 60求解 2 利用积的导数法则 利用商的导数法则或先化简分式再求导 规范解答 1 选d 因为则解得m0 600 所以那么 太贝克 所以选d 2 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 方法一 方法二 即 互动探究 把本例 2 中函数改为如何求导 解析 反思 感悟 准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则 根据所给函数解析式的特点 确定求导方法 变式备选 求下列函数的导数 解析 导数的几何意义 方法点睛 导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点a x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点a x1 f x1 即解方程f x1 k 3 已知过某点m x1 f x1 不是切点 的切线斜率为k时 常需设出切点a x0 f x0 利用求解 提醒 审题时注意所给点是否是切点 例2 1 2011 湖南高考 曲线y 在点处的切线的斜率为 2 2011 山东高考 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 9 b 3 c 9 d 15 3 2011 大纲版全国卷 曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为 解题指南 利用导数的几何意义 1 可以直接求出切线斜率 2 先求出切线方程 得到与y轴交点的纵坐标 3 求切线与直线y 0和y x的交点 进一步求面积 规范解答 1 选b 所以 2 选c y 3x2 切线斜率为3 切线方程为y 3x 9 与y轴交点的纵坐标是9 3 选a 故曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线方程为y 2x 2 易得切线与直线y 0和y x的交点分别为 1 0 故围成的三角形的面积为 互动探究 若把本例 2 中 在点p 1 12 处 改为 过点p 1 12 其他条件不变 求此时切线与y轴交点的纵坐标 解析 当p为切点时 由例题 2 知 切线与y轴交点的纵坐标为9 当p不是切点时 设切点坐标为 x0 y0 则即解得或x0 1 舍去 切点为切线方程为与y轴交点的纵坐标为 反思 感悟 1 要体会切线定义中的运动变化思想 由割线 切线 由两个不同的公共点无限接近 重合 切点 2 利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时 一定要抓住切点的多面性 在曲线上 在切线上 该点处的导数是切线斜率 变式备选 函数y x2 x 0 的图象在点 ak ak2 处的切线与x轴的交点的横坐标为ak 1 其中k n 若a1 16 则a1 a3 a5的值是 解析 由y x2 x 0 得y 2x 所以函数y x2 x 0 在点 ak ak2 处的切线方程为 y ak2 2ak x ak 当y 0时 解得所以答案 21 易错误区 导数几何意义应用的易错点 典例 2012 杭州模拟 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和都相切 则a等于 解题指南 因为点 1 0 不在曲线y x3上 所以应从设切点入手来求切线方程 再利用切线与曲线相切求a的值 规范解答 选a 设过 1 0 的直线与y x3相切于点 x0 x03 所以切线方程为y x03 3x02 x x0 即y 3x02x 2x03 又 1 0 在切线上 则x0 0或当x0 0时 由y 0与相切可得当时 由相切可得a 1 所以选a 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 重庆高考 曲线y x3 3x2在点 1 2 处的切线方程为 a y 3x 1 b y 3x 5 c y 3x 5 d y 2x 解析 选a 由y 3x2 6x知 切线斜率为k 3 6 3 所以切线方程为y 2 3 x 1 即y 3x 1 2 2012 深圳模拟 已知f x lnx x 0 f x 的导数是f x 若则a b c的大小关系是 a cb a 3 2012 咸宁模拟 函数f x mx3 m 1 x2 x 2 若f 1 18 则m a 4 b 3 c 5 d 6 解析 选b f x 3mx2 2 m 1 x