《随机信号分析》PPT课件

1 108 随机信号分析 2 116 第2章随机信号 3 116 2 1定义与基本特性2 2典型信号举例2 3一般特性与基本运算2 4多维高斯分布与高斯信号2 5独立信号 目录 4 116 2 1定义与基本特性 2 1 1概念与定义1 典型例子 1 贝努里实验 其样本空间只有两个样本点 即只有两个可能结果 A和 在掷币实验中 贝努里随机变量可以表示为 5 116 有概率若重复在t n n 1 2 时刻上 独立进行相 同的掷币实验 构成一随机变量序列 6 116 则有其概率 7 116 所有随机变量序列的集合就是随机信号 每一个随机变量序列称为一个样本 也叫一个实现 8 116 2 时间连续的随机现象观察电阻上的噪声电压 可能有不同的波形 每一个波形称为样本函数 也叫一个实现 所有波形的集合就是随机信号 9 116 2 随机信号的定义定义 设随机实验的样本空间 对于空间的每一个样本 总有一个时间函数与之对应 对于空间的所有样本 可有一族时间函数与之对应 这族时间函数称为随机信号 定义 设是随机实验E的样本空间 若对于每个样本点 都有唯一的实数与之对应 且对于任意实数 都有确定的概率与之对应 则称为随机变量 10 116 3 随机信号的表征 数学模型 1 在任意给定时刻 随机信号是一个随机变量 随机信号可视为许多随机变量的集合 X t 1 X t 2 X t 3 X t 4 X t1 X t2 X tn X t t 11 116 n 0 1 12345678910 12 116 2 随机信号可视为所有样本函数的集合 X t 1 X t 2 X t 3 X t 4 X t t 13 116 n 0 1 12345678910 n 0 1 12345678910 14 116 3 当时刻t与样本都固定时 随机信号是一个实数 称之为状态 X t 1 X t 2 X t 3 X t 4 X t t t1 n 0 1 12345678910 15 116 4 当时刻t与样本都发生变化时 就构成随机信号的完整概念 16 116 4 随机信号的分类及举例 1 时间离散 取值离散D R Seq 例 贝努里r s 17 116 例 一脉冲信号发生器传送的信号 2 时间连续 取值离散D R P 18 116 3 时间连续 取值连续C R P 例 正弦型信号 19 116 4 时间离散 取值连续C R Seq 例 每隔单位时间对噪声电压抽样 20 116 2 1 2基本概率特性1 例子 21 116 22 116 23 116 2 一阶 维 概率分布和密度函数 一阶概率分布函数定义 一阶概率密度函数定义 24 116 t x fX x t 25 116 2 1 26 116 联合密度函数 联合分布函数 离散型二维随机向量的概率特性 27 116 28 116 3 二阶 维 概率分布和密度函数 二阶概率分布函数定义 二阶概率密度函数定义 4 分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量 29 116 2 1 3基本数字特征 任取t时 随机变量X t 的统计平均 定义为 1 随机信号的均值 30 116 对R Seq 31 116 例 求随机过程正弦波的数学期望 方差及自相关函数 式中 为常数 是区间 0 上均匀分布的随机变量 解 由题可知 1 同理 32 116 2 可知 33 116 3 34 116 2 随机信号的自相关函数任取时 两个随机变量的相关矩 定义为 C R Seq D R Seq 可同理写出 35 116 自相关函数的性质 1 相关的概念表征了随机信号在两时刻之间的关联程度 2 同一时刻之间的相关性大于等于不同时刻之间的相关性 3 实际中的大多数随机信号 当两观察时刻越远 相应随机变量的相关性通常越弱 4 自相关函数具有功率的量纲 36 116 3 随机信号的协方差函数与方差函数 1 协方差函数任取时 两个随机变量的联合中心矩 定义为 C R Seq D R Seq 可同理写出 37 116 当时 协方差函数退化为方差函数 2 方差函数 C R Seq D R Seq 可同理写出 38 116 X t 的均方差 或标准差 函数为 39 116 4 相关系数类似于随机变量的相关系数 定义为 同样 有关系式 当时 40 116 2 1定义与基本特性2 2典型信号举例2 3一般特性与基本运算2 4多维高斯分布与高斯信号2 5独立信号 目录 41 116 2 2典型信号举例 2 2 1随机正弦信号 电路与系统中 几乎总要产生 发送与接收正弦振荡信号 它本质上都是随机的 部分或全部是随机变量 42 116 43 116 随机相位信号 随相信号 讨论随相信号X t 的基本特性 1 均值 44 116 2 自相关函数 45 116 46 116 都服从一维高斯分布 4 一阶概率密度函数 47 116 2 2 2伯努利随机序列 48 116 n X n n 0 1 12345678910 X 9 n X n 1 0 1 12345678910 数字通信中 串行传输的二进制比特流是伯努利序列 是通信中最常用的数学模型之一 49 116 1 均值2 自相关函数 讨论伯努利随机序列X n 的基本特性 50 116 3 一阶概率密度函数 51 116 2 2 3半随机二进制传输信号 52 116 t t t 53 116 54 116 均值 讨论半随机二进制传输信号X t 的基本特性 55 116 2 自相关函数令若位于同一时隙 有 若位于不同时隙 有 合并两种情况 有 则 则 56 116 当 有 57 116 3 一阶密度函数 58 116 随机信号还可以分为 可预测随机信号 或称确定的随机信号 信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确定 即样本函数有确定的形式 不可预测随机信号 或称不确定的随机信号 信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过去的观测值确定 即样本函数没有确定的形式 59 116 2 1定义与基本特性2 2典型信号举例2 3一般特性与基本运算2 4多维高斯分布与高斯信号2 5独立信号 目录 60 116 2 3一般特性与基本运算 1 n维概率分布与密度函数n个随机变量的n维联合概率分布函数为 2 3 1n阶概率特性 61 116 则称为其n维概率密度函数 如果存在 使 2 n维特征函数 任取与 62 116 1 随机信号的n m维联合概率分布和密度函数两个不同r s X t 与Y t 之间的联合概率特性 对随机信号X t 任取时 获得n个随机变量 2 3 2联合特性 对随机信号Y t 任取时 获得m个随机变量 63 116 X t t sm Y t t 64 116 定义n m维联合概率分布函数为 定义n m维联合概率密度函数为 65 116 2 随机信号的互相关函数与互协方差函数两个不同随机信号X t 与Y t 的联合矩特性 互相关函数定义为 互协方差函数定义为 66 116 互相关系数定义为 67 116 68 116 3 两个随机信号正交 线性无关与统计独立 1 正交 对于任意时刻 都有则称X t 与Y t 正交 2 线性无关 对于任意时刻 都有 则称X t 与Y t 线性无关 69 116 3 统计独立 对于X t 和Y t 的任一组随机变量 都有 则称X t 与Y t 彼此统计独立 两个随机信号的正交 线性无关与统计独立三者关系与两个随机变量间的完全相同 70 116 统计独立性 线性无关性和正交性的关系1 两个随机信号统计独立 它们必然是线性无关的 2 两个随机信号线性无关 不一定互相独立 3 在两个随机信号中任一均值为零时 线性无关性与正交性是等价的 4 在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零时 它们不是线性无关的 也不是相互正交的 71 116 a 一般情况下 72 116 当和均为高斯随机信号时 统计独立性和线性无关性是等价的 b 高斯随机信号 进一步 且有一个均值为零时 独立性 线性无关性和正交性三者是等价的 c 高斯随机信号 且有一个均值为零 73 116 若X t 与Y t 正交 则 若X t 与Y t 无关 则 解 74 116 2 3 3相关函数与协方差函数的性质 性质1 随机信号X t 的自相关函数等满足 1 对称性 2 均方值为非负实数 3 方差为非负实数 4 75 116 2 3 对信号进行中心化与归一化处理 则有 性质2 随机信号X t 与Y t 的联合矩特性满足 1 对称性 76 116 77 116 78 116 2 1定义与基本特性2 2典型信号举例2 3一般特性与基本运算2 4多维高斯分布与高斯信号2 5独立信号 目录 79 116 2 4多维高斯分布与高斯信号 2 4 1多维高斯分布 一维高斯分布 记为 1 一维与二维高斯分布 80 116 一维高斯分布的特征函数为 81 116 二维高斯分布 记为 82 116 二维高斯分布的特征函数为 83 116 2 4 3高斯随机信号1 定义 84 116 2 高斯随机信号的概率特性与数字特征 均值函数 自相关函数 协方差函数 方差函数 记为 85 116 概率密度函数 特征函数 一阶 86 116 2 经过线性变换 或线性系统 后仍然是