二项式定理与多项式定理.doc

高中数学研究性学习案例分组问题 二项式定理 多项式定理1固定分组问题例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种：（1）4位学生每人3本；（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本；（3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本解 （1）先从12本书中选取3本分给甲，有种方法；当甲分得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有种方法；类似可得,丙、丁的分法分别有、种,由乘法原理得所求分法共有=369600种；（2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为=207900；（3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为=83160在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的本数，我们称之为固定分组问题我们将这个问题总结成如下一般定理：定理1 将n个不同的元素分成带有编号从1，2，r的r个组：，使得有n1个元素，有个元素，有个元素，则不同的分组方法共有种证明 先从n个不同的元素中选取n1个分给，这一步有种方法；再从剩下的个元素中选取个分给，这一步有种方法；如此继续下去，最后剩下的个元素分给，有种方法，由乘法原理得这样的固定分组方法共有=种证毕我们将定理1的分配问题简称为（）固定分组问题2不尽相异元素的全排列 多项式定理固定分组数有多种组合学意义，除了表示固定分组的方法数外，它还有以下两种表示意义：（1）不尽相异元素的全排列种数有r类元素，其中第k类元素有个（k=1，2，r），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，。则这r类n个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数。例2 （06年高考江苏卷（理）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）解 9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有种方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有种方法，由乘法原理得所求的排列方法共有=1260种评注：对于固定分组数，除了表示固定分组的方法数外，它还表示r类共n个（不尽相异）元素的全排列数，其中第k类元素有个（k=1，2，r），同类元素不加区分，（2）多项式定理的系数在的展开式中，项的系数等于固定分组数。例如在的展开式中，项的系数为=，这正是我们所熟悉的二项式系数。有如下的多项式定理：多项式定理 设n是正整数，则对一切实数 x1 ，x2，xr 有 （*）其中求和是对满足方程 n1+n2+nr = n 的一切非负整数n1，n2，nt 来求。因为r元方程n1+n2+nr = n的非负整数共有组，所以在的展开式中共有个不同的项。多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理 。例3 写出的展开式中项与项的系数解 先求项的系数是10个括号的连乘积，将这10个括号看成10个元素，从中先取出4个括号作为第一组，在每个括号中都取x；再从剩下的6个括号中取出3个作为第二组，在每个括号中都取y；再从剩下的3个括号中取出2个作为第三组，在每个括号中都取z；最后的剩下的1个括号作为第四组，从中取w这样取出的4个x，3个y，2个z，1个w的连乘积就是项，由定理1知，上述取法就是（10；4，3，2，1）固定分组问题，于是在展开10个括号的连乘积时，项有=12600个同类项，所以此项的系数是12600同理可得项的系数是=25200 例4 （94年全国高考题）有甲、乙、丙三项不同的任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选取4人担任这三项工作，有多少种不同的分配方法？解：从10人中选取4人，有对于取定的4人，让他们担任这三项工作，为（4；2，1，1）固定分组问题，故所求分配方法共有种注：一般地，设有、，共r项不同的工作，工作需个人承担（，现从个人中选取n个人做这r项工作（），则不同的分配工作方法共有种例5 （07年全国高考理2（必修+选修）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（A）40种 （B）60种 （C）100种 （D）120种解从5人中选取4人，有对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，为（4；2，1，1）固定分组问题，由定理1及乘法原理得所求选派方法共有种故选B例6 （06年高考天津卷（理）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有A10种 B20种 C36种 D52种解 放球方法即分组方法满足条件的放球方法可分成两类：（4；1，3）固定分组问题；（4；2，2）固定分组问题，它们分别有，种放球方法，故所求放球方法共有+=4+6=10种故选A评注：对于类似例3这样的不能直接按固定分组解决的问题，如果能够按各个组（盒子）允许放的元素（球数）将问题分成互不相交的若干类，使得每一类都是固定分组问题，则可按固定分组分别计算这些类再相加即可例7 （07年全国高考1（文）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（A）36 种 （B）48 种 （C）96 种 （D）192种解 因每人都是从4门课程中选课，故甲、乙、丙3人的选课方法分别有种，由乘法原理得所求选修方案共