高中数学 4.2.2 最大值、最小值问题配套多媒体教学优质课件 北师大版选修11.ppt

2 2最大值 最小值问题 汽油的消耗量 单位 l 与汽车的速度 单位 km h 之间有一定的关系 汽油的消耗量是汽车速度的函数 根据你的生活经验 思考下面两个问题 1 是不是汽车的速度越快 汽油的消耗量越大 2 汽油的使用率最高 的含义是什么 解析 1 显然不是 2 行驶里程一定汽油消耗量最小 今天我们来学习有关最大值与最小值的问题 飞驰的汽车 1 理解最值的概念 了解函数的极值与最值的区别与联系 重点 2 掌握用导数求函数最值的方法 会解决一些生活中的优化问题 难点 函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 f x0 函数y f x 在区间 a b 上的最小值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 f x0 函数的最大值和最小值统称为 探究点1函数的最值的概念 最值 不超过 不小于 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图像 你能找出函数y f x 在区间 a b 上的最大值 最小值吗 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 练一练 探究点2求函数f x 在区间 a b 的最值 问题1 f x x 1在以下区间上的最小值与最大值 x 2 0 x 2 4 x 2 4 f 2 f 0 f 2 f 4 f 2 f 4 问题2f x x2 2x 3在以下区间上的最小值与最大值 x 2 0 x 2 4 x 2 4 f 0 f 2 f 2 f 4 f 1 f 2 或f 4 问题3f x x3 3x 3在以下区间上的最小值与最大值 x 2 0 x 2 4 x 2 4 f 2 f 1 f 2 f 4 f 2 或f 1 f 4 观察并总结函数最值点取值的规律 函数f x 在区间 a b 上最值的取值规律 函数的最值或者在极值点取得 或者在区间的端点取得 因此 要想求函数的最值 应首先求出函数的极值点 然后所有的极值点与区间端点的函数值进行比较 其中最大的值即为函数的最大值 最小的值即为最小值 提升总结 例4 求函数y f x x3 2x2 5在区间 2 2 上的最大值和最小值 解 首先求导函数 根据导数公式表和求导法则可得f x 3x2 4x 解方程f x 0得x1 0 x2 根据x1 x2列表 分析f x 的符号和函数的单调性 由上表得 x1 0是函数的极大值点 x2 是函数的极小值点 计算函数在极大值点x1 0 极小值点x2 区间端点x3 2和x4 2处的值 f 0 5 f f 2 11 f 2 5 比较这4个数的大小 可知 函数y x3 2x2 5在区间 2 2 上的最大值是5 最小值是 11 举一反三 若求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值呢 解析 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 求函数最值的四个步骤第一步求函数的定义域 第二步求f x 解方程f x 0 第三步列出关于x f x f x 的变化表 第四步求极值 端点值 确定最值 提升总结 探究点3生活中的最值问题 利用导数解决生活中的最值问题的基本思路 例5 一边长为48cm的正方形铁皮 四角各截去一个大小相同的小正方形 然后折起 可以做成一个无盖长方体容器 所得容器的容积v 单位 cm3 是关于截去的小正方形的边长x 单位 cm 的函数 1 随着x的变化 容积v是如何变化的 2 截去的小正方形的边长为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 点击播放 解 1 首先写出v关于x的函数解析式 根据题意可得v f x 48 2x 2x由实际情况可知函数的定义域为 x 0 x 24 根据导数公式表及求导法则 可得 根据x1 8 x2 24列表 分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点 x 8是函数的极大值点 相应极大值为v f 8 48 16 2 8 8192 cm3 根据对函数变化规律的讨论可知 当0 x 8时 函数v f x 是增加的 当8 x 24时 v f x 是减少的 2 区间 0 24 上任意点的函数值都不超过f 8 因此x 8是函数的最大值点 此时v f 8 8192 cm3 即当截去的小正方形的边长为8cm时 得到的容器容积最大 最大容积为8192cm3 例6产量与利润对于企业来说 生产成本 销售收入和利润之间的关系是个重要的问题 对一家药品生产企业的研究表明 该企业的生产成本y 单位 万元 和生产收入z 单位 万元 都是产量x 单位 t 的函数 分别为y x3 24x2 63x 10 z 18x 1 试写出该企业获得的生产利润w 单位 万元 与产量x之间的函数关系式 2 当产量为多少时 该企业可获得最大利润 最大利润为多少 解 1 因为总利润 总收入 总成本 即w z y 所以 由w w x 18x x3 24x2 63x 10 w x3 24x2 45x 10 x 0 2 求w w x 的导函数 根据x1 x2列表分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点 x 15是函数的极大值点 比较x 0和x 15的函数值w 0 10 w 15 1340 可知 函数w w x 在x 15处取得最大值 最大值为1340 即该企业的产量为15t时 可获得最大利润 最大利润为1340万元 变式练习 如图 铁路线上ab段长100km 工厂c到铁路的距离ca 20km 现在要在ab上某一处d 向c修一条公路 已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3 5 为了使原料从供应站b运到工厂c的运费最省 d应修在何处 解析 设da xkm 那么db 100 x km cd km 又设铁路上每吨千米的运费为3t元 则公路上每吨千米的运费为5t元 这样 每吨原料从供应站b运到工厂c的总运费为 令 在的范围内有唯一解x 15 比较后可得在x 15处取得最大值 所以 当x 15km 即d点选在距a点15km时 总运费最省 1 下列说法正确的是 a 函数的极大值就是函数的最大值b 函数的极小值就是函数的最小值c 函数的最值一定是极值d 若函数的最值在区间内部取得 则一定是极值 2 函数y f x 在区间 a b 上的最大值是m 最小值是m 若m m 则 a 等于0b 大于0c 小于0d 以上都有可能 3 函数y 在 1 1 上的最小值为 a 0b 2c 1d 4 函数y x 3x 9x在 4 4 上的最大值为 最小值为 5 函数f x ax4 4ax2 b a 0 1 x 2 的最大值为3 最小值为 5 则a b 解析 f x 4ax3 8ax 4ax x2 2 0 又f 1 a 4a b b 3a f 2 16a 16a b b 所以所以a 2 76 5 2 3 6 已知函数f x 2x3 12x 求函数f x 的单调递增区间 并求函数f x 在 1 3