几何法证明不等式(精选多篇)

几何法证明不等式(精选多篇) 第一篇：几何法证明不等式 第二篇：不等式的导数法证明 第三篇：比较法证明不等式 第四篇：g3.1038 不等式的证明比较法 第五篇：函数法证明不等式 更多相关范文 几何法证明不等式 用解析法证明不等式： 2 (a,br，且ab) 设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(ba)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)2,经化简有(b+a)2=4ab,所以有(a+b)/2)2=ab,又因为(a2+b2)/2=ab,所以有(a+b)/2)2=(a2+b2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号 可以在直角三角形内解决该问题 =2-(a2+b2)/2 =/4 =-(a-b)2/4 0 构造二次函数f(x)=ax2+2bx+c，展开得： f(x)=(ai2x2+2aibix+bi2)=(aix+bi)20 故f(x)的判别式=4b2-4ac0， 移项得acb，欲证不等式已得证。 . 不等式的导数法证明 作者：王锁平 ：新高考高二数学xx年第02期 比较法证明不等式 1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b0ab;a-b0ab”。其一般步骤为：作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，br+，a/b1ab;a/b1ab”。其一般步骤为：作商：将左右两端作商;变形：化简商式到最简形式;判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：ab1b2b3bnb，即从已知a逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论b。 ab0,求证：aabb(ab)a+b/2 因aa*bb=(ab)ab, 又aba+b/2 故aa*bb(ab)a+b/2 已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca-4. 用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4 下面这个方法算不算“比较法”啊? 作差m=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4 构造函数m=f(c)=(a+b)c+ab+4 这是关于c的一次函数(或常函数)， 在坐标系内，其图象是直线， 而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)0(因为a2,b0(因为a-2,b-2) 所以函数f(c)在c(-2,2)上总有f(c)0 即m0 即ab+bc+ca+40 所以ab+bc+ca-4 设x,yr,求证x2+4y2+22x+4y (x-1)?0 (2y-1)?0 x?-2x+10 4y?-4x+10 x?-2x+1+4y?-4x+10 x?+4y?+22x+4x 除了比较法还有： 求出中间函数的值域： y=(x2-1)/(x2+1) =1-2/(x2+1) x为r， y=2/(x2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校 所以有： -1=y=1-2/(x2+1)0ab，欲证ab只需证a-b0; 作商比较，要点是：作商变形判断。 这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。 当b0时，ab1。 比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等) 综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与数量的关系，一直到求出数量的解题方法。 g3.1038 不等式的证明比较法 一、基本知识 1、求差法：ab? ab0 a2、求商法：ab0?1并且b?0 b 3、用到的一些特殊结论：同向不等式可以相加（正数可以相乘）；异向不等式可以相减； 4、分析法执果索因；模式：“欲证?，只需证?”； 5、综合法由因导果；模式：根据不等式性质等，演绎推理 6、分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达. 二、基本训练 1、已知下列不等式: (1)x2?3?2x(x?r) (2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?r)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正确的个数为 ?() (a)0(b)1(c) 2(d) 3 2、1ab0，那么?（） a?ba?b(a)aabb(b) baba22 a?ba?b(c) abab(d) abab 22 ?3、如果ba，则ba的取值范围是?（） 22 ?(a)?ba0(b) ?ba?(c) ba0(d) ba222 4a4、已知a?2,那么（填“”或者“ a5、若a?1，0?b?1，则logb a?logb的范围是_ 6、若a?b?c?1，则a2?b2?c2的最小值为_ 三、例题分析： 例1、求证：若a、b0,n1,则an?bn?an?1b?abn?1 例2、已知：a、b ? 例3、a、b、c、d、m、n全是正数，比较p=ab?cdq=ma?nc? 例4、比较aabb与baab(0?a?b)的大小。 变题：求证：ab?(ab) 例5、ar，函数f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?的大小. mn(a?0,b?0) (1)判断此函数的单调性。 n2(2)f(n)=,当函数f(x)?a?x为奇函数时，比较f(n),f(n)的大小. n?12?1 例6、设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的两个根x1、x2满足0?x1?x2?1。 a （1） 当x?(0,x1)时，证明：x?f(x)?x1 （2） 设函数f(x)的图象关于直线x?x0对称，证明：x0? 四、同步练习：g3.1038 不等式的证明比较法 1、不等式：x332x；a5b5 (a)、(b) 、(c) 、(d) 、 2、 对x?r都成立的不等式是? () (a)lg(x2?1)?lg2x (b) x2?1?2x(c) 3、0a1，f=2a，g=1?a，h=12(d)x?4?4x?12x?11，那么f、g、h中最小的是?（） 1?a (a)f(b) g(c) h(d) 不能确定 4、ab0，则下列不等式恒成立的是?（） b2?1b22a?bb11(a)?2(c)a?b?(d) aabb ?(b)2a?2baaba?1a 5、x100，那么lg2x,lgx2,lglgx从大到小的顺序为. 7(2x?2y)6、若x、y满足y?x2，则式log2?的符号是_。 8227、a0，b0，ab=1，比较m=xy与n=(axby)2(bxay)2的大小. 8、比较xn?1?yn?1与xny?xyn(n?n,x,y?r?)大小 9、已知abc的外接圆半径r=1，s?abc? t?111?。求证：t?s abc1，令s?a?c，b、a、c是三角形的三边，4 ?a2?b2a?b2?() 10、设a、b为实数，求证：42 11、已知正数a、b、c满足a?b?2c，求证： （1）c2?ab （2）c?c2?ab?a?c?c2?ab 答案：ddad5、lg2xlgx2lglgx6、“+”、m?n.8、xn?1?yn?1?xny?xyn 函数法证明不等式 已知函数f(x)=x-sinx,数列an满足0 证明0 证明an+1 它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊? (推荐打开)1)f(x)=x-sinx,f(x)=1-cosx 00,f(x)是增函数,f(0) 因为0 且an+1=an-sinan (2)求证不等式即(1/6)an3-an+1=(1/6)an3-an+sinan0 构造函数g(x)=(1/6)x3-x+sinx(0 g(x)=x-sinx,由(1)知g(x)0,所以g(x)单增,g(x)g(0)=0 所以g(x)单增且g(x)g(0)=0,故不等式成立 因此an+1 证毕! 构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式 【例1】证明不等式：(人教版教材p23t4) 证明：构造函数f(x)=(x0) 则f(x)=1-在上单调递增 f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|a+b| f(|a|+|b|)f(|a+b|)即所证不等式正确。 点评：本题还可以继续推广。如：求证：。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如： p14第14题：已知cab0,求证: p19第9题:已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证： p12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a二、利用分式函数的奇偶性证明不等式 【例2】证明不等式：(x0) 证明：构造函数f(x)= f(-x)= =f(x) f(x)是偶