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信号系统分析概述：1.为什么要学习本课程？本课程是继电路分析课程后的一门基础理论课，对电类专业又是一门较重要的课程，先前我们所学过的电路分析课程所分析的信号无非是直流和正弦交流信号，所分析的电路最高不过是二阶电路。而在信号与系统分析中，所分析的信号有指数、斜坡、脉冲、冲激等一些复杂的信号，所分析的电路也不局限于二阶及以下系统，而可以是二阶以上高阶系统。除此外，信号分析要研究分析信号机系统的频率特性，这对于通信及自控专业很重要。2.本课程特点：以数学理论为分析依据，愈来愈多地运用了现代数学的概念和方法，对系统进行时域及时域分析，把分析问题与其数学表述和论证密切地结合起来。其分析所应用的数学工具有：傅里叶级数、积分变换、Z变换、线性常微分方程、级数等。3.课程任务：（1）确定线性、非时变连续时间系统和离散实践系统相应的各种方法。（2）研究信号的频率特性（频谱分析）和分析信号的频率特性与时间特性的联系。第1章 连续时间信号与系统的时域分析1.1信号的定义与分类一、信号的基本概念1. 信息：通过文字、语言、图像及数据所表达的思想和概念，代表一个新鲜的事物，消息和事件，是一门科学。2. 信号：是携带信息的一种物理量，是信息的表现形式和运载工具。研究信号的目的在于了解各种信号（电信号）的组成变化的规律，以便传输和处理信号。二、信号的分类*按时间函数的确定性分为1.确定信号与随机信号A.确定信号：对确定的时间信号又确定的数值，它包括 连续时间信号 周期信号 f(t)=f(t+nt) n=o1 非周期信号 准周期信号（概周期） 离散时间信号：某此离散点上，具有不确定的数值。B.随机信号：对任何时间都无确定的信号数值，也即信号的温度及出现时间是不可预测的。*按时间函数取值的连续性分为2.连续时间信号与离散时间信号*按时间函数的可积性划分3.能量信号与功率信号能量信号：能量为有限值的信号功率信号：功率为有限值的信号1.2信号的描绘与运算1.2.1常用基本信号及其性质1.直流信号：f(t)=A -t A为常数2.正弦信号：f(t)=Ksin(t+) -t0u(t)= 0 t0且有u(-t-t1)-u(-t-t2)=u(t+t2)-u(t+t1)特点：具有单边特性（开关特性）门函数（窗函数）：存在一段区间f(t)=u(t+t0)-u(t-t0)4. 指数信号f(t)=keat -t0Sgn(t)= -1 t0 R(t)= 或R(t)=tu(t) 0 t0f(t)（at）dt=f(x/a)(x)1/adx=1/af(0)a1波形在时间域压缩a倍f(t)中以at代t，若： 幅度不变。 0a1波形在时间域扩展a倍将f(at)左移t0可得fa(t+t0)将f(at)右移t0可得fa(t-t0)如图f（t），试作出f(t/2+1)及f(1-t/2)的波形。例：如图，已知f(2-t/2)波形，试画出f(t)的波形。F(2-t/2)=f-1/2(t-4) 即左移4得f(-1/2)再缩小2倍，然后翻转可得f(t)体会：当由f(t)求f(at+t0)时，只须将f(t)的t轴换为at+t0,然后在t轴上运算，求出t，所得图形为f(at+t0)；当由f(at+t0)求f(t)，将t轴进行运算变为at+t0时，即得f(t)图形。例：6.微分与积分计算（1）微分（a）可直接对图形求导；（b）根据表达式求导例：已知f(t)求f(t) f(t)方法1：直接对图形求导f(t)=(t)+-u(t)+u(t-1) f(t)=(t)-(t)+ (t-1)方法2.根据表达式求导f(t)=-(t-1)u(t)-u(t-1)f(t)=-u(t)-u(t-1)-(t-1)(t)-(t-1)=(t)-u(t)-u(t-1)f(t)=(t)-(t)+(t-1)例：已知f(t)，求f(t)及f(t)的图形例：已知f(t)，求作f()d的图形解：0t2 f()d=d=t2t3 f()d=d+-2 d=2-2=0例：试写出f(t)的表达式方法1.突出阶跃函数表示法f(t)=(t+1)u(t)-(t-1)u(t-1)-2(t-1)u(t-1)+2(t-3)u(t-3)+2u(t-4)方法2.突出门函数表示法f(t)=(t+1)u(t)-u(t-1)-2(t-2)u(t-1)-u(t-3)-2u(t-3)-u(t-4)1.3系统及其分类1.3.1系统的基本概念1.系统：为了达到信息有效、可靠，面对信息进行了加工处理的设备总称；或为完成某种特定任务的整体总称。如物理系统、自然系统等。2.系统分类：自然系统与人工系统、物理系统与非物理系统，按系统数学模型及特性分类有（1）线性系统与非线性系统线性系统：均匀性（其次性）、叠加性、分解性。均匀性：若f(t)y(t)则kf(t)ky(t)叠加型：系统在n个输入作用下的响应，等于它们分别单独作用产生的响应之和。若：f1y1;f2y2则f1+ y1f2+ y2线性可表示为k1f1+k2f2k1y1+k2y2推记：如果系统具有线性性时，则系统具有分解特性y(t)=yx(t)+yf(t)（要求零输入、零状态分别具有线性性）非线性系统：不具备上述特性的系统（2）因果系统与非因果系统如果当前的响应与未来的激励无关，则该系统就是一个因果系统，即响应与输入为因果关系，当t0时，若f(t)=0,则必有y(t)=0,否则为非因果系统。(3） 时变与非时变系统如果系统中元件参数于时间无关，该系统即是非时变的，非时变系统的响应与施加激励信号的时间无关，即非时变系统必定是f(tt0)y(tt0)若元件参数随时间而变，不具备上述特性，则为时变系统。（4） 即时系统与动态系统即时系统：响应只与同时刻的输入有关，而与历史无关，也称无记忆系统。动态系统：至少含有一个储能元件的系统，响应不仅与输入有关，还与系统的历史有关。（5） 集总参数与分布参数系统（6） 连续时间与离散时间系统本课程所研究系统是：线性、非时变集中参数动态（连续离散）的时间系统。例：y（t）=x3(0)+f(t)dt满足分解性，但零输入响应不具备线性，故为非线性系统 y(t)=x(t0)+t(df(t)/dt线性系统 y(t)=4x(0)+logf(t)零状态为非线性，为非线性系统。例：某系统在x1(0)=2,x2(0)=1时，yx(t)=2+3e-2t,在同样初始条件下，输入为e-t时完全响应为y(t)=4-e-t+4e-2t,求在5e-t作用下的零状态响应。解：yf(t)=5(4-e-t+4e-2t-2-3e-2t)=5(2-e-t+e-2t)1.4 p算子于零输入响应1.4.1 p算子于其运算规则定义：p=d/dt是一个微分算子， p2=d2/dt2 1/p= ( )dt微分方程可用p算子来表示y+2y+5y+ydt=df/dt+3f(t) p2y+2py+5y+（1/p）y=pf+3f即(p2+2p+5+(1/p)y=(p+3)f形式上好像代数方程，实质上是微分方程。一般情况下，D(p)y(t)=N(p)f(t) y(t)/f(t)=N(p)/D(p)=H(p)H(p)为时域冲激的传输算子。使用p算子，注意事项：1. 是微分方程，只是形式上的代数方程p算子的多项式的运算，基本上符合代数运算的规则，如（p+a）(p+b)x(t)=p2+(a+b)p+abx(t)2. 有些地方不符合代数运算规则，如py=pf p不能约yf,再如p1/p1/ppx1.4.2由微分积分方程组求任一代求量的方程。例：如图，试列出以i2(t)为变量的微分方程。由（2）求导代入（1）得：用p算子表示： （p2+p+1）1/pi1-1/pi2=f(t) -1/pi1+(2p2+p+1)1/pi2=0矩阵表示为 p2+p+1 -1 1/pi1 = f(t)-1 2p2+p1 1/pi2 0 1/pi2=1/(p2+p+1)(2p2+p+1)-1f(t)左乘p:i2=P(1/P(2P3+3P2+4P+2)f(t)故有：2(d3i2/dt3)+3(d2i2(t)/dt2+4(di2(t)/dt+2i2(t)=f(t) 同上除上之外，还可用算子电路模型，求任一变量的微分方程。例： 算子电路即算子阻抗为ZR(P)=R,ZL(P)=LP,ZC(P)=1/PC列关于i(t)为变量的微分方程 i(t)=f(t)/R+LP+(1/PC) R+LP+(1/PC)i(t)=f(t)(LP2+RP+1/C)(1/P)i(t)=f(t) 左乘p (Lp2+Rp+1/c)i(t)=pf(t)即:L(d2i/dt2)+R(di/dt)+(1/c)i(t)=df(t)/dtH(p)=i(t)/f(t)=p/Lp2+Rp+1/c 即也可根据算子电路求H（P）.1.4.3 系统的零输入响应对于线性非时变，集中参数系统dny(t)/dtn+qn-1(dn-1y(t)/dtn-1)+a1(dy/dt)+a0y=bm(dmf/dtm)+bm-1(dm-1f/dtm-1)+b1(df/dt)+b0f即：(Pn+an-1Pn-1+ap+a0)y(t)=(bnPm+bm-1Pm-1+b1P+b0)f(t)系统完全响应，y(t)=yx(t)+yf(t)f(t)=0 即为零输入响应，零输入响应由初始储能引起，为齐次方程。即：（Pn+an-1pn-1+a1p+a0）yx(t)=0特征方程为：Pn+an-1pn-1+a1p+a0=0根有三种情况（1） 方程中有n个不等实根12n则：yx(t)=k1e1t+k2e2t+knent(2)有n重根yx(t)=（k1+k2t+kntn-1）et(3)有i对共轭复根（2i=n） 1j1 2j21ijiyx(t)=e1t(k1cos1t+k2sin1t)+待定系统k1k2kn由初始条件确定例：如图t=0时开关闭合，求零输入响应ix(t)已知Uc(0-)=10v iL(0-)=0方程为(3+p+2/p)ix(t)=0即(p2+3p+2)ix(t)=0p2+3p+2=0 1=-1 ix(t)=k1e-t+k2e-2t 2=-2k1=-10 k2=10 ix(t)=10e-2t-10e-t t0补充例题：例1：已知f(2t+4)波形，画出(d/dt)f(4t-2)的波形例2：已知f(2-t/2)波形，画f(t)的波形解：该点(t)的尺度幅度要变化先展缩例3：如图已知u(0)=1v, u(0)=0,求 u(t)与iL(t) 解：由kcL,d2iL/dt2+4(diL/dt)+5iL=0 P2+4P+5=0 1=-2+j 2=-2-jiL(t)=e-2t(k1cost+k2sint)u(0)=0 则:ic(0)=cu|t=0 iL(0)=-iR(0)=-1/1/4=-4iL(0)=uL(0)/L=uc(0)/L=1/1/5=5A/st=o iL(0)=k1=-4 k1=4 iL=-2k1+k2=5 k2=-3iL(t)=e-2t(-4cost-3sint) u(t)=L(diL/dt)=e-2t(cost+2sint)此题也可以u(t)为变量列节点方程：（4+p+5/p）u(t)=0例4:如图，t0的uc(t)和iL(t)解：iL(0-)=1A uc(0-)=6vt0后,方程为d2uc/dt2+6(duc/dt)+5uc=0uc(t)=k1e-t+k2e-5t k1+k2=uc(0)=6-k1-5k2=uc(0)=-iL(0)/c=-5得k1=25/4 k2=-(1/4) uc(t)=(25/4)e-t-(1/4)e-5t v t0iL(t)=-ic=-(1/5)(duc/dt)=(5/4)e-t-(1/4)e-5t A t01.5系统的单位阶跃与单位冲激响应1.5.1 系统的单位阶跃响应 系统在u(t)作用下的零状态响应g(t)为单位阶跃响应对于一阶系统，求g(t)可用三要素法，但二阶以上电路不适应。 三要素求uc(t)零状态响应uc(t)=Uc()(1-e-t/)u(t) 即guc(t)=(1-e-(t/)u(t)gic(t)=c(dguc(t)/dt)=1/R(e-(t/)u(t)+c(1-e-(t/)(t)=1/R(e-(t/)u(t)对于二阶及以上的系统需用经典法，求其阶跃响应。1.5.2系统的单位冲激响应 h(t)为系统在(t)作用下产生的零状态响应，也称为单位冲激响应。因为(t)=u(t), h(t)=g(t) 1.由g(t)求h(t)求h(t)的方法： 2.冲激平衡法3.有传输算子H(P)得到1. 由g(t)求h(t) (注意(t)的取样特性)如上例：已知电容电压单位阶跃响应为guc(t)=(1-e-t/)u(t)huc(t)=guc(t)=1/Rc(e-t/)u(t)+(1-e-t/)(t)= 1/Rc(e-t/)u(t)hi(t)=c(dhuc(t)/dt=c-1/Rc(1/Rc)e-t/(t)=-(1/R2c)e-t/u(t)+(1/R)(t)物理意义：t=0,(t)加在R两端，t0后，(t)=0，电容有电压加在R上。2. 冲激平衡法：因为（t）只在t=0作用于系统，在这一瞬间它把全部能量转换为电场或磁场能量储存在L或C中，t0后，(t)=0，所以求(t)作用下的零状态响应，实质上是求t0后的零输入响应。(1) 比较系统法（根据等式比较系统）例：已知系统微分方程位h(t)+4h(t)+3h(t)=(t)+2(t)求h(t)解：这是n=2 m=1 nm两个概念：（1）系统在（t）极其导数作用下的零状态响应与初始储能作用的零输入响应的函数形式相同。（2）等号两边冲激函数的阶跃平衡，为使方程平衡，方程中左边冲激响应，及其导数中一定包含有冲激函数及其导数，且冲激函数的最高阶导数项，即(t）一定出现在冲激响应函数的最高阶导数项h(t)中，即：h(t)(t)，(t)，u(t); h(t) (t), u(t) h(t)u(t)特征方程：p2+4p+3=0 1=-3 2=-1h(t)=(k1e-3t+k2e-t)u(t)代入方程比较系数求出k1k2h(t)=(-3k1e-3t-k2e-t)u(t)+(k1e-3t+k2e-t)(t) =(-3k1e-3t-k2e-t)u(t)+（k1+k2）(t)h(t)=(9k1e-3t+k2e-t)u(t)+(3k1-k2)(t)+(k1+k2)(t）代入原方程(k1+k2)(t)+(k1+3k2)(t)=(t)+2(t) k1+k2=1 k1+3k2=2 k1=k2=1/2 h(t)=(1/2e-3t+1/2e-t)u(t)例2：已知y(t)+3y(t)+2y(t)=4(t）已知y(0-)=y(0-)=0,求y(t)解：此时y(t)即为h(t),y(t)=(k1e-2t+k2e-t)u(t)y=(-2k1e-2t-k2e-t)u(t)+(k1+k2)(t)y=(4k1e-2t+k2e-t)u(t)+(-2k1-k2)(t)+(k1+k2)(t)代入原方程求出k1=8 k2=-4 y(t)=(8e-2t-4e-t)u(t)当nm时，h(t)包含有(t)及其导数项。（2） 等效初始条件的冲激平衡法（为上面方法的归纳）步骤：a.根据冲激平衡原理和特征方程，写出h(t)表达式。b.设出冲激平衡结构式，计算等效初始条件h(0+)h(0+)h(0+)c.确定待定系数例：如上，已知h(t)+4h(t)+3h(t)=(t)+2(t)h(t)=(k1e-t+k2e-2t)u(t)设：h(t)=A(t)+B(t)+Cu(t) h(t)=A(t)+Bu(t) 冲激平衡结构式*h(t)=Au(t)由于为零状态：则h(0-)=h(0-)=h(0-)=0从而h(0+)=A h(0+)=B h(0+)=C（看u(t)的跳变） A=1 A=1将结构式*代入方程得： B+4A=2 B=-2 4B+C+3A=0 C=5即 h(0+)=1 h(0+)=-2 h(0+)=5 k1+k2=1 k1=k2=1/2 h(t)=1/2(e-t+e-3t)u(t) -k1-3k2=-2若 n=m，则h(t)有(t)项，若n0时为零，我们把原输入信号(t)等效为初始条件，即把零状态响应转化为零输入响应，有RiL(t)+ L(diL(t)/dt)=0 (p+R/L)iL(t)=0 iL(t)=Ae-R/Lt t0iL(0-)=0 UL(0)=(t)iL(0+)=1/LuL()d=1/L() d=1/L代入得iL(t)=1/Le-R/Ltu(t)=h(t)电感电压，冲激响应为UL(t)+R/LUL()d=(t) 1+(R/L)(1/P)=0UL(t)=Ae-(R/L)t iL(0+)=1/L uL(0+)=-(R/L) A=-(R/L)考虑t=0点的冲激有UL(t)=(t)-(R/L)e(-R/L)tu(t)=L(diL/dt)1.6.2卷积极分yf(t)=f(t)*h(t)=h（t）*f(t)=f()h(t-)d其中：为信号的作用时间 t-0即观察响应时间 t：观察响应时间 要比信号作用时间推迟 t-:系统记忆时间积分过程中为变量，t为常数，积分完后，自动消失，t为变量卷积极分的上下限的四种可能情况（数学上）a.若f(t)h(t)均为双边函数 yf(t)=f()h(t-)db.若f(t)有始，h(t)为双边 y(t)=f()h(t-)dc.若f(t)为双边，h(t)为有始 y(t)=f(t)h(t-)dd.若f(t)h(t)均为有始， y(t)=f(t)h(t-)d1.卷积极分的图解法卷积的几何意义为：在不同的t值情况下，两图形f().h(t-)的乘积曲线与轴构成的面积，它的运算过程是经过：变量代换、翻转、时移、相乘及积分而完成的。例1：如图求f1(t)*h(t)例2：如图，求f(t)*h(t)说明：a.图形一经翻转后，即为t=0时刻，然后再根据两图形有无重叠，进行时移t，右移t0,左移t0。 b.积分下限由乘积曲线左端点确定，积分上限由乘积曲线左端点确定，积分上限由乘积曲线右端点确定。2.卷积的解析法由yf(t)=f()h(t-)d可知积分下限由未翻转的函数f( )括号内代数式等于零的值决定。积分上限由翻转后的函数h( )括号内代数式等于零的值决定。响应时间起点由积分上限减下限决定。如：f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(-t1).f2(t-t0)d=f(t-t2-t1)u(t-t2-t1)例：如图，求f1*f2y(t)=f1(t)*f2(t) f1=1/2u(t-2)-u(t-5); f2=2u-(t-1)-u(t-7)y(t)=f1*f2=f1()f2(t-)d=1/2u(-2)-4(-5)24(t-1)-u(t-7)d=d-d-d+d=(t-3)u(t-3)-(t-9)u(t-9)-(t-6)u(t-6)+(t-12)u(t-12)分段表示为 u t3 y(t)= t-3 3t6 可用图解法来验证 3 6t9 12-t 9t12例：如图，用卷积积分法求uc(t)的零状态响应。i(t)=Au(t)-u(t-1)解：i(t)=Uc(t)(1/R+pc) H(p)=1/pc+(1/R)=1/0/p+(1/Rc)h(t)=1/c(e(t/-Rc)u(t)uc(t)=i(t)*h(t)=Au()-u(-1)1/c(e-(t-/Rc)u(t-)d=Au()1/c(e-(t-/Rc) u(t-) d-u(-1)1/c( e-(t-/Rc) )u(t-) d=ARe(-t/Rc)(et/Rc-1-et/Rc+e1/Rc) 注：括号内不能相消，应为起始时间不同=AR(1-e(-t/Rc)u(t)-AR(1-e(-t-1/RC)u(t-1)1.6.3系统的完全响应系统完全响应y(t)=yx(t)+yf(t)=零输入+零状态响应例1：如图，已知us(t)=10u(t),uc(0-)=5v,iL(0-)=0 求t0时的iL(t)解：作算子电路模型，如图。iL(t)= us(t)/(1/2p)+(p+2/p+3)1/p+3=p/(p+3/2)(p+1)us(t)iLx(t)=A1e(-3/2)t+A2e-t;uLx(t)=(-3/2)A1e(-3/2)t-A2e-tiL(0-)=0 A1+A2=0 A1=10uL(0-)=-5 -(3/2)A1-A2=-5 A2=-10iLx(t)=10e-3/2t-10e-t求零状态响应，先求h(t) H(P)=P/(P+3/2)(P+1)=(K1/P+3/2)+K2/P+1K1=3 K2=-2 h(t)=(3e(-3/2t)-2e-t)u(t)iLf(t)=h(t)*f(t)=10（3e(-3/2)-2e-）d=(20e-t-20e(-3/2t)u(t)iL(t)=iLx(t)+iLf(t)=10(e-(3/2t)-e-t)+20(e-t-e-(3/2t)u(t)=10e-t-10e-(3/2t) t0例2：某系统的输入输出数学描述如下：(d2y/dt2)+ 5(dy/dt)+6y(t)=3df(t)/dt+2f(t)若f(t)=4e-tu(t) y(0)=1 y(0)=1求完全响应。解：以p算子表示为（p2+5p+6）y(t)=(3p+2)f(t)y(t)=3p+2/(p+2)(p+3)f(t)=(-4/p+2)+(7/p+3)f(t)yx(t)=k1e-2t+k2e-3tyx(t)=4e-2t-3e-3th(t)=(7e-3t-4e-2t)u(t)用冲激平衡法求h(t):设h(t)=(k1e-2t+k2e-3t)u(t)h=A(t）+B(t)+Cu(t);h=A(t)+Bu(t),h=Au(t)代入得：A=3=h(0+) B=-13=h(0+)得k1=-4 k2=7yf（t）=f(t)*h(t)=4e-tu(t)*(7e-3t-4e-2t)u(t)=(-2e-t+16e-2t-14e-3t)u(t)y(t)=4e-2t-3e-3t+(-2e-t+16e-2t-14e-3t)u(t)注：e-at*e-at=te-atu（t） e-at*e-bt=1/b-a(e-at-e-bt)u(t)任意函数f(t)与u(t)的卷积，就是对f(t)进行积分。9.6.4卷积积分的运算规则与性质1.运算规则规则1.交换律 f1*f2=f2*f1 规则2.分配律 (f1+f2)*f3=f1*f3+f2*f3 规则3.结合律 （f1*f2）*f3=f1*(f2*f3)3. 性质（1） 任意信号与 f(t)*(t)=f(t)冲激信号的卷积 f(t)*(tt0)=f(tt0) f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1-t2)(2) 时移性质，若：f1*f2=f则f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)(3) 微分性质：若f1*f2=f,则f1*f2=f1*f2=f 利用上述性质可推出： (t)*(t)=(t) f(t)*(t)=f(t) 微分性，共f1*f2=f则：f1()*f2()d=f1(t)*f2()d=f1()d*f2(t)=f()d可推出：f(t)*u(t)=f()d微分积分性质若f1*f2=f,则f1(t)*f2()d=f(t)例：如图所示f1(t),f2(t),求f1*f2值解：用时移性求：f1(t)=2e-tu(t),f2(t)=u(t+1)-u(t-2)f1(t)*u(t)=2e-tdt=2(1-e-t)u(t)f1(t)*f2(t)=f1(t)*u(t+1)-f1(t)*u(t-2)=2(1-e-1(t+1)u(t+1)-21-e-(t-2)u(t-2)用微分性求：f1(t)*f2(t)=f1(t)dt*f2(t)f1(t)dt=2(1-e-t)u(t);f2(t)=(t+1)-(t-2)f1*f2=f1(t)dt*f2(t)=2(1-e-t)u(t)*(t+1)-(t-2)=21-e-(t+1)u(t+1)-21-e-(t-2)u(t-2) 第十章 连续时间系统的频域分析问题：若输入f(t)如图，如何求i(t)?求i(t)是本章要解决的问题之一。10.1周期信号的频谱分析傅里叶级数由高等数学可知，一个周期函数f(t)=f(tnT) n=0.1.2T为周期，满足狄里赫利条件即：(1) 在一周期内，函数f(t)只有有限个间断点，(2) 在一周期内，f(t)只有有限个极大值和极小值。(3) 在一周期内，f(t)绝对可积，则f(t)在区间（-，+）内可展成傅里叶级数。10.1.1傅里叶级数的三角形式1.f(t)=a0+(ancosnw1t+bnsinw1t)2.f(t)=a0+Ancos(nw1t+n)式中：a0=1/Tf(t)dt an=2/Tf(t)cosnw1tdtbn=2/Tf(t)sinnw1tdtw1=2/T为基波角频率，T为信号周期An= ;an=Ancosn; bn=Ansinn;n=-tg-1(bn/an)意义：任何周期信号只要满足条件，均可分解为直流分量，和一系列不同频率的谐波分量的迭加。这里an,An是频率nw1的偶函数，而bn是频率nw1的奇函数。例：P58页例10.1-1，10.1-210.1.2周期信号的对称情况通过上例10.1-1，10.1-2可知，波形的对称性与傅里叶级数有一定的关系，根据这种关系，可直接判断出哪些系数为零。1. f(t)为偶函数，满足f(t)=f(-t)对称于纵轴。系数关系，an=4/Tf(t)cosnw1tdt bn=0展开式中具有余弦项，直流分量a0可能有，也可能没有。2. f(t)为奇函数，f(t)=-f(-t)对称于原点。系数关系a0=0,an=0,bn=4/Tf(t)sinnw1tdt展开式中只有正弦分量。3.奇谐函数f(t)=-f(tT/2)半波镜象或半波对称。系数关系：a0=0展开式中只有奇次谐波分量n=1.3.54.偶谐函数f(t)=f(t/2)展开式中，只包含偶次谐波即n=0.2.410.1.3傅里叶级数的指数形式据欧拉公式：cos1t=1/2(ejn1+e-3jn1t) sinn1t=1/2j(ejn1t-e-ju1t)代入f(t)展开式中，f(t)=a0+(ancosn1t+bnsinn1t) =a0+(an-jbn/2)ejn1t+(an+jbn/2)e-jn1t设：F(n1)=1/2(an-jbn)则F(-n1)=1/2(an+jbn)an为n的偶函数，bn为n的奇函数f(t)=a0+F(n1)e3n1t+F(-n1)e-jn1t令F(0)=a0而F(-n1)e-jn1t=F(n1)e3n1tf(t)=F0+F(n1)e jn1t (n0)=F(n1)e jn1t式中F(n1)=1/2(an-jbn)=1/Tf(t)e-jn1tdtF(n1)称为n次谐波复数振幅 大小 相位|F(n1)|=1/2 =1/2An 为三角振幅的1/2，相位为-tg-1bn/an10.1.4周期信号的频谱1.频谱图f(t)=a0+Ancos(n1t+n)Ann1幅度频谱；nn1相位频谱例：图示方波付氏级数展开式为f(t)=4/(sin1t+1/3sin31t+1/5sin51t+)其中幅度频谱为：周期信号频谱的特点a. 离散性：谱限只在n1处有值，每根谱线代表一正弦量，谱线的大小表示每次谐波的幅度。b. 谐波性：谱线间距为1=2/T，且为1的整数倍。c. 收敛性：幅度的变化为随n1An2.矩形脉冲信号的频谱分析（1）频谱图脉冲宽度为，幅度为A,周期为T复振幅：F(n1)=1/Tf(t)e-jn1tdt=1/TAe-jn1tdt jA/n1t(ejn1t)|=(A/n)sinn1/2=(A/T)(sinn1/2)/n1/2=A/TSa(n1/2)其中：Sa(x)=sinx/x为抽样函数，且有x0 Sa(x)=1 x Sa(x)=0为衰减振荡正弦波则矩形脉冲的频谱图应是以抽样函数为包络线的离散频谱，当n1/2=m或n1=m(2/)(m=1.2.3)谱线包络经过零点，如第一零点为m=1，既n1=2/(2)A.T与各次谐波幅度关系A不变，T改变情况，T增大，1减小，则谱线变密，由于不变，则包络线过零点的位置2/不变，所以谱线间隔变小，由此可知，当不变，T增大时，谱线变密而频谱的振幅相应地减小，当T时，10离散频谱变为连续频谱。由图可知，因T不变，1不变， 故谱线疏密程度不会改变，由于小，但包络线经过零点的位置要右移，同时频谱振幅减小。（3） 有效频带（频宽）由于信号能量主要集中在低频分量中（0-2/），我们定义有效频宽为对于一般信号规定为从零频率到幅度下降到包络线最高点1/10倍时的频率范围。对于抽样函数其频带宽度为2/，可见脉冲宽度越窄，其有效频带宽度越宽。10.1.5求傅里叶级数的简便方法利用此方法，可免去计算积分运算，该方法只限于正弦、余弦、指数函数或分段直线方程。见P65页自学10.2周期非正弦信号作用下电路的稳态分析问题：如图已知u(t