第2章 自动控制理论基础

第2章传统控制方法简介 2 1控制系统数学模型 2 2控制系统时域分析 2 3根轨迹法 2 4控制系统频域分析 2 5离散系统简介 2 1控制系统数学模型 第2讲 定义 凡揭示控制系统各变量内在联系及关系的解析式或图形表示 分类 静态模型 在静态条件下描述各变量间关系的数学方程 动态模型 用微分 或差分 方程描述的各变量动态过程中的关系 表示形式 图形表示 信号流图 方块图及频率特性图 数学表示 微分 差分 方程 传递函数或频率特性 状态空间 数字计算机上的程序综合 建模方法 分析方法 从物理化学规律出发 通过分析和推导 建立数学模型 实验法 经典控制理论中常用数学模型 传递函数传递函数定义 在线性定常系统中 初始条件全为零时 系统或部件输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 拉氏变换 函数的拉氏变换定义如下 称为函数的拉氏变换 象函数 S为拉普拉斯算子 拉氏变换的用处之一 将微分方程两边同时求拉氏变换后解方程 对结果进行反拉氏变换 即可得微分方程的解 因此 简化求解过程 常用环节的传递函数比例环节惯性环节如直流电机的励磁回路 回路电感L和电阻R 当励磁电压输入u时 其输出励磁电流i就相当于一个惯性环节 积分环节如下电路 微分环节如下述电路 相当于一个惯性环节和一个微分环节的组合 只有当RC远远小于1时 相当于微分环节 传递函数的求取方法 1由微分方程经拉氏变换求取 线性定常系统可由微分方程描述 当初始条件全为零时 两边进行拉氏变换 可得传递函数为 此公式同后面进行稳定性判据的公式之间有区别 注意 由方框图 信号流图求取 参阅有关自动控制书籍 下面以方框图求取传递函数为例加以讲解 1 方框图的建立 1 列写描述实际控制系统中每个物理部件动态特性的方程式 并且表示成线性方程的形式 注意 所得系统方程个数应与这些方程中所含未知变量 输出变量及中间变量 不含输入变量 的个数相等 2 在零状态下 对所得时域方程进行拉氏变换 并将结果整理成频域中线性代数方程组形式 3 绘制每一代数方程的局部方框图 然后把它们互连起来 构成一个整体 即得全系统方框图 2 方框图的化简规则 1 相邻点的相加与合并 2 串联方框的合并 3 并联方框的合并 4 方框与相加点前后交换 5 方框与分支点前后交换 6 相加点与分支点前后交换 7 单环反馈的化简 U Y 3 有关概念前馈通路 从系统输入端U S 沿箭头到输出端Y S 的通路 前馈传递函数 G S 反馈通路 输出Y S 经中间环节反馈到输入端相加点为止的通路 反馈传递函数 H S 误差信号 输入信号U S 与反馈信号B S 之差 开环传递函数 G0 S 反馈信号B S 与误差信号E S 之比 闭环传递函数 GC S 输出信号Y S 与输入信号U S 之比 4 例如下图所示电枢电压控制式直流电机控制系统 其中 各符号含义如下 求输出为电机转角 输入为电枢电压的系统传递函数 ua 电枢控制电压 V 旋转角位移 角速度 mL 负载转矩 ea 电枢反电动势 ia 电枢电流 Ra La 电枢回路等效电阻及等效电感 解 由物理定律可得 经拉氏变换后如下 注 me 电磁转矩 J D转动惯量及阻尼系数 k1 k2为比例系数 绘制方框图 整理得 若不考虑负载转矩ML 试根据方框图化简规则化简 2 2控制系统时域分析系统性能与系统微分方程之间的联系 任何一个物理系统其微分方程的解分为两个部分 动态解 特解 和稳态解 通解 动态解 特解 反应了系统在响应的过渡期间输出量偏离输入量的程度 系统响应达到稳态所需要的时间等 稳态解 通解 反应了稳态误差 系统性能与系统传递函数之间的联系 传递函数能反应系统的所有性能 2 2 1控制系统的动态特性性能与输入信号类型之间的关系典型输入函数 1 单位阶跃函数 2 单位冲击函数 3 单位斜坡函数 4 单位抛物线函数 注意 1 研究系统暂态性能指标时一般采用单位阶跃输入 原因 它是突变的不连续信号 若系统对单位阶跃输入具有很好的暂态响应 则对于实际输入信号系统都会具有满意的暂态性能 2 研究稳态误差时 必须首先确定系统的输入类型 因为系统的输入类型不一样 稳态误差也大不一样 一阶系统暂态性能 第三讲 微分方程为 传递函数为 实例 如右图所示的电路图 微分方程为 传递函数为 若取误差限为5 调整时间 ts 3RC 若取误差限为2 ts 4RC 二阶系统的暂态响应高阶系统在一定条件下往往可近似为二阶系统进行分析 二阶系统数学模型微分方程 传递函数 特征方程 特征根 性能指标与闭环极点位置之间的关系闭环传递函数除了前述的表示方式以外 还可以将分子 分母进一步分解为如下式子 由前述讨论可知 典型二阶系统的全部性能只由两个参数 n所确定 而根据闭环极点S1 S2和S平面上的位置又可确定出对应的 n 因此 只要闭环极点的位置确定 该系统的全部性能也就被完全确定了 1 上升时间tr取tr t90 t10 根据有关公式可得 即 由上式可画出等tr曲线 只要闭环极点不落入某一等tr曲线与虚轴所包围的区域以内 那么 系统的实际上升时间就小于该区域边界相对应的上升时间 2 过调量MP 根据响应曲线 求峰值时间tP 带入即得MP MP唯一由阻尼比 确定 一般 取0 4 0 8 MP对应范围为 26 1 5 由上式可以得到等MP线族图如下 分析 MP 73 0 1 2 2 4 6 8 0 4 6 8 j MP 9 5 0 6 MP 0 25 0 9 MP 73 0 1 MP 9 5 0 6 MP 0 25 0 9 1 0 3 调整时间tS 采用暂态响应曲线的包络线 由此求得 上式说明 调整时间与闭环极点到虚轴的距离成反比 等tS曲线如下 tS 8 2 2 4 6 8 0 4 6 8 j tS 4 tS 2 tS 1 tS减小 4 等MP tr tS曲线的用途 将三线族重叠在一个S平面上 那么根据极点位置就可得系统的有关动态特性参数 反过来 如果给定动态特性参数MP tr tS 就可利用图求出希望的闭环极点位置 从而确定二阶系统的有关结构参数 2 2 2时域条件下系统的稳定性分析线性系统稳定的充分必要条件线性系统动态方程 充分必要条件是 系统特征方程的所有根位于复平面虚轴的左面 Routh稳定判据由特征方程列Routh阵列表 其中 对于阵列表 注意 1 行数等于特征方程次数加1 最后两行的每一行只有一个元素 2 表中第一列元素变化的次数等于系统特征方程所具有的正实部根的次数 3 当系统的特征方程为代数方程 并且所有系数皆为实数时 Routh稳定判据才可用 判定充要条件 1 系统特征式中各项系数全部同号 且无一系数为零 2 Routh阵列表首列不改变符号 应用 1 判别系统稳定性 2 确定系统稳定的一个或两个参数的取值范围 例 某系统特征方程为 S3 6S2 5S K 0 求使系统稳定的K取值范围 3 Routh阵列表中某行第一列系数等于0 此行其余项不全为零或无其它元素 以一无穷小正数 代0 继续列表 例 某系统特征方程为 S3 3S 2 0 判断系统稳定性 系统不稳定系统有两个实部为正的实根 2 2 3控制系统参考输入作用下的稳态误差稳态误差的定义由右图可得 对于稳定系统 稳态误差为 系统按稳态误差划分的型系统开环传递函数可表示为 系统根据N的取值 N 0 1 2 3 分别将系统称为N 0 1 2 3 型系统 三稳态误差分析单位阶跃输入 误差计算公式为 当N取不同的值时 误差如下 结论 在阶跃输入作用下 1型及以上的系统为无差系统 单位斜坡输入 误差计算公式 当N取不同的值时 误差如下 结论 在阶跃输入作用下 2型及以上的系统为无差系统 3单位抛物线输入 误差计算公式 当N取不同的值时 误差为 结论 在阶跃输入作用下 3型及以上的系统为无差系统 小结 系统按稳态误差划分的型越高 系统的稳态响应跟踪参考输入的能力越强 但从稳定性的观点来看 N越大 系统越难保持稳定 N 1常用 最大不超过2 2 3根轨迹法一基本概念 闭环系统的动态性能与闭环极点在S平面的位置密切相关 系统闭环极点就是特征方程的根 根轨迹概念 当系统的某一或某些参数变化时 特征方程的根在S平面上运动的轨迹 根轨迹法 求解系统特征方程的根的图解方法 根轨迹法操作 在已知系统开环零 极点的条件下 绘制系统特征方程的根 闭环传递函数的极点 在S平面上随参数变化运动的轨迹 常规根轨迹 以系统开环增益为变量 绘制的根轨迹 一个典型系统的常规根轨迹分析例1如下图所示的系统 开环传递函数 极点 P1 0 P2 a闭环传递函数 闭环传递函数特征方程 闭环传递函数特征方程的根 该系统的常规根轨迹图如下 注意 1 对应于系统的过阻尼状态 2 对应于系统的临界阻尼状态 3 对应于系统的欠阻尼状态 衰减震荡 Ts不变 二基本条件与基本规则 根轨迹绘制的幅值条件与相角条件特征方程为 幅值条件 相角条件 复平面上的任意一点 只要满足幅值条件和相角条件 就是系统特征方程的根 就必在根轨迹上 开环传递函数的零 极点与幅值条件 相角条件之间的关系开环传递函数 根据幅值条件可得 由相角条件可得 实际绘制根轨迹时 可由相角条件确定根轨迹上的点 由幅值条件确定此点对应的开环增益值 可根据开环传递函数的零 极点来绘制根轨迹图 2绘制根轨迹的基本规则 规则一 系统的根轨迹的各分支是连续的 而且对称于实轴 特征方程的根或为实根 或为共轭复数 规则二 当K1 0时 根轨迹的各分支从开环极点出发 当K1 时 有m条分支趋向开环零点 另有n m条分支趋向于无穷远处 只有S Pi 才有K1 0 起于开环极点只有Szj或S 规则三 在S平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是 在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数 例设控制系统的框图如下图所示 试绘制系统的根轨迹图 规则四 根轨迹中 n m条趋向无穷远处分支的渐近线相角为 证明 从有限的开环零 极点到位于渐近线无穷远处的一点的向量的相角是基本相等的 因此 相角条件可以写成 规则五 伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴交于一点 其坐标为 满足如下条件 例 某控制系统的开环传递函数如下 试绘制其根轨迹图 解 渐近线与实轴的交点坐标如下 规则六 复平面上根轨迹的分离点必须满足方程 例 求上图中b点的坐标 解 系统特征方程为 所以有 求解上述方程得 由于分离点必在0与 1之间 因此只能是 0 423 规则7 在开环复数极点处 根轨迹的出射角以及在开环零点处 根轨迹的入射角满足如下式子 为其它开环零 极点对出射点或入射点提供的相角 规则8 根轨迹与虚轴的交点可用S j 代入特征方程求解 3根轨迹的应用 1 可根据系统闭环零 极点的位置与暂态响应 系统稳定性之间的关系 确定系统性能 系统闭环极点在S平面的左半部分 则系统稳定 系统闭环极点均为负实数 而且无零点 则系统的暂态响应一定为非振荡的 响应时间主要取决于距离虚轴最近的极点 如果系统中存在距离非常接近的闭环极点和零点 其相互距离比其本身的模小一个数量极以上 则把这一对闭环零 极点称为偶极子 在一般情况下 偶极之对暂态性能的影响可以忽略 2 基于上述相关关系 可进行基于根轨迹的系统校正 2 4控制系统频域分析1原因 时域分析特别是高阶系统的时域分析 用解析法求解很困难 而在通讯系统中发展起来的频域分析法可以分析系统的稳定 稳态和暂态性能 2定义 在正弦输入信号的作用下 系统输出的稳态分量称为频率响应 系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性 幅频特性 相频特性 特点 1 频率特性虽然是一种稳态特性 但可以用它来分析系统的稳定 稳态和暂态性能 2 频率特性有明确的物理意义 可以用试验方法加以确定 3 可以根据系统开环频率特性去判断闭环系统的性能 并且比较方便地分析系统中的参量对系统暂态响应的影响 从而指出改善的途径 4 频率特性主要适用于线性定常系统 与输入信号的幅值和相位无关 5 频率特性的基础是傅立叶变换 2 4 1频率特性及其与时域响应的关系 频率特性与时域响应的关系例如右图所示的系统 求当输入时的输出响应 解 微分方程为 系统的传递函数为 输入的拉普拉斯变换为 输出为 设 进行反拉氏变换后 输出的时域响应如下 上式 第一项输出的暂态分量 随时间增加趋近于零第二项输出的稳态分量 为一与输入同频率的正弦量 但幅值和相位角不同 决定于若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示 并求输出与输入的复数比 可得如下式子 其中 上式中 对于线性定常系统输入输出关系的分析如下 在正弦输入的情况下线性定常系统的稳态响应仍然是正弦函数 二频率特性的求取上述系统传递函数为 系统频率特性为 对比上述两式 将传递函数中的S换为j 即得频率特性 系统频率特性的标准式 三频率特性的图示方法极坐标图 乃奎斯特图 定义 采用极坐标系的频率特性图 上述RC系统的极坐标图如右 伯德图 Bode图 将频率特性画成对数坐标图的形式 对数幅频特性 纵坐标 单位dB 线性分度横坐标频率值采用对数分度 对数相频特性 纵坐标是相角值 线性分度横坐标频率值采用对数分度 上述RC系统的Bode图如右图 使用Bode图的优点 1 对频率特性取对数后 其中各因子之间的乘除运算便转换成了加减运算 2 由上述公式可知 幅值和相角都是由各因子的叠加而成 对分析不同环节的作用以及由某些环节综合为一整体都是非常方便的 3 可以由折线构成的具有较高精度的渐近特性近似替代精确的Bode图 绘制会非常方便 2 4 2基本因子Bode图及绘制 一基本因子Bode图比例因子 L dB 0 01 0 1 1 10 0 20 10 L 100 30 0 01 0 1 1 10 100 2积分因子 L dB 0 01 0 1 1 10 0 20 10 L 100 30 0 01 0 1 1 10 100 3一阶滞后因子 L dB 0 20 10 L 30 二阶滞后因子注意 逆因子的Bode图频率特性的倒数 称为逆因子 积分因子的逆为微分因子 一阶滞后因子的逆为一阶超前因子 二阶滞后因子的逆为二阶超前因子 任一频率特性与其逆 其Bode图关于横轴互成镜像关系 Bode图的合成 1 分解 将频率特性分解为若干个基本因子的乘积 2 排序 求出各因子的转角频率 并按如下方式进行排序 比例因子排第一 积分因子或微分因子第