高考数学 第五章 第四节数列求和课件 理.ppt

第四节数列求和 1 公式法与分组求和法 1 公式法直接利用等差数列 等比数列的前n项和公式求和 等差数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 2 分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组求和法 分别求和而后相加减 即时应用 1 2 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和sn 解析 1 1 2 3 10 2 sn 2 22 23 2n 1 3 5 2n 1 答案 1 2 2n 1 n2 2 2 倒序相加法与并项求和法 1 倒序相加法如果一个数列 an 的前n项中首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一个常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和即是用此法推导的 2 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 即时应用 1 函数y f x 的图象关于点 1 对称 则f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 2 若sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则s17 s33 s50等于 解析 1 由题意知f 1 x f x 2 设s f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 则s f 6 f 5 f 0 f 4 f 5 2s 12 2 s 12 2 由题意知 s17 9 s33 17 s50 25 s17 s33 s50 1 答案 1 12 2 1 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 即时应用 1 数列的前n项和为 2 已知数列 an 的通项公式是 若sn 10 则n 解析 1 由sn 10 即 1 10得n 120 答案 1 2 120 4 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如等比数列的前n项和就是用此法推导的 即时应用 1 已知数列 an 的前n项和为sn 且an n 2n 则sn 2 已知 则sn 解析 1 sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 2n 1 n 2n 1 2 sn n 1 2n 1 2 答案 1 n 1 2n 1 2 2 热点考向1分组转化求和 方法点睛 1 分组转化求和的通法数列求和应从通项入手 若无通项 则先求通项 然后通过对通项变形 转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和 2 常见类型及方法 1 an kn b 利用等差数列前n项和公式直接求解 2 an a qn 1 利用等比数列前n项和公式直接求解 3 an bn cn 数列 bn cn 是等比数列或等差数列 采用分组求和法求 an 的前n项和 例1 1 已知数列 则其前n项和sn 2 已知 求数列 an 的前10项和s10 求数列 an 的前2k项和s2k 解题指南 1 先求数列的通项公式 再根据通项公式分组求和 2 把奇数项和偶数项分开求和 规范解答 1 答案 2 s10 6 16 26 36 46 2 22 23 24 25 由题意知 数列 an 的前2k项中 k个奇数项组成首项为6 公差为10的等差数列 k个偶数项组成首项为2 公比为2的等比数列 s2k 6 16 10k 4 2 22 2k 5k2 k 2k 1 2 互动探究 若本例 1 中数列改为 3 33 333 试求其前n项和sn 解析 数列3 33 333 的通项公式an 10n 1 反思 感悟 解答本例 2 时应注意 其奇数项组成的等差数列和偶数项组成的等比数列的通项公式并不是题目中所给的解析式 可写出前n项寻找规律或将n 2k 1 n 2k代入求解 变式备选 求和 解析 1 当x 1时 sn 4n 2 当x 1时 热点考向2裂项相消法求和 方法点睛 1 应用裂项相消法应注意的问题使用裂项相消法求和时 要注意正负项相消时 消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 2 常见的拆项公式 例2 解答下列各题 1 2013 福州模拟 已知数列 an 的前n项和sn 求数列 an 的通项公式 令bn 求数列 bn 的前2011项和t2011 2 已知数列 4n 2n n n 的前n项和为sn bn 求数列 bn 的前n项和tn 解题指南 1 求出数列 an 的通项公式 裂项求和 2 求出sn并对sn进行分解 裂项bn即可 规范解答 1 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 经检验n 1时 a1 s1 1也满足上式 所以an n n n t2011 2 根据等比数列求和公式得sn 所以bn 所以tn 变式训练 已知数列 an 中各项均为正数 sn是数列 an 的前n项和 且sn an2 an 1 求数列 an 的通项公式 2 对n n 试比较与a2的大小 解析 1 sn an2 an 当n 1时 s1 a1 a12 a1 又 an 中各项均为正数解得a1 1 当n 2时 2an an2 an an 12 an 1 即an2 an an 12 an 1 2an 0 即an2 an 12 an 1 an 0 an an 1 an an 1 an 1 an 0 an an 1 1 an an 1 0 an 中各项均为正数 an an 1 1 0 即an an 1 1 n 2 an n n 2 又n 1时 a1 1 数列 an 的通项公式是an n n n 2 对n n sn是数列 an 的前n项和 热点考向3错位相减法求和 方法点睛 应用错位相减法应注意的问题 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 提醒 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 例3 数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 1 2sn n n 1 求数列 an 的通项公式an 2 求数列 nan 的前n项和tn 解题指南 1 根据an与sn的关系求an 2 用错位相减法求tn 规范解答 1 由an 1 2sn得an 2sn 1 n 2 an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 数列 an 从第2项起是公比为3的等比数列 又a2 2s1 2 2 tn a1 2a2 3a3 nan 当n 1时 t1 1 当n 2时 tn 1 4 30 6 31 2n 3n 2 3tn 3 4 31 6 32 2n 3n 1 得 2tn 2 4 2 31 32 3n 2 2n 3n 1又 t1 a1 1也满足上式 反思 感悟 解答本题 1 时 易把an错写成an 解答本题 2 求tn时 易盲目利用错位相减法直接求和 忽视了讨论n 1的情形 变式训练 已知等差数列 an 满足a2 0 a6 a8 10 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 的前n项和 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 解得故数列 an 的通项公式为an 2 n 2 设数列 的前n项和为sn 即故s1 1 所以 当n 1时 所以 又 s1 a1 1也满足上式 sn n n 变式备选 已知单调递增的等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若 sn b1 b2 bn 求使sn n 2n 1 50成立的正整数n的最小值 解析 1 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 依题意 有2 a3 2 a2 a4 代入a2 a3 a4 28 得a3 8 a2 a4 20 解得又数列 an 单调递增 q 2 a1 2 an 2n 2 sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 得sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 又sn n 2n 1 50 即2n 1 2 50 2n 1 52 又当n 4时 2n 1 25 32 52 当n 5时 2n 1 26 64 52 故使sn n 2n 1 50成立的正整数n的最小值为5 1 2012 大纲版全国卷 已知等差数列 an 的前n项和为sn a5 5 s5 15 则数列的前100项和为 a b c d 解析 选a 设 an 的公差为d 则有解得a1 1 d 1 则an n 设数列的前100项和为t100 t100 2 2013 福州模拟 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 则该数列的前20项的和为 解析 当n为奇数时 an 2 an 1 故奇数项是首项为1 公差为1的等差数列 其前10项之和等于当n为偶数时 an 2 2an 故偶数项是首项为2 公比为2的等比数列 其前10项之和为所以 数列 an 的前20项之和为55 2046 2101 答案 2101 3 2012 山东高考 在等差数列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 1 求数列 an 的通项公式 2 对任意m n 将数列 an 中落入区间 9m 92